Закон Грина

Этот результат известен более столетия как закон Грина. [c.155]

Фундаментальный вклад в классическую теорию внесли Гук, Навье, Коши, Ляме, Грин, Клапейрон. Гуком в 1678 г. установлен закон, линейно связывающий напряжения и деформации. [c.5]

Равенство (3.23) называется формулой Грина. Оно однозначно определяет шесть независимых компонент тензора напряжений через компоненты ef тензора деформации и представляет собой общее выражение закона упругости. [c.54]

Если теперь воспользоваться формулами Грина (15.49), то получим обобщенный закон Гука для изотропного тела в следующей форме [c.479]

НИИ известны все компоненты тензора деформаций. В случае свободной поверхности в локальной системе координат, связанной с точкой поверхности тела, в которой одна ось ( з) совпадает с нормалью к поверхности, а две другие (sj и ij) — с касательными к линиям кривизны поверхности, три компоненты тензора деформаций получаются непосредственно из изме-рений(ец, 22, е 12), одна ( 33) - из закона Гука, а две остальные (ei з, баз) равны нулю. Для соответствующего тензора напряжений отличными от нуля компонентами являются i, ffa 2. 2 В этих случаях естественно и целесообразно установить связь искомого вектора напряжений на Z, не с компонентами вектора перемещений, а с тензором напряжений на S. Для этого определим тензор функций напряжений Грина s, х), соответствующий тензору перемещений (j, х) [c.67]

Необходимо заметить, что теорема взаимности Бетти по своей сути связывает решение двух различных краевых задач для одной и той же области. Она является следствием линейности уравнений равновесия и закона Гука- Само фундаментальное решение, которое базируется на рассмотрении задачи о сосредоточенной силе в бесконечной упругой среде, может быть интерпретировано как функция Грина для бесконечно упругой среды или функции влияния. [c.52]

Выводом этих уравнений и их решением мы займемся позже. В этой главе мы будем иметь дело с основными теоремами, которые можно получить из закона Гука, не обращаясь к подробным теориям напряжений и деформаций. Это те выводы, которые сам Гук мог бы сделать из своих наблюдений, если бы он обратился к закону сохранения энергии. Однако заметим, что закон сохранения энергии не был четко сформулирован даже во времена появления мемуара Навье, и только в 1837 г. Грин вывел общие уравнения новым методом, в основе которого лежал закон сохранения энергии ). [c.10]

В русском переводе книга выходит через пять лет после английского издания. Мы решили воспользоваться этой возможностью, чтобы внести некоторые изменения. Надеемся, что они будут способствовать улучшению книги. Прежде всего, мы восстановили полный текст тех параграфов и разделов, которые, на наш взгляд, имеют важное методическое значение, но были сокращены в английском издании исключительно из соображений объема. В главе 4, посвященной квантовой кинетической теории, добавлен параграф о связи эффектов памяти в кинетических процессах с законами сохранения. В главе 5 добавлено приложение, в котором обсуждается относительно новое и интересное явление — квантовая диффузия в кристаллах. Наибольшие изменения коснулись главы 6 из второго тома, куда включен ряд последних результатов в методе неравновесных функций Грина. И, наконец, в главе 7 более подробно, чем в английском издании, обсуждается применение методов неравновесной статистической механики в теории лазерной генерации. Были исправлены также опечатки, замеченные в английском издании книги. [c.9]

Граничные условия для временных функций Грина. Метод временных функций Грина с успехом применялся и применяется до сих пор во многих задачах квантовой кинетики. Одним из его главных достоинств является то, что в нем естественным образом удается ввести понятие квазичастиц, для которых закон дисперсии связан с массовым оператором соотношением (6.3.77). Привлекательной чертой этого метода является также возможность применения диаграммной техники, позволяющей выполнять суммирование рядов теории возмущений в наглядной графической форме. И все же метод функций Грина в существующем виде нельзя рассматривать как универсальный метод в квантовой кинетике. Кроме проблемы построения корреляционных функций по функции Вигнера, о которой речь шла выше, метод функций Грина плохо приспособлен для описания многочастичных корреляционных эффектов. Этот недостаток и возможные пути его устранения мы обсудим в данном разделе. [c.58]

Представление упругого потенциала в виде скалярной функции меры деформации Коши-Грина X = x(G ) дает возможность представить тензор Пиола в виде производной функции х по мере деформации. В этом случае закон состояния материала среды имеет вид [c.20]

Представление упругого потенциала как скалярной функции тензора деформации Коши-Грина х = x(S) используется для определения тензора Кирхгофа К (энергетического тензора), поскольку он сопряжен тензору деформации Коши-Грина S. Закон состояния с использованием тензора Кирхгофа имеет вид [c.21]

Закон состояния Фингера. Будем полагать, что потенциальная энергия деформации определена как функция инвариантов меры деформации Коши-Грина G или, что равносильно, как функция инвариантов меры деформации Фингера F [75, 160] [c.22]

Представление через алгебраические инварианты тензора деформации Коши. Часто закон состояния изотропной среды представляется в виде функции алгебраических инвариантов [54] — первых инвариантов степеней тензора деформации Коши-Грина S [c.22]

Представление (1.5.1) потенциальной энергии деформации как функции инвариантов меры деформации Коши-Грина (или Фингера, что одно и то же) и использование связи (1.3.4) между тензорами Пиола и Кирхгофа позволяет задать закон состояния выраженный через тензор Кирхгофа [c.24]

Материал Мурнагана. Допустим, что в качестве среды выбран материал Мурнагана. Используя представление упругого потенциала через инварианты меры Коши-Грина (или, что равносильно — меры деформации Фингера), (1.6.9) получим закон состояния в виде (1.7.3) но с коэффициентами [c.29]

По форме от представления (1.7.11) мало отличается закон состояния, выраженный через тензор деформации Коши-Грина [c.30]

Законы распространения волн в канале с непрерывно меняющимся прямоугольным сечением были изучены Грином ). Его результаты, свободные от ограничения специальной формой сечения, можно получить следующим образом. [c.344]

Рассмотрим одновременно с фф иг )ф какие-либо решения (7.8.1) и (7.8.2), непрерывные вместе со своими частными производными первого и второго порядка всюду в области решения этих уравнений. В точке х=Хо, у=Уо фундаментальные решения (7.8.6) и (7.8.7) претерпевают нарушение непрерывности по логарифмическому закону. Поэтому для того чтобы применить обобщение формулы Грина [c.187]

В теории упругости на основании закона сохранения энергии и в предположении обратимости процесса имеем формулы Грина [c.325]

Эти шесть формул называются формулами Кастилиано, и они взаимны с шестью формулами Грина (3.19). Но формулы Грина не зависят от существования закона Гука, между тем как формулы Кастилиано имеют место только, если существует закон Гука. [c.72]

Поставим задачу определения функции Грина для перемещений и температуры в неограниченной термоупругой среде, возникающих под действием приложенной в точке ( ) сосредоточенной силы, меняющейся во времени по гармоническому закону Ч Обозначим через ( —1, 2, 3) векторное поле перемещений, [c.138]

В соответствии с выражением (4.2.10) поле w(r) полностью определено, если оно задано вместе с производной по нормали на замкнутой поверхности, ограничивающей интересующий нас объем. Однако при этом мы еще не можем получить распределение поля. Действительно, чтобы воспользоваться выражением (4.2.10), должна быть известна функция Грина для конкретного закона изменения показателя преломления и конкретных граничных условий, определяемых рассеивающими объектами, диафрагмами и т. д. Формально мы можем рассматривать и и ди/дп на поверхности S как входные данные линейной системы, отклик которой w(r) дается интегралом (4.2.10). Следовательно, оптическую систему можно сравнить с черным ящиком, входными параметрами которого являются и и ди/дп , заданные на S, хотя, как мы покажем ниже, их нельзя варьировать независимо. При этом [c.255]

Грина — Остроградского формула 24 Гука закон 68, 79 [c.361]

Итак, компоненты тензора напряжений согласно закону Гука есть линейные функции компонент e тензора деформации и вместе с тем в соответствии в формулой Грина являются частными производными первого порядка упругого потенциала W (в ) по соответствующим компонентам тензора деформации. Отсюда становится очевидным,"что упругий потениил W ( и) представляет собой функцию второго поряд-к а компонент тензора деформации. Общее выражение этой функции можно представить в следующем виде [c.57]

Подчеркнем, что если формула Грина (3.23) и формула (3.28) применимы для любого упругого тела, то формула Кастильяцо справедлива лишь для упругого тела, следующего обобщенному закону Гука. [c.66]

Формулой обращения интегрального преобразования Лапласа в общем случае является интеграл Римана — Меллина (2-9-2). Эта формула позволяет получать решения в интересующей нас форме, в том числе в замкнутой форме. Идея метода состоит в том, что выбор ядра интегрального преобразования К(р, х) осуществляется в соответствии с днф-деренциальным уравнением и граничными условиями, т. е. с учетом геометрической формы тела и законом его взаимодействия с окружающей средой. Другими словами, ядром преобразования является функция Грина для данной задачи. Изображение функции f(x) получается с помощью интегрального преобразования [c.83]

Вывел законов Т.н. п. из законов механики (класснч. и квантовой) и получение выражений для кинетич. ко-эф. через параметры, характеризующие iроение вещества, входят в задачу неравновесной статистической термодинамики, к-рая относится к Т.н.п. так же. как статистич. термодинамика к термодинамике (см., напр., Грина—Кубо форму.1ы). Обоснование Т.н. п. для газов даёт кинетическая теори.ч гаюв. [c.89]

Частотно - временные методы основаны ца представлении законов движения периодических виброударкых процессов через так называемые периодические функции Грина линейных систем [5, 6, 9]. По своему характеру они, в известной мере, объединяют оба описанных подхода, почему и получили такое наименование. Рассмотрим общее уравнение движения (6.5.32) и эквивалентное ему (для установившихся режимов) интегральное уравнение (6.5.33). Воспользовавшись стереомеханической теорией, предположим, что в системе установился Г-периодический виброударный процесс с V соударениями за период. В соответствии с (6.5.29) [c.385]

Э. Рейсснер [27] дает несколько иной вывод уравнений, вводя углы поворота, а также дает способ, преобразования системы уравнении. В 1949 г. А. Грин [23] вывел уравнения Рейсснера энергетическим путем без применения теоремы Кастилиано. Прием А. Грина обсуждает также С. П. Тимошенко [30]. Обобщение варианта Э, Рейсснера на произвольный закон изменения изгибных напряжений по толщине пластины, но одинаковый для всех трех компонентов, дано А. Л. Гольденвейзером [13] (1958 г.). Л. Я. Айнола [1] (1962 г.) показал, что функция распределения напряжений по толщине пластины, введенная А. Л. Гольденвейзером, может быть определена из вариационного принципа Кастилиано. [c.191]

В то же время решения задачи о простом сдвиге для тел из идеального упругопластического материала и упругопластического материала с изотропным упрочнением показывают правильную картину деформирования (без осцилляций компонент тензора напряжений Коши при монотонном возрастании сдвига) при использовании определяющего соотношения (2.18) [118]. Осцилляции появляются в том случае, если применяется кинематический (анизотропный) закон упрочнения материала упругопластического тела. Таким образом, для первых двух моделей упругопластического материала в качестве скорости тензора напряжений можно использовать производную Яуманна тензора напряжений Коши S , что значительно упрощает задачу определения скорости изменения тензора напряжений Коши по сравнению с использованием производной Грина — Макиннеса В первом случае компоненты производной определяются непосредственно с использованием компонент тензора вихря w, а во втором слу- [c.76]

Это показывает, что такой материал может только в первом приближении рассматриваться как сен-венаново тело. В о втором приближении он должен обладать еще вязкостью. После того как это обнаружено, приходим к бингамову телу. Бингам и Грин (Green, 1919 г.) в действительности обнаружили эту комбинацию пластичности и вязкости у другого материала, а именно у масляной краски. До Бингама думали, что масляная краска является жидкостью и ее вязкость определяется по закону Пуазейля. Одпако эта величина является только кажущейся вязкостью (г) ), так будем всегда называть величину, о п р е-деляемую по закону Пуазейля или подобному ему 3 а к о II у. в применении к материалу, не являющемуся простой ньютоновской жидкостью. Через достаточное время жидкость, находящаяся на вертикальной поверхности, должна стечь вниз. Если материал остается па поверхности, он должен быть твердым телом, хотя бы даже и очень мягким. Таким материалом и является в действительности краска Если слой краски является настолько тонким, что его вес создает касательные напряжения, меньшие От, то течение не возникает, и поэтому краска не стекает вниз. Этот слой устанавливается автоматически лишнее стекает, оставшееся покоится. [c.136]

Для изотропных тел наиболее часто используется закон состояния Финге-ра (1.5.5) по степеням меры деформации Фингера (или Кощи-Грина, что равносильно) [c.30]

Вычисление амплитуды поверхностной волны по заданным токам. Фор1мула (16.26) позволяет вычислить амплитуду поверхностной волны по полю создаваемому возбуждающими токами в вакууме. Существует другой способ вычисления этой амплитуды, при котором получается формула, содержащая непосредственно эти токи. Способ этот проще, он не требует интегрирования в плоскости комплексной переменной. Его недостаток состоит в том, что он не позволяет оценить дополнительное поле и указать область, где оно мало и где поэтому полное поле имеет в основном структуру поверхностной волны. Этот способ состоит в использовании леммы Лоренца для искомого и вспомогательного поля в качестве вспомогательного поля надо взять поле встречной поверхностной волны. Этот способ — аналог вычисления поля токов с помощью функции Грина (п. 12.3), роль которой играет вспомогательное поле. Изложим этот метод, опуская математическое доказательство законности проделываемых преобразований. [c.164]

Изучением реологических свойств сред, обладающих вязкостью и пластичностью, впервые начали заниматься Т. Шведов 101], Е. Бингам и X. Грин (Н. Green) [83], М. Рейнер [69,70], Г. Скотт-Блэр [103], М. Воларович [105]. Ими экспериментально изучалось поведение таких сред, как, например, масляные краски, глина, суспензии торфа, пищевые массы, для случаев чистой деформации сдвига. Было установлено, что течение таких сред начинается только с того момента, когда касательное напряжение т в точках среды достигает некоторой определенной величины, которая была названа предельным напряжением сдвига tq или пределом текучести. При дальнейшем увеличении касательного напряжения движение этих сред происходило в соответствии с законом вязкого трения Ньютона. [c.44]

Понятия о напряжении и деформации были установлены Кошп около 1822 г. Вместе с теорией потенциала, теорией функций комплексного переменного, вариационным исчислением и законом сохранения энергии эти понятия составили фундамент, на котором в течение XIX в. были построены начала математической теории упругости и классической гидромеханики силами, главным образом, Навье, Пуассона, Грина, Стокса, Кирхгофа, Гельмгольца, Сен-Венана, Буссинеска, Максвелла, Кельвина, Рэлея, Лява, Лэмба и других2). В 1882 г. Отто Мор опубликовал свою первую статью о графическом представлении напряженного состояния, указав в дальнейшем, что его графический метод приложим также и в анализе распределения моментов инерции в твердых телах. [c.172]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...