Фурье-преобразования и свертки

Фурье-преобразования и свертки [c.36]

На практике функция Гаусса редко встречается как функция прохождения объекта, но ввиду ее свойств в отношении фурье-преобразования и свертки данную функцию весьма часто исполь- [c.56]

Учитывая это, начнем наше рассмотрение дифракции с того, что напомним читателю элементы физической оптики н таким образом введем описание дифракции, рассеяния и получения изображения, используя интеграл фурье-преобразования и важный связанный с ним интеграл-свертку. [c.14]

В результате установленных оценок получаем, что трансформанты Фурье Б +(г) и (У-(г) от функций и+ х) и и х) будут аналитическими функциями соответственно в полуплоскостях у > У- и у < у+. Осуществим преобразование Фурье левой и правой частей (4.54). С использованием формулы свертки (4.20) получим [c.80]

В этой главе в общих чертах показаны главные положения фурье-анали-за при формировании оптического изображения и его обработке в условиях когерентного и некогерентного освещения. Они включают как одиночное преобразование Фурье, так и преобразование в сочетании со сверткой и корреляцией. Следует, однако, сразу же привлечь внимание к тому факту, что важность этих положений не ограничивается обработкой данных, имеющих оптическое происхождение. В настоящее время можно привести большое число примеров, когда методы оптической обработки используются для данных, по своей природе не являющихся оптическими. Основная причина кроется в том, что математические операции, которые применяются для большинства оптических систем, часто используются также в системах связи. Оптический аналог весьма привлекателен, поскольку ему свойственно преимущество двумерного представления и параллельной обработки данных. Этот способ во все увеличивающейся степени внедряется в практику в связи с разработкой электронно-оптических устройств сопряжения в сочетании с ЭВМ. Когда по каким-то причинам оптические методы не употребляются, ЭВМ может применяться изолированно в целях использования тех же фундаментальных принципов для цифрового изображения и обработки. [c.84]

Такая запись позволяет учесть возможность мозаичного размножения голограммы и оценить влияние функции I/ (v , v ) на восстановление объекта, пользуясь теоремой о свертке теории преобразования Фурье. В соответствии с этой теоремой результат обратного Фурье-преобразования голограммы, выполняемого при ее восстановлении, можно записать как [c.96]

При использовании динамической голографической среды, в частности ФРК, считывание голограммы может осуществляться непосредственно в процессе ее записи. При этом для выделения результирующей волны, как правило, используется встречное направление распространения считывающей голограмму, а следовательно, и восстановленной волны (рис. 9.24). В результате в объеме среды одновременно присутствуют сразу все четыре световые волны две, являющиеся фурье-преобразованными сигнальными волнами Si х, у) и х, у) плоская вспомогательная волна результирующая световая волна как итог свертки или корреляции. Последнее позволяет говорить, что в динамической голографической среде корреляционный анализ осуществляется на основе схемы четырехволнового взаимодействия [9.125]. [c.257]

Отметим, что при работе с фурье-спектрометром у нас появляется достаточно много возможностей для произвольной модификации формы И1(х). В самом деле, интерферограмма при измерениях может быть получена без аподизации и зафиксирована в памяти ЭВМ. Умножение ее яа весовую функцию мэж-но произвести на следующем этапе — перед выполнением фурье-преобразования. Можно поступить и иначе, найдя спектр без аподизации, затем осуществить свертку его с подходящей по форме аппаратной функцией. [c.100]

В этой главе мы постараемся познакомить читателя с математическим аппаратом, который необходим для понимания значительной части последующего материала. Большинство теорий кинематической дифракции в той или иной мере используют фурье-преобразование. Одним из наиболее важных его свойств является свертка, или интеграл свертки. При получении как фурье-преобразования, так и свертки удобно использовать дельта-функцию, поэтому прежде всего определим эту функцию и рассмотрим ее свойства. [c.36]

В работе [23] для указанного типа архитектуры проводились исследования основных алгоритмов обработки сигналов, таких, как систолическая фильтрация, свертка, корреляция и фурье-преобразование. Линейный фильтр определяют следующим образом [c.386]

Известна и обратная теорема фурье-преобразование произведения двух функций Ь х, у) Т1 и х, у) равно свертке фурье-преобразований каждой и.ч функций [c.56]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СВЕРТКА [c.11]

Передача изображающим прибором структуры предмета, следовательно, нагляднее всего описывается как передача его спектра пространственных частот. Выражение, определяющее передачу структуры в терминах пространственных частот, можно легко получить из формулы свертки (2.16), применив к обеим ее частям преобразование Фурье. При этом, в соответствии со свойствами этого преобразования, операция свертки переходит в простое умножение, и мы имеем [c.28]

Будем считать, что искомое решение ф(х), правая часть /(х) и ядро уравнения k x — у) имеют соответственно трансформанты Ф(а), F a) и K(ol). Тогда применим преобразование Фурье к обеим частям уравнения и, воспользовавшись теоремой о свертке, получим [c.69]

Эффективность преобразования Фурье в этих случаях связана с тем, что структура ядра и пределы интегрирования таковы, что позволяют применить теорему о свертке. [c.70]

Применим к первому члену уравнения (245) преобразование Фурье и используем теорему о свертке [c.199]

Вывод общей формулы, описывающей одновременное действие на АК установки и НК линии многих факторов, основывается на вычислении свертки (1.15) АК дефекта Л (у) с функцией Эри в виде (1.17). Как видно из формулы (1.17), свертка каждого члена ряда с АК осуществляет фурье-преобразование. Если формирование АК обусловлено двумя или несколькими факторами, то он сам является сверткой АК соответствующих дефектов. Согласно теореме Бореля, фурье-преобразование от свертки нескольких функций равно произведению фурье-образов Этих функций. Следствием этой теоремы является то обстоятельство, что в формулах типа (1.18) (АК при параболическом дефекте) или типа (1.77) (случайный дефект изготовления зеркал), в которых соответствующий АК ИФП представлен в виде ряда Фурье, при добавлении новой причины, формирующей АК, под знаком суммы появляется новый сомножитель. Этот сомножитель есть коэффициент Фурье в разложении в ряд Фурье АК, обусловленный добавляемым нами фактором. Так, например, при расчете влияния на АК конечного размера круглой выходной диафрагмы под знаком суммы в формулах (1.18) или в (1.77) появляется сомножитель Aj (23xna4). Такой подход [c.69]

Непосредственные вычисления цифровой свертки по формуле (10.2) при протяженной импульсной реакции h (тг, т) требуют больших затрат времени процессора, если только фильтр (10.2) не может быть представлен в разделимой рекурсивной форме [84]. Поэтому для вычисления (10.2) в большинстве случаев прибегают к использованию теорем о свертке дискретных преобразований Фурье, согласно которым свертку двух сигналов можно найти, если перемножить их спектры, найденные с помощью дискретных преобразований Фурье, и затем подвергнуть результат перемножения соответствующему обратному дискретному преобразованию Фурье [17, 86]. При этом для вычисления ДПФ и СДПФ можно использовать быстрые алгоритмы, благодаря чему количество операций на один отсчет выходного сигнала при вычислении свертки растет пропорционально не протяженности импульсной реакции, а ее логарифму. [c.193]

Аналоговое оптическое вычислительное устройство выполняет требуемую математическую операцию над сформированным когерентным оптическим сигналом. Обычно оно содержит одну или несколько оптически связанных между собой линз (объективов) и оптические фильтры в виде амплитудных или фазовых масок либо голограмм, установленных в определенных плоскостях оптической системы. С помощью масок и голограмм требуемым образом осуществляют пространственную модуляцию обрабатываемого когерентного оптического сигнала или его спектра. Методы когерентной оптики и голографии позволяют относительно просто выполнять целый ряд математических операций и интегральных преобразований над двумерными комплекснозначными функциями (изображениями). Это прежде всего операции двумерного преобразования Фурье, взаимной корреляции и свертки, а также операции умножения и деления, сложения и вычитания, интегрирования и дифференцирования, преобразования Гильберта, Френеля и др. Легко реализуются также различные алгоритмы пространственной фильтрации изображений, в том числе согласованной, инверсной и оптимальной по среднеквадратичному критерию и критерию максимума отношения сигйал/шум. Следует отметить, что часто одну и ту же операцию можно реализовать с помощью разных оптических схем и различными способами. Запоминающее устройство (оптическое или голографическое) служит Для хранения набора эталонных масок или голограмм, [c.201]

Определим теперь реакцию ОСПФ с ГПФ в частотной плоскости на произвольное входное воздействие g x, у), поместив во входную плоскость Pi транспарант с записью g x, у). Для этого нужно вычислить свертку входного воздействия с найденной импульсной характеристикой ОСПФ he (и, и). Следовательно, выходной сигнал будет состоять из четырех слагаемых, расположенных в трех областях выходной плоскости. Для упрощения вычислений воспользуемся теорией преобразования Фурье, тем более, что такой подход соответствует и физике происходящих в схеме процессов. В этом случае сигнал на выходе схемы может быть найден как результат обратного фурье-преобразования от произведения пространственно-частотного спектра входного воздействия на модулирующую характеристику ГПФ [c.236]

Преобразование Френеля тесно связано с преобразованием Фурье. Разложением ядра преобразования Френеля можно показать, что функции (x)exp(—/nsA V ) и f y) exp jnsy lX) связаны друг с другом преобразованием Фурье. Наоборот, если f y) и g(x) — пары преобразования Фурье, то можно показать, что пара g (х) ехр(/язл /Х) и /(г/) ехр(—jnsy lK) связана преобразованием Френеля. В этих выражениях умножение на квадратичный фазовый множитель аналогично виду преобразования, осуществляемого тонкой линзой над комплексной амплитудой падающего на нее светового поля [14, гл. 5]. То, что распространение электромагнитного поля между линзами можно описать, с помощью преобразования Френеля (или свертки с фазовым множителем), позволяет изучать свойства когерентных оптических процессоров, в которых основными операциями являются умножение и свертка [7], на основе алгебраических соотношений. Преобразование Френеля применяется также при исследовании голограмм Френеля и анализе систем воспроизведения с апертурами, кодированными зонной пластинкой. [c.34]

В соответствии с (13.3.3) осуществим фурье-преобразование отклонения 5С и в соответствии с (6.5.3) — фурье-преобразование куло-новского потенциала. Пользуясь теоремой о свертке для преобразования Фурье, получаем основное линеаризованное уравнение Власова — Ландау, являющееся нашей отправной точкой [c.112]

Анализ, щро ведениый для б-импульса, легко развить и на случай ограниченного спектра излучения, падающего а двухс-лой-ную структуру. Для этого достаточно представить, что происходит при подобном переходе в пространстве частот. Выполнив мысленно преобразование Фурье, мы получим спектр отражения образца — р(о). Для того чтобы найти спектр излучения, отраженного от образца, предположим, что спектр источника есть -/(ст), тогда В(о) =/(о)р(а). Перейдем снова к цитерфвропрам-ме. Для этого нам необходимо выполнить обратное преобразование, и вместо произведения в пространстве х мы получим свертку. Если излучению 1 а) соответствует интерферограмма [c.98]

В том же параксиальном приближении поле во входной плоскости еще одной линзы, у которой передняя фокальная плоскость совпадает с П (рис. 4.20), является в свою очередь фурье-преобразованием распределения поля в плоскости П и, таким образом, воспроизводит распределения поля Е на выходном зрачке первой линзы. Однако если в плоскости П расположен транспарант, изменяющий амплитудное и фазовое распределение, то поле в этой плоскости умножается на соответствующую функщ1ю t(x, у) и поля Е и Е не совпадают друг с другом. При этом поле Е пропорционально свертке Е с фурье-образом функции 1(х, у) и записывается в виде [c.304]

Для решения уравнения (7.15.3) требуются два массива размерами Np соответственно для функций// и/. Главным достоинством этого уравнения является то, что его правая часть представляет собой свертку, которую можно очень быстро вычислить с помопдью алгоритмов быстрого фурье-преобразования (БПФ). Таким образом, мы [c.534]

Свертка, выполняемая в фурье-плоскости, демонстрирует многие из трудностей, присущих процессу нахождения удачного соотношения между конструкцией устройств и алгоритмами оптических вычислений. Сама по себе процедура выполнения ЦУАС для фурье-образов является крайне простой и быстрой. Стоит только расположить нужным образом входной пучок и голограмму, и операция свертки выполняется моментально. Существует ряд устройств, которые могли бы выполнять модуляцию входного сигнала с высокими скоростями (например, 10 МГц и более). Также существуют и фотодетекторы, обладающие таким же высоким быстродействием. Проблемы возникают с использованием голограмм. На момент написания данной книги не существует устройств, позволяющих производить электронную запись голограмм в реальном времени. Как будет пояснено ниже, из-за отсутствия таких голограмм теряется интерес к рассмотрению операций, выполняемых в фурье-плоскости, и больший интерес приобретают операции с временной и пространственной координатами. Но все же интересно чуть-чуть порассуждать о том, как происходила бы реализация операции свертки в плоскости фурье-преобразования, если бы существовало соответствующее устройство. [c.187]

Последнее выражение можно использовать для модельного представления оптической системы, которое отражает как масштабные преобразования, так и фильтрующее действие оптической системы. Учитывая то, что реализация операции свертки на ЭВМ является трудоемкой задачей, целесообразно перейти от когерентного оптического отклика к его Фурье-образу - когерентной передатс чной функции (КПФ) [c.48]

Выполнив преобразование Фурье для выражения (65) и учитывая, что преобразование Фурье от свертки дву функций равно произведению Фурьеюбразов этих функций, получим [c.73]

Смотреть страницы где упоминается термин Фурье-преобразования и свертки : [c.37] [c.39] [c.41] [c.43] [c.45] [c.47] [c.49] [c.51] [c.53] [c.55] [c.57] [c.59] [c.61] [c.77] [c.44] [c.169] [c.279] [c.55] [c.67] [c.161] [c.431]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...