Фурье-преобразование примеры

Примером У. о. и его обратного в пространстве Lj( - ос, 00) являются взаимно обратные Фурье преобразования. [c.225]

В рассматриваемом нами примере fix) является четной функцией, и говорят, что F(и)-косинусное фурье-преобразование j x). Уравнение [c.64]

В качестве примера рассмотрим две 5-функции при х = + D/2. Их фурье-преобразование выглядит следующим образом [c.70]

Поскольку дифракционная картина решетки является преобразованием Фурье от ее полной апертурной функции, мы можем, следовательно, сказать, что фурье-преобразование свертки функции одиночной апертуры с последовательностью 5-функций равно произведению отдельных преобразований. Это пример теоремы о свертке, которая утверждает, что фурье-преобразование свертки двух функций равно произведению их собственных преобразований. [c.75]

Рис. 4.9. Пример автокорреляции (а, в) и теоремы Винера-Хинчина (б, г) буква Т обозначает фурье-преобразование.

Из приведенных примеров видно, что ограничения, накладываемые на размеры рабочей апертуры в частотной плоскости фазовой погрешностью оптического фурье-преобразования, являются более жесткими по сравнению с ограничениями, обусловленными частотной [c.222]

Фурье-преобразования и дифракция примеры [c.46]

Чтобы ближе познакомить читателя с использованием обычных фурье-преобразований и показать, как они используются при рассмотрении кинематической дифракции, приведем ряд примеров, в-которых используются обе рассмотренные функции. При рассмотрении дифракции в большинстве случаев будем исходить из простых одно- или двумерных объектов. [c.46]

Форму F(u), соответствующую различным формам функции р(г), можно получить обобщением на трехмерный случай формул и примеров фурье-преобразований, данных в гл. 2. Например, обобщая формулы (2.38) и (2.42), если р(г) = 1 внутри прямоугольного параллелепипеда размерами а, Ь, с и равно нулю вне его, получаем [c.101]

Выше Б разд. 5.5 мы видели примеры для случая четырехмерных распределений в пространстве и во времени, когда интенсивность измеряется как функция углов рассеяния и частот. Таким образом, сечение обратного пространства на плоскости v =0, соответствующее чисто упругому рассеянию [см. (5.28) ] дает проекцию функции Паттерсона в начальный момент или усредненную во времени корреляционную функцию. Проекция четырехмерного распределения рассеивающей способности в обратном пространстве в направлении v, которая дается интегралом по v в уравнении (5.29), является фурье-преобразованием сечения функции Паттерсона Р(г, 0), которая является суммой мгновенных пространственных корреляций объекта. [c.125]

При помощи этих выражений явление отражения от плоской границы так же, как излучение волн от источника, помещенного на плоской границе, могут изучаться посредством двойного преобразования Фурье. Если источник задан в виде своей Фурье-транс-форманты, смещение в любой точке среды можно найти с помощью численного обратного преобразования Фурье. Соответствующий пример представлен в гл. 6. Ниже более подробно рассмотрим простой случай распространения плоской волны в неограниченной среде. [c.48]

Одним из наиболее перспективных путей развития технического обеспечения САПР является разработка и применение специализированных процессоров или ЭВМ, ориентированных на выполнение однотипных трудоемких проектных процедур. Выше (стр. 254) говорилось о специализированных ЭВМ для логического моделирования, позволяющих ускорить решение задач моделирования на несколько порядков. Другими примерами специализированных процессоров или ЭВМ для САПР служат трассировочные машины, процессоры для быстрого преобразования Фурье, процессоры графических процедур. Известны и такие специализированные процессоры, как процессоры СУБД, процессоры для ускорения выполнения матричных операций и т. п. Актуальность построения специализированных процессоров для САПР обусловлена наличием трудоемких вычислительных процедур, увеличением размерности решаемых задач, а возможности построения таких процессоров расширяются в связи с появлением СБИС, средств их проектирования и изготовления, с дальнейшим ростом степени интеграции микросхем. [c.382]

Решение системы уравнений (9-1-1) — (9-1-3) при краевых условиях (9-2-1)-1г (9-2-5) можно получить, пользуясь методом совместного применения интегральных преобразований Фурье и Лапласа подобно тому, как это детально было показано в гл. 6, 6-4. Повторим основные этапы метода решения на примере нахождения полей потенциалов молярно-молекулярного переноса в неограниченной пластине. Для удобства последующих выкладок безразмерные потенциалы переноса обозначим через 0г (1=1, 2, 3) Т = 0 -, 0 = 2 Р = 0з. [c.431]

Выражения (6) и (7) являются исходными для спектральной теории процессов [1, 12]. Свойства интегрального преобразования Фурье и типичные примеры описаны в работе [7]. Интегральные преобразования часто применяют тогда, когда функция X (Я) по виду проще, чем х (/). Их удобно использовать для записи зависимости выходного сигнала линейной системы от входного, при нахождении огибающих узкополосных сигналов, при определении распределения энергии сигналов по частотам и пр. [8, 11, 12, 14]. [c.84]

Пример 3. Некоторый исходный сигнал записан в матрице А размером 16х 16 (в матрице. 4 записаны значения некоторой функции двух переменных в узлах квадратной равномерной сетки). Элементы матрицы А, расположенные в 4-м и 5-м столбцах 4-й и 5-й строк равны 1, остальные нули. Требуется вычислить двумерное преобразование Фурье ступенчатой функции, определенной в квадрате [О, 2тс]х[0, 2тс] и принимающей в нем значения либо О, либо 1 изобразить сигнал графически выполнить двумерное дискретное преобразование Фурье изобразить графически амплитуду образа выполнить обратное преобразование и изобразить результат вычислений повторить вычисления для матрицы В размером 32х 32. В матрице В элементы, расположенные на главной диагонали, равны 1, остальные — нулю. [c.211]

Чтобы обеспечить аналогию между этим новым сценарием и дифракцией, на рис. 4.7, а представлены прямоугольная функция и преобразование от нее, обозначенные теперь в соответствии с новой переменной. Однако, как мы уже знаем, основная компонента прямоугольной функции не периодическая (т.е. нулевой частоты) с постоянной амплитудой, вследствие чего функция полностью положительна. Более подходящим примером для рассмотрения световых волн является пара преобразований на рис. 4,7,6. Здесь показана чистая синусоидальная волна с частотой Vi, представленная в виде цуга конечной продолжительности и длины. Она имеет амплитудно-частотное распределение, размытое около V] так, что суммирование дает группу волн (или волновой пакет), которая представляет собой профиль в пределах цуга, но суммарная амплитуда равна нулю с любой стороны от него. Если цуг длинный, то частотное размытие невелико и наоборот, т. е. взаимосвязь здесь такая же, как в случае с парой пространственного преобразования Фурье. Строго говоря, монохроматический свет предполагает наличие цугов бесконечной длины, но это условие физически не выполнимо, поскольку свет излучается атомами дискретно, в виде фотонов в результате все спектральные линии имеют конечную ширину. Если на рис, 4.7, б ширина частотного распределения взята в основном в пределах Vi + 5v, то мы имеем [c.77]

В этой главе в общих чертах показаны главные положения фурье-анали-за при формировании оптического изображения и его обработке в условиях когерентного и некогерентного освещения. Они включают как одиночное преобразование Фурье, так и преобразование в сочетании со сверткой и корреляцией. Следует, однако, сразу же привлечь внимание к тому факту, что важность этих положений не ограничивается обработкой данных, имеющих оптическое происхождение. В настоящее время можно привести большое число примеров, когда методы оптической обработки используются для данных, по своей природе не являющихся оптическими. Основная причина кроется в том, что математические операции, которые применяются для большинства оптических систем, часто используются также в системах связи. Оптический аналог весьма привлекателен, поскольку ему свойственно преимущество двумерного представления и параллельной обработки данных. Этот способ во все увеличивающейся степени внедряется в практику в связи с разработкой электронно-оптических устройств сопряжения в сочетании с ЭВМ. Когда по каким-то причинам оптические методы не употребляются, ЭВМ может применяться изолированно в целях использования тех же фундаментальных принципов для цифрового изображения и обработки. [c.84]

Другие методы связаны с детальным расчетом апертурной функции, включая эффекты аберрации. Это распределение комплексной амплитуды по апертуре мы будем обозначать/(х), как и апертурную функцию в предыдущих главах. Его преобразование Фурье F (и) является комплексной амплитудой дифракционной картины изображения точечного источника. Квадрат модуля соответствует ФРТ, а преобразование Фурье от него представляет собой ОПФ. В одном измерении это иллюстрируется на рис. 4.9 на хорошо известном примере f x), являющейся единичной прямоугольной функцией. Схема вычисления записывается в виде а б г в. [c.90]

Изящные примеры использования оптических преобразований были обнаружены в рентгеновской кристаллографии, где, как отмечено в гл. 2, формирование изображений атомов не может быть выполнено непосредственно, потому что отсутствуют линзы, которые могут быть использованы для сведения дифрагированных рентгеновских лучей. Отметим, что если зарегистрированы только интенсивности, то фурье-сум-мирование не может быть выполнено ни аналитически, ни экспериментально из-за отсутствия данных о фазах. В годы формирования указанного направления исследований У. Л. Брэгг сыграл ключевую роль в разработке методов оптического фурье-анализа для рассмотрения и решения этой и других проблем рентгеновской кристаллографии. Несмотря на то что развитие ЭВМ привело к машинным методам решения фазовой проблемы , работа Брэгга явилась важным вкладом в широкую область оптической обработки. В качестве основной литературы по развитию и применениям оптических методов к дифракции рентгеновских лучей, читатель может обратиться к работам, упомянутым в начале этого раздела. [c.99]

В [63] предложено одномерное преобразование для каждого сечения по z выполнять в ЦВМ, получая таким образом синтезированную голограмму Фурье (г, s) этого сечения. Такие голограммы можно восстановить в оптической схеме Фурье и получить картину распределения плоскости электронов во всех сечениях. На рис. 6.21 показан пример такого восстановления для пяти сечений [208]. [c.138]

Детально разработанная фурье-оптика дифрагирующих световых пучков базируется на простых и наглядных идеях, сформулированных, по существу, еще в прошлом веке. Теория дифракции Фраунгофера основывается на интегральном соотношении, показывающем, что угловой спектр поля, регистрируемый в дальнем поле или в фокальной плоскости линзы, определяется преобразованием Фурье от распределения комплексной амплитуды поля на входной апертуре. Многие практические успехи фурье-оптики основаны на продемонстрированных Аббе возможностях влиять на изображение, изменяя амплитуды и фазы спектральных компонент в фокальной плоскости. Классические примеры этой техники — метод темного поля и метод фазового контраста. [c.33]

Если свет действительно монохроматический, то пространственную когерентность можно рассматривать отдельно, т. е. мы имеем y xi, Х2, 0). В качестве примера исследуем степень когерентности поля, образованного светом от некогерентного источника. Если расстояние гот источника до плоскости, в которой исследуется поле, больше, чем размеры источника и размеры области, занимаемой интересующим нас полем, то комплексная степень когерентности дается преобразованием Фурье распределения интенсивности источника [c.57]

Примеры применения преобразований Фурье к расчету явлений дифракции. [c.45]

Пример распознавание образов по корреляции энергетического спектра. На схеме, представленной на рис. 5.19, транспарант Tj освещается плоской волной квазимонохроматического света. Комплексная амплитуда последнего может быть обозначена а фурье-преобразование от нее в фокальной плоскости линзы Lj-соответственно F . Здесь для простоты снова используется одномерное представление. Рассеиватель в плоскости преобразования разрушает когерентность и создает некогерентное распределение интенсивности, в сущности подобное самосве-тящемуся , которое пропорционально величине Fx являющейся энергетическим спектром (ср. разд. 4.7.1). [c.119]

Это выражение представляет собой sin -функцию, известную нам из предыдущих глав как дифракционная картина, и фурье-преобразование апертурной функции, имеющей такую же форму , как и распределение яркости на рис. 6.4, а. Сходство этих двух совершенно различных примеров не является случайным совпадением, но подробнее об этом поговорим ниже (разд. 6.4.1). Кривая видности на рис. 6.4,6 спадает до нуля при D = D = 1/Фо затем повторно при D-D" = 2 Фо и т.д. Это ее поведение согласуется с интерпретацией, приведенной в предьщущем разделе. [c.129]

Простейшим, но очень важным примером когерентно-оптической системы является фурье-процессор. Он представляет интерес и как самостоятельное устройство, но также как базовый блок, который используется для создания других когерентно-оптический систем. На рис. 2.3 показана одна из наиболее типичных схем фур -процес- сора. Во входной плоскости (передняя фокальная плоскость линзы) располагается транспарант (слайд), коэс ициент пропускания которого по амплитуде считываюш,его света Т (х, у) описывает входной, массив информации, подлежащий обработке. Если осветить входной транспорант плоской волной, то в выходной плоскости распределение амплитуды света Л out (v, ) будет описываться двумерным фурье-преобразованием от Т (х, у) [c.29]

Рассмотрим несколько частных случаев. Все последующие примеры мы иллюстрируем рисунком 3.8. На пем слева, отде-лСЕНые чертой, показаны внизу — изображение точки (т. е. аппаратная функция 0 у )) в виде рельефа дифракционного изображения, а над ним — фурье-преобразование (ц, v) этой аппаратной функции, имеющее шатрообразный вид. В правой части рисунка в верхней строке схематически приведены виды различных объектов о х, у), каждый из которых более подробно описан ниже в соответствующих примерах. В следующей строчке, также схематически показано фурье-преобразование О и, v) каждого из этих объектов. В третьей строчке показано произведение фурье-преобразования объекта на фурье-преобразование аппаратной функции, т. е. ве.цичина О и, v)- I u, v). В последней строчке показан вид изображения, являющийся обратным фурье-преобразованием указанного произведения. [c.61]

Пример 3 (рис. 3.8, в). Объектом является звезда, описы-ваеман двумерной функцией дельта Дирака (3.21) (см. рис. 3.6, а). Фурье-преобразовапие объекта будет О (м, г ) = 1 для всех и и V. Поэтому фурье-преобразование изображепия звезды будет [c.63]

Когда мы перечисляли в 9 основные физические свойства электромагнитного поля, определяющие выбор его лагранжиана, мы сослались на это обстоятельство как на опытный факт и связали его с отсутствием в лагранжиане 4-потенциала Л . Теперь можно пояснить эту связь. Если бы 4-потенциал входил в лагранжиан электромагнитного поля, то, как и в примере 7.4, в уравнении (59) появился бы еще и член, пропорциональный потенциалу, скажем хМ,-, где — константа. Тогда мы получили бы при проведении фурье-преобразования в качестве выражения для частоты ие со = с к а (О = Vс к + — групповая и фазовая скорости были бы различны и зависели бы от длины волиы. [c.232]

Первое - автоматизированные средства диагностирования с анализом сигнала в реальном масштабе времени. Быстродействующие средства виброакустического диагностирования, дефектоскопии, толщинометрии, структуроскопии, акустической эмиссии, магнитных шумов Баркгаузена и многие другие сегодня создаются на основе применения аналоговых и цифровых методов обработки многомерного сигнала. Типичным примером здесь являются анализаторы сигналов с высоким разрешением, амплитуднофазочастотные дискриминаторы, спецпроцессоры быстрого преобразования рядов Фурье и другие аналогичные устройства. [c.224]

Условие равенства нулю функции при значениях се аргумента т < О вьшол-няется далеко не всегда. Примером такич функций являются многомерные моменты случайного процесса, которые используются при статистическом анализе систем [12]. Поэтому наряду с преобразованием Лапласа для анализа линейных систем применяют преобразование Фурье. Передаточная функция в этом случае связана с импульсным откликом следующими соотношениями [c.71]

Применение интегральных преобразований позволяет свести задачу об интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных к интегрированию системы обыкновешных дифференциальных уравнений для изображения искомых функций. Для иллюстрации этой идеи мы приведем здесь решение задачи об упругой полуплоскости с помощью преобразования Фурье для областей другого вида оказываются удобными другие интегральные преобразования. Напомним, что в 10.4 были изложены приемы, позволяющие получить относительно простое решение этой задачи формулы (10.4.2) и (10.4.3) относились к случаю, когда на границе Oia = О, а формулы (10.4.7) и (10.4.6) —к случаю, когда равно нулю нормальное давление Огг при Хг = 0. Таким образом, задача о полуплоскости может быть сведена к определению одной единствеиноп функции ф(г) по заданным значениям ее действительной или мнимой части на границе. Ограничиваясь теми примерами, которые были рассмотрен] в 10.4, перейдем к изложению метода интегральных преобразований. [c.348]

Рассмотрим несколько примеров. Начнем с детерминированного периодического сигнала (3.10). Несмотря на то, что его функция автокорреляции (3.11) является неубывающей периодической функцией аадержки времени т, для нее можно вычислить интеграл (3.20), используя б-функцию Дирака. В результате преобразования Фурье функции (3.11) получаем спектральную плотность мощности периодического сигнала (3.10) в следующем виде [c.90]

Измерения при импульсном и случайном возбуждении. Благодаря развитию современной вычислительной техники, в особенности мини- и микро-ЭВМ, а также появлению необходимых алюритмов обработки сигналов, особенно быстрого преобразования Фурье, все больше распространяются методы намерения частотных характеристик при импульсном воздействии на механический объект. Импульсы вынуждающей силы и отклика подвергаются преобразованию Фурье, и по соотношению гармоник определяется нужная характеристика. Отношение сигнал/шум может быть повышено путем промежуточного преобразования анализируемых сигналов с помощью авто- и взаимно-корреляционных функции [18] Соответствующие возбудители зачастую оказываются значительно проще и меньше, чем электродинамические, не требуют специального крепления (что особенно важно при перестановке), дают значительное усилие в импульсе Общее время испытаний и выдачи результатов снижается до величины порядка нескольких миллисекунд (в специализированных быстродействующих ЭВМ). Можно назвать несколько примеров реализации импульсного метода. [c.325]

Преобразование Фурье играет также другую важную роль в физической оптике. Трудно переоценить его значение и для физики в целом. Эта глава посвящена возможностям, которые открывает преобразование Фурье, обеспечивающее более глубокое понимание соотношения между дифракционной картиной, создаваемой многоапертурной дифракционной системой, такой, как решетка или кристалл, и ее (полной) апертурной функцией или структурой. Основные идеи этого подхода представлены в разд. 4.3-4.5 для различных применений в гл. 5 в связи с формированием и обработкой изображения. В разд. 4.3 мы рассматриваем дифракционную картину решетки и в разд. 4.4-ее апертурную функцию. Последняя обсуждается на языке свертки-т.е. на основе другой концепции и математической процедуры, широко используемой в физике. В разд. 4.5 как пример теоремы свертки совместно представлены две стороны соотношения-апертурная функция решетки и дифракционная картина, создаваемая ею. [c.62]

Итак, в итоге мы получаем, что член одиночной щели и член решетки являются соответственно преобразованием Фурье одноапертурной функции и последовательности -функций, определяющих структуру решетки. Дифракционная картина является произведением указанных двух преобразований, и этот результат не ограничивается приведенным здесь частным примером. [c.71]

Фоторегистрация дифракционных картин и изображений по своей природе является записью только интенсивностей (кроме голографии). Иллюстрации в следующих примерах описывают, следовательно, оптические преобразования, а не преобразования Фурье. Они широко представлены в полном собрании сочинений по оптическим преобразованиям X. Липсона и его коллег. [c.96]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...