Уравнение теплопроводности в твердых тела

Уравнение теплопроводности в твердых телах [c.174]

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 175 [c.175]

Здесь координата К — в неподвижной системе Pi, i— плотность и удельная теплоемкость слоя кокса в целом Tj — температура g, Vg, pg—массовые концентрации, скорости и удельные теплоемкости газообразных продуктов пиролиза jVg— число компонентов газообразных продуктов пиролиза. При написании уравнения энергии для слоя кокса сделано предположение, что ввиду малости пор кокса температура его решетки и протекающих в ней газов одинакова. Запишем также уравнения теплопроводности в твердом теле в начальном состоянии и для всех образовавшихся слоев. Эти уравнения должны содержать нестационарные члены, поскольку границы слоев подвижные [c.57]

Рассмотрим условия подобия температурных полей при нестационарной теплопроводности. Дифференциальное уравнение теплопроводности в твердом теле при отсутствии внутренних источников теплоты имеет вид [c.177]

В связи с проблемой защиты тел от разрушения в результате аэродинамического нагрева большой интерес приобрели задачи, учитывающие возможность фазовых переходов в твердом теле при его обтекании сверхзвуковым или высокотемпературным потоком газа. Для решения таких задач необходимо совместно исследовать уравнения движения в области пограничного слоя, в области, занятой жидкой фазой, и уравнение теплопроводности в твердом теле. Однако при достаточно большой теплоте плавления (сублимации) тела и малых значениях коэффициента его теплопроводности, когда большая часть подходящего к поверхности тепла расходуется на процесс изменения агрегатного состояния вещества, теплопроводность в твердом теле можно не рассматривать. В такой постановке ниже исследуется задача об оплавлении полубесконечной пластины в предположении, что отношение произведений плотности на коэффициент динамической вязкости в жидкой фазе и в газе является большой величиной. Полученное решение обобщается на случай отвода в тело части теплового потока, подходящего к фронту плавления. [c.350]

В рассматриваемой постановке задачи уравнение теплопроводности в твердом теле, если пренебречь нестационарностью и продольным градиентом температуры, сведется к условию [c.357]

Уравнения (10) и (12) эквивалентны уравнениям теплопроводности в твердом теле [32], и их решение может быть получено с помощью преобразования Лапласа. Преобразованное уравнение, соответствующее уравнению (10), имеет вид [c.231]

Подобно уравнению теплопроводности в твердом теле, уравнения (4-12) — (4-15) сами по себе ничего не говорят о конкретном виде искомых полей. Для определения последних необходимо в каждом отдельном случае дополнительно знать условия единственности. Условия единственности состоят из задания геометрии пространства, в котором развивается явление, а также задания физических постоянных и граничных условий задачи (временные условия отпадают из-за стационарности). [c.76]

Ранее было показано, что при наличии объемного тепловыделения уравнение теплопроводности в твердом теле имеет вид [c.102]

Вместе с тем всегда следует стремиться к разумному упрощению постановки задачи. Иногда это упрощение может быть достигнуто путем точного или приближенного аналитического решения уравнения теплопроводности в твердом теле. [c.222]

Необходимо отметить, что применимость уравнения теплопроводности (50,4) к жидкостям практически сильно ограничена. Дело в том, что в жидкостях, реально находящихся в поле тяжести, уже малый градиент температуры приводит в большинстве случаев к возникновению заметного движения (так называемая конвекция см. 56). Поэтому реально можно иметь дело с неравномерным распределением температуры в неподвижной жидкости, разве только, если градиент температуры направлен противоположно силе тяжести или же если жидкость очень вязкая. Тем не менее, изучение уравнения теплопроводности в форме (50,4) весьма существенно, так как уравнением такого вида описываются процессы теплопроводности в твердых телах. Имея это в виду, мы займемся здесь и в 51, 52 более подробным его исследованием. [c.278]

Задача решается в сопряженной постановке, поэтому необходимо присоединить уравнение теплопроводности для твердого тела типа (1.109). [c.301]

Структура параметров-комплексов зависит от уравнений, описывающих изучаемый процесс. На примере уравнения, описывающего теплопроводность в твердом теле (2.54), рассмотрим способ составления комплексов. [c.30]

Конкретные значения чисел подобия (и если необходимо — относительное распределение переменных величин в начальный момент и на границах системы), присоединенные к соответствующим дифференциальным уравнениям, описывающим класс явлений (например, явления теплопроводности в твердом теле), выделяют из него (класса) обобщенный индивидуальный случай и, следовательно, могут рассматриваться как обобщенная форма краевых условий. [c.34]

Покажем эту операцию на примере периодического процесса теплопроводности в твердом теле, омываемом жидким теплоносителем. Будем считать, что дифференциальные уравнения для рассматриваемого процесса не известны. Требуется найти безразмерные комплексы. [c.43]

В задачах нестационарной теплопроводности в твердом теле температура определяется уравнением [c.177]

Полученное в предыдущем параграфе дифференциальное уравнение (21.13) описывает явление теплопроводности в самом общем виде. Для того чтобы из обширного класса явлений распространения теплопроводности в твердом теле, описываемых указанным уравнением, выделить данное так называемое единичное явление, необходимо это уравнение дополнить математическим описанием всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Дифференциальное уравнение совместно с частными особенностями, дающими полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются краевыми условиями или условиями одиозна ч ноет и. [c.278]

Приведем уравнения теплопроводности для твердых тел в различных системах координат. [c.12]

Подчеркнем, что собственные функции уравнения теплопроводности для твердого тела образуют полную систему [101, вследствие чего по этим функциям можно разложить в ряд Фурье другие функции. Вопрос о полноте собственных функций в задаче нестационарного теплообмена для систем, подобных каналу с ТВЭЛОМ и теплоносителем, по-видимому, должным образом и с необходимой математической строгостью не исследован. Мы примем условие полноты функций г 3й(г) без доказательства, как гипотезу, и будет Б дальнейшем пользоваться разложением функций в ряд Фурье по собственным функциям 1 л(г) оператора S (3.109) без дополнительных оговорок. Тем самым мы принимаем также отсутствие в полном спектре собственных значений этого оператора непрерывного спектра собственных значений и соответ-ствуюш,их сингулярных собственных функций, а также присоединенных элементов собственных функций [80, 471. [c.97]

В случае одномерного распространения тепла процесс нестационарной теплопроводности в твердом теле при подвижной границе описывается уравнением [c.279]

Путем последовательных упрощений общего уравнения энергии вязкой жидкости покажите, как оно сводится к классическому у рав нению теплопроводности в твердом теле и, наконец, к уравнению Лапласа. [c.60]

Первая строка приведенных условий выражает тот факт, что в начальный момент = о пограничного слоя еще нет, и жидкость скользит по контуру цилиндрического тела. При малых значениях времени i пограничный слой еще очень тонок, скорости и близки к своему внешнему значению и (х), а V мало отличается от нуля. Тогда первое из дифференциальных уравнений системы (234) можно привести к линейному виду, совпадающему по типу с известным уравнением теории теплопроводности в твердом теле (индексы при и, V, f ж Р ъ дальнейшем обозначают их принадлежность к соответствующему приближению) [c.517]

Итак, рассмотрим диффузию тепла из точечного источника в среде с постоянной теплопроводностью к. Уравнение теплопроводности для твердых тел имеет вид [c.160]

Уравнение (7) относится к катоду, а (8) — к аноду. К такому же типу, что и уравнение (6), относятся уравнения, описывающие процесс формообразования при электрической эрозии. Наиболее высокая точность электрохимического формообразования достигается при локальном действии на материалы высококонцентрированных потоков энергии. Объяснение этих явлений с позиций только теории теплопроводности в твердых телах при действии поверхностных источников тепла не может быть проведено последовательным образом [68, 70, 188]. [c.83]

Из теории теплопроводности в твердых телах известно ), что изменение температуры внутри изотропного тела подчиняется уравнению [c.213]

Рассмотрим также уравнение теплопроводности в твердых телах. Это уравнение можно получить, как частный случай уравнения энергии движущейся среды (1.41). Полагая среду неподвижной, нетрудно видеть, что Ф = 0 в этом случае величину dh/dt следует заменить величиной с dTldt, где с — удельная теплоемкость твердого тела. Полагая, что диффузия отсутствует (Ji = О, grad i = 0), и опуская члены Q и dpidt, можно получить уравнение энергии (теплопроводности) для твердого тела с изотропной теплопроводностью [c.24]

Получение общего решения этой системы дифференциальных уравнений, описывающих нестационарное турбулентное движение в пучке витых труб, невозможно из-за больших математических трудностей, учитывая, что решение задач нестационарного теплообмена требует рассмотрения одновременно с уравнениями, описываюпщми движение теплоносителя, и уравнений теплопроводности в твердом теле, т.е. в стенках витых труб. [c.13]

Уравнение (2.181а) в нестационарном случае является гиперболическим, определяющим два типа упругих волн — поперечные и продольные (см. [66, 165 31, За] задача 5.6 5) в стационарном случае (равновесие упругих тел) уравнение становится эллиптическим. Уравнение (2.1816) — уравнение теплопроводности в твердых телах. Уравнения движения анизотропных упругих тел анализировались в [66, 31]. [c.408]

Можно избежать вывода уравнения конвективного переноса тепла, правда, только для простейшего случая, путем непосредственного обобщения основного дифференциального уравнения теплопроводности в твердом теле (1-П). Таким простейшим случаем является описываемый уравнением (4-9) случай несжимаемой жидкости, текущей с небольшими скоростями. В твердом теле, согласно сказанному ранее, производная температуры по времени может быть только локальной производной дТ1дх. При переходе же к текущей среде, в которой происходит конвекция, надлежит взамен локальной производной вводить субстанциальную производную йТ/с1х, которая при услов и стацнонарностп процесса превращается в конвектив- [c.74]

Математически поставлеппая задача сводится к решению системы уравнений нестационарного пограничного слоя и уравнения теплопроводности в твердом теле, записанных в безразмерном виде [c.234]

Неравномерная нагретость твердой среды не приводит к воз-никновенню в ней конвекции, как это обычно имеет место в жидкостях. Поэтому перенос тепла осуществляется здесь одной только теплопроводностью. В связи с этим процессы теплопроводности в твердых телах описываются сравнительно более простыми уравнениями, чем в жидкостях, где они осложняются конвекцией. [c.174]

Уравнение теплопроводности в твердой среде может быть выведено непосредственно из закона сохранения энергии, выраженного в виде уравнения непрерывности для количества тепла. Количество тепла, поглощаемое в единицу времени в единице объема тела, равно Т dSldt, где —энтропия единицы объема. Эта величина должна быть приравнена — div q, где q — плотность потока тепла. Этот поток практически всегда пропорционален градиенту температуры, т. е. может быть записан в виде q = = —и VT (х — теплопроводность). Таким образом, [c.174]

При решении сопряженных задач механики реагирующих газов приходится преодолевать многочисленные математические трудности. В частности, уравнения описывающие состояние газовой и конденсированной фаз, имеют различную структуру, а иногда применяется и другой тип уравнений. Например, уравнения пограничного слоя имеют параболический тип, а уравнения теплопроводности г твердом теле для стационарного случая — эллиптический тип. Поэтому при решении задач конвективного теплоебмена часто используют понятие коэффициента теплообмена а и граничные условия третьего рода. При этом используют следующую схему решения задач конвективного теплообмена [c.214]

В задачах конвективного теплообмена Nu есть определяемая величина, безразмерный искомый коэффициент теплоотдачи - число Нус-сельта. В задачах нестационарной теплопроводности в твердом теле [уравнение (2.40) при w = О и граничных условиях (2.42)] аналогичный по форме комплекс а/Д является определяющим критерием Био Bi = otl/X. В отличие от числа Nu в критерии Био X — теплопроводность твердого тела, а значение а входит в условия однозначности. Критерий Био характеризует отношение термического сопротивления стенки 1/к к термическому сопротивлению теплоотдачи на поверхности (1/а), причем оба сопротивления заданы по условию задачи. [c.126]

В приведенных выше выражениях Т(Х , t) -искомое поле температур kjj Xj,t) — коэффициент теплопроводности в твердом теле p(X(,t), (Xj,t) — плотность материала и его удельная теплоемкость Q Xj,t) — интенсивность тепловьщеления q x ,t) — тепловой поток на поверхности тела, характеризуемой нормалью и h Xf,t) - Nu- в безразмерном виде) коэффициент теплоотдачи, определяемый для случая обтекания тела жидкостью с температурой T Xj,t) — температурой среды — выражениями (3.36), (3,37), Очевидно, что в общем случае уравнения теплопроводности (3.39) и теплопереноса (3,27) связаны и должны решаться совместно, делая тем самым задачу определения температурных полей в твердом теле трудноразрешимой. Дапее, Дх,-,г) - искомое поле перемещений в твердом теле G Xf,T, и,) к X(Xj,T,u/) - коэффициенты Ламэ e=Ujj - объемная деформация а(х,..Г) - коэффициент температурного расширения F(x-,t) — массовые силы Pj(x.,t) — внешние усилия, заданные на поверхности тела характеризуемой нормалью (например, давление теплоносителя в контуре, контактные уси- [c.98]

Можно избежать вывода уравнения (4-23) путем непосредственного обобщения основного дифференциального уравнения теплопроводности для твердого тела (1-11). Как было уже отмечено, в твердом теле производная температуры по времени может быть только локальной производной dTjdx. При переходе же к текущей среде, в которой происходит конвекция, надлежит вместо локальной производной вводить индивидуальную производную, которая при условии стационарности процесса превращается в конвектив- [c.90]

Процесс теплопроводности в твердом теле описывается системой уравнений (2-31) — (2-35). При такой широкой постановке задачи таблицы теплового расчета получаются громоздкими и для практических целей непригодными, так как содержат большое число входов (до 20). Поэтому в дальнейшем будем рассматривать одномерную задачу. Будем считать, что начальная температура во всех точках стенки одинакова и равна rir= onst. Материал стенки однороден и изотропен. Процесс теплопередачи в однослойной стенке описывается в этом случае следующей системой уравнений [c.153]

Дифференциальное уравнение теплопроводности совместно с начальными и граничными условиями полностью определяет задачу. Иначе говоря, зная геометрическую форму гела, начальные и граничные условия, можно уравнение решить до конца, т. е. найти функцию распределения температуры внутри тела в любой момент времени. При этом температура окружающей среды t должна быть задана. Если же температура движущейся жидкости изменяется в результате теплоотдачи от твердого тела, тогда необходимо решить не только уравнение теплопроводности для твердого тела, но и одновременно уравнение переноса тепла в движующейся среде совместно с уравнением Навье — Стокса и непрерывности. Решение последних уравнений необходимо при использовании полей температуры и скорости движения в движущейся среде. [c.72]

Стационарный одномерньнТ процесс теплопроводности в твердом теле с переменной теплопроводностью описывается уравнением [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...