Паттерсона функция

Первое слагаемое представляет собой проекцию функции Паттерсона на плоскость (х,у). [c.169]

Аналогично формуле (27), основываясь на формуле (111,102), легко написать выражение для функции Паттерсона в цилиндри- [c.169]

Цилиндрическую функцию Паттерсона можно строить и в том случае, когда слоевые линии не наблюдаются — лишь бы объект, [c.170]

Рис. 109. Цилиндрическая функция Паттерсона для вируса табачной мозаики [II, 50]

Рис. 110. Цилиндрические функции Паттерсона

В цилиндрической функции Паттерсона происходит закручивание этой картины вокруг оси z, в результате чего, например, векторы Tj и Г2, отличавшиеся лишь по значению полярного угла ф, [c.173]

Формальным признаком, объединяющим класс объектов, для которых можно строить радиальную функцию межатомных расстояний, является сферическая симметрия. Эта наиболее высокая симметрия сильнее всего обедняет возможности функции межатомных расстояний, поэтому ее нужно применять лишь тогда, когда нет возможности получить объект в более упорядоченной форме. Например, нет смысла (хотя это и можно сделать) интерпретировать с помощью функции радиального распределения рентгенограммы поликристалла между тем такие работы делались. Если есть возможность ориентировать агрегат цепных молекул, то правильнее будет построить для него цилиндрическую, а не радиальную функцию Паттерсона, и т.д. Таким образом, естественной областью использования радиальной функции межатомных расстояний является структурный анализ газов, жидкостей и аморфных тел, рентгенограммы которых характеризуются диффузными кольцами. [c.174]

Используя совокупность всех отражений, можно пытаться выяснить внутреннюю структуру одного звена длиной 640 А, строя одномерные функции Паттерсона и ряды Фурье. Простейшее предположение для расчета знаков состоит в том, что рассеивающую плотность можно описать графиком, приведенным на рис. 232 [c.346]

Обобщенная функция Паттерсона [c.103]

Фиг. 5.1. Диаграммы, показывающие распределение электронной плотности р(г) и соответствующей функции Паттерсона Р(г).

Фиг. 5.2. Представление функции Паттерсона для трех атомов (фиг. 5.1,6) как суперпозиций прямого и обращенного изоб ажений объекта.

Фиг. 5.3. Схематическое изображение функции формы 5(дг), соответствующей ей функции Паттерсона Р х) и их фурье-преобразований.

Понятие функции Паттерсона, которая является корреляционной функцией для распределения электронной плотности в пространстве, можно обобщить так, чтобы она включала корреляции во времени. Когда мы имеем в виду только пространственное распределение, то нас интересует следующее какова вероятность того, что какой-либо атом будет находиться на расстоянии г от данного атома Подобно этому мы можем спросить если в момент времени [c.109]

Функция, которая включает в себя такие корреляции, является четырехмерной функцией Паттерсона [c.110]

Следовательно, сечение четырехмерного распределения в обратном пространстве, v = О, соответствует фурье-преобразованию усредненной во времени четырехмерной функции Паттерсона. [c.111]

Эта величина является усредненной во времени функцией мгновенного распределения Паттерсона. [c.114]

Существенная разница между выражениями (5.33) и (5.34) появляется в случае, если вводится ограничение, состоящее в том, что атомы не могут заметно перекрываться, т. е. что в данный момент времени t распределение Паттерсона g (г, /)>)< (—г, —1), а следовательно, в общем случае (г, 0) не могут содержать никаких точек в интервале от [г = О до [г ( = 2гц, где Гц — эффективный радиус атома. При г1 > 2го функция (г, 0) будет иметь некоторые флуктуации, поскольку атомы обычно испытывают взаимное притяжение. Будет наблюдаться тенденция к появлению избытка атомов на минимальных возможных расстояниях (расстояниях ближайших соседей ) тогда возникает ощутимая, но менее заметная тенденция того, что атомы, особенно в жидкостях, будут появляться на расстояниях до вторых, третьих и т. д. ближайших соседей, так что (г, 0) будет иметь форму, показанную для одномерного случая на фиг. 5.6, а, с дельта-функцией в начале координат. Функция Р(г, 0) тогда будет иметь форму, показанную на фиг. 5.6, б, а распределение рассеивающей способности будет осциллировать с увеличением и I, как показано на фиг. 5.6, в. [c.114]

Фиг. 5.6. Схематические изображения, показывающие форму распределения Паттерсона (а), действительной функции Паттерсона (б) и распределения рассеивающей способности для реального одноатомного газа или жидкости (в).

Таким образом, мы приходим к заключению, чтр, кроме резкого центрального пика при угле, равном нулю, все получающиеся дифрагированные интенсивности обязаны неупругому рассеянию. Для случая дифракции рентгеновских лучей или электронов это в какой-то мере академическая точка зрения, поскольку скорость затухания Р(0, t) со временем соответствует больцмановскому распределению скоростей атомов для обычных температур и средних энергий атомов порядка Г( 0,02 эВ). Энергетические изменения такого порядка для падающего излучения не обнаруживаются, и обычные измерения будут отражать функцию Паттерсона Р(г, 0), которая дается формулой (5.33). Однако в случае дифракции нейтронов подобные изменения знергии или частоты доступны измерению, [c.115]

Фиг. 5.7. Схематическое изображение функции Паттерсона для молекулярного газа и соответствующего изменения рассеивающей способности в обратном пространстве.

Картина усложняется, если рассматривать газы или жидкости, состоящие из молекул. Тогда вместо Ро (г) для одного атома мы должны рассматривать ро(г, 0 , <в , где углы 0 , определяют ориентацию молекулы и зависят от времени. Полная рассеянная интенсивность тогда соответствует среднему во времени от мгновенных функций Паттерсона [c.116]

Если в качестве первого приближения можно предположить, что относительные положения центров всех молекул полностью случайны, то все эти члены при п т дают лишь непрерывный гладкий фон, а функция Паттерсона будет такой же, как и для одноатомного газа, за исключением того, что начальный пик будет иметь величину [c.116]

Еще одну попытку использования собственных функций Уилльямса сделали Паттерсон и Олдейл [29, 30]. Сингулярный элемент с 13 узлами (см. рис. 3( )) топологически эквивалентен сборке из двух восьмиузловых изопараметрических элементов. Когда вершина трещины внутри сингулярного элемента перемещается на критическое расстояние, положение этого элемента резко меняется и он сдвигается на расстояние, равное размеру обычного элемента, расположенного перед вершиной трещины. Перемещения сингулярного элемента соответствуют перемещениям окружающего тела только в узлах, связанных с обычными элементами. В результате эта модель нарушает условия совместимости по перемещениям на границах между сингулярным элементом и обычными элементами. [c.284]

В случае кристаллов функцию межатомных расстояний называют функцией Паттерсона,хотя часто эти два названняупотребляют как синонимы. Если функция Паттерсона строится но отражениям какой-либо одной нулевой плоскости обратного пространства (МО, 0kl, Ш—двумерные ряды), то она является проекцией трехмерной функции Q xyz) на соответствующую плоскость [ср. формулы (И1,27) (П1,39)]. Одномерные ряды но отражениям /гОО, 0 0, 00/ дают соответственно одномерные проекции Q xyz) на оси х, у, z [I, 3 I, 6 1,13 1,15 I, 18 I, 19]. [c.169]

Текстурдиаграммы и цилиндрическая функция Паттерсона. Если в агрегате из цепных молекул все они расположены параллельно друг другу, то независимо от других особенностей строения такого образца рентгенограмма от пего обладает слоевыми линиями,интенсивность вдоль которых Ii XY) может быть распределена дискретно или непрерывно. Основываясь на формуле (111,35), мы можем нанисать [c.169]

Цилиндрически-снмметричная функция Паттерсона была предложена в работе [5]. Выражение (111,102) упрощается в случае цилиндрической симметрии и принимает вид (111,103) — из него исключается зависимость от углов, используются только функции Бесселя нулевого порядка. Наличие центра симметрии вместе с осью бесконечного порядка оо приводит к симметрии т-оо1т. В итоге, исходя из (111,103), мы найдем, что выражение для цилиндрической функции Паттерсона имеет вид [c.170]

Таким образом, сначала находятся трансформанты Фурье — Бесселя Qi r) каждой слоевой и далее для каждого значения г строятся одномерные ряды Фурье по косинусам, что в итоге дает двумерную картину функции межатомных расстояний в координатах г, Z. Это, в сущности, сечение данной функции, проходящее через ось Z вдоль произвольного радиуса г, но в силу цилиндрической симметрии все такие сечения тождественны. На рис. 108 в качестве примера приведена цилиндрическая функция Паттерсона для дезоксирибонуклеиновой кислоты [6], на рис. 109 — для вируса табачной мозаики [II, 50]. В обоих случаях вид Q r,z) свидетельствует о спиральном характере молекул. Построение Q r,z) для ДНК позволило установить размещение наиболее тяжелых атомов фосфора, что определило конфигурацию двухцепочечного хребта этой молекулы (рис. 45). Из функции Q r,z) для ВТМ был выяснен примерный радиус молекулы и наличие на ней спиральной нарезки, а также некоторые другие детали структуры.Примеры цилиндрической функции Q(r,z) представлены также на рис. 110 и 213. [c.170]

Рис. 108. Цилиндрическая функция Паттерсона для дезоксирибонуклеиновой <-кислоты, свидетельствующая о ее двуспиральном строении [6]

Следует отчетливо представить себе геометрический смысл цилиндрической функции Паттерсона. Ее пики, дающие межатомные расстояния в объекте, не отбираются согласно цилиндрической симметрии объекта, это не преобразуемые друг в друга поворотами объекта на произвольный угол межатомные векторы. Наоборот, в цилиндрической функции Q r,z), смешиваются и усредняются согласно этой симметрии все межатомные расстояния объекта. [c.173]

Для такого рода объектов можно строить функцию межатомных расстояний, которую в модифицированной, наиболее часто употребляемой форме называют функцией радиального распределения. Исторически именно для этого случая (конкретно — для жидкостей) впервые была предложена в 1927 г. Цернпке и Принсом эта функция [9], которая потом анализировалась Дебаем и Менке [10] и далее была применена также и для газов (особенно в электронографическом анализе строения молекул в парах и газах см. [11 1,5]), и для аморфных твердых тел [12—14,1] (см.также [15 1,1 1, 2]). Позже, в 1935г., появилась работа Паттерсона [1,18], в которой было введено преобразование Фурье интенсивностей рассеяния от кристалла и тем самым было положено начало самому плодотворному применению функции межатомных расстояний. [c.174]

Таким образом, в сферически-симметричной функции межатомных расстояний векторы г, соединяющие пары атомов, теряют все признаки своего пространственного расположения и, накла-дываясь друг на друга при сферическом вращении , позволяют судить только о расстояниях между атомами, но не о взаимной пространственной ориентации этих расстояний. Усреднение, имевшее место и в цилиндрической функции Паттерсона, здесь выражено в максимальной степени. [c.176]

Далее эту функцию можно преобразовывать по формулам интеграла Фурье для соответствующей симметрии распределения интенсивности — общего трехмерного случая, сферической или цилиндрической симметрии. Преобразование Фурье /(8) (IV,7) дает функцию межатомных расстояний. Функция х(г), получаемая преобразованием Фурье (8), дает расстояния между точками, поэтому ее можно называть обостренной функцией межатомных расстояний — делением наатомы сводятся к точкам, обостряются . Таким образом, в формулах трехмерной или двумерной функции Паттерсона (IV, 26), цилиндрической функции Паттерсона (IV, 28), радиальной функции межатомных расстояний (IV,33) замена /(8) на 2(8) (138) даст в итоге функцию распределения центров атомов г(г). [c.235]

Использование для построения ряда находимых неносредствен-яо из опыта величин Fhft P дает функцию межатомных расстояний >кристалла (1,75) — функцию Паттерсона [c.250]

Построение рядов в зависимости от набора наблюдаемых значений hkl, от симметрии дифракционной картины и т. п. может производиться в самых разнообразных вариантах — нахождения проекций, обобщенных проекций, сечений, использования разностных рядов, обостренных рядов и т. д. Для агрегатов цепных молекул часто используются цилиндрические координаты, приме- HeHHe которых открывает специфические возможности, не используемые в обычном структурном анализе кристаллов, например построение цилиндрической функции Паттерсона (IV, 28, 29), радиальных, циркулярных и других проекций электронной плотности ( 4 главы III) и т. п. [c.250]

Кинематический подход, или первое приближение Борна, далее, в гл. 5, применяется к газам, жидкостям и некристаллическим твердым телам. С помощью функции Паттерсона, обобщенной за пределы рассеяния в кристаллах, автор наглядно показывает связь реальных атомных структур с их паттерсоновскими образами с привлечением фактора формы в случае очень малых объемов. [c.6]

Такая свертка функции с самой собой в обращенной форме является функцией самокорреляции, которая весьма часто используется в различных областях науки и, как мы увидим ниже, приобрела особое значение для теории дифракции под названием обобщенной функции Паттерсона. [c.60]

Назовем эту функцию реального пространства Р(г) обобщенной функцией Паттерсона в отличие от функции Паттерсона, которая используется в структурном анализе кристаллов и относится, как правило, только к периодическим структурам. В тех случаях, когда не может возникнуть неясности, будем называть ее просто паттерсон. Эта функция подобна функции Хоземана и Багчи [2П ]. Ее можно также назвать самокоррелирующей функцией, как увидим далее. Она непосредственно получается из наблюдаемых интенсивностей. [c.104]

Если в рассматриваемом объекте имеются два вектора одинаковой длины и одинаково направленные, как показано на фиг. 5.1,в, то соответствующие паттерсоновские пики будут иметь удвоенную величину. Таким образом, функцию Паттерсона можно рассматривать как отображение взвешенной вероятности того, что на расстоянии г друг от друга будут обнаружены два атома, причем вес будет соответствовать атомным номерам. Другими словами, Р(г) дает вероятность того, что если любой отдельный атом берется в качестве начала координат, то на расстоянии г от него будет находиться другой атом. Таким образом, эта функция по существу есть функция корреляции, дающая пространственную корреляцию электронных плотностей. [c.105]

Другой подход к рассмотрению функции Р(г) иллюстрируется фиг. 5.2, на которой функция Паттерсона для трехатомной структуры, показаной на фиг. 5.1, б, изображена двояким способом, чтобы подчеркнуть, что ее можно рассматривать как наложение изображений функции р(г) или ее обратной величины р(—г). Можно проводить рассмотрение, попеременно помещая в начало координат каждый атом, а получающимся при этом изображениям при- [c.105]

Для систем, составленных из большого количества N атомов, функция Паттерсона будет иметь —N -)- 1 пиков (поскольку N пиков перекрываются в начале координат) и, таким образом, окажется слишком сложной для интерпретации Исключение составляет статистическая интерпретация Р(г) как функции плотности вероятности или самокоррелирующей функции. Рассмотрим теперь несколько важных случаев для иллюстрации применения концепций, рассмотренных выше. [c.106]

Фнг. 5.4. Представление конечного кристалла как произведения периодического объекта и функции формы, а также соответствующей функции Паттерсона и ее фурье-преобразовання. [c.109]

Форму функции Паттерсона Р(г, t) можно написать сразу же. Функция мгновенной корреляции Р(г, 0) будет иметь пик в начале координат, который дается выражением Npo(r) ро (г). Для любого вектора ненулевой длины вероятность нахождения какого-либо атома на расстоянии этого вектора от данного атома всегда одна и та же, значение ее зависит только от плотности газа или жидкости, не считая влияния конечного объема, обсуждавшегося ранее в разд. 5.4.1. Следовательно, всюду, за исключёнием области вблизи точки г = О, в качестве разумного приближения можно записать [c.112]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...