Стационарное значение потенциальной

Обсудим связь между материалом, изложенным в данном пункте, где речь шла об описании механических явлений вблизи положения равновесия, и макроскопической картиной пространства конфигураций. Мы оперировали с координатами, имевшими значение локальных координат. Они отражали малые локальные вариации bqi координат I вблизи положения равновесия Р. Потенциальная энергия V вследствие разложения в ряд Тейлора также отражала локальные вариации потенциальной энергии V в окрестности точки Я. Линейные члены выпадали, поскольку мы разлагали функцию вблизи точки равновесия. Разложение начиналось с членов второго порядка и давало то, что в общем случае называется второй вариацией функции (см. гл. II, п. 3). Теперь мы видим, что та же самая вторая вариация, которая была существенна при определении экстремальных свойств стационарной точки, существенна и в вопросе об устойчивости либо неустойчивости состояния равновесия. Если все X положительны, то вторая вариация является положительно определенной формой это означает, что потенциальная энергия увеличивается в любом направлении от Р. Следовательно, потенциальная энергия имеет локальный минимум в точке Р. Утверждения о наличии минимума потенциальной энергии и существовании устойчивого положения равновесия эквивалентны. Если по крайней мере один из корней отрицателен, то вторая вариация меняет знак и стационарное значение потенциальной энергии не является уже истинным экстремумом. В то же время соответствующее положение равновесия неустойчиво. [c.188]

Изложим иной подход к задаче об устойчивости стационарных движений и, в частности, равновесий твердых тел с полостями, частично или целиком заполненными идеальными или вязкими жидкостями, опирающийся на определение устойчивости и идеи, развитые Ляпуновым в теории устойчивости фигур равновесия вращающейся жидкости [8]. Установившимся движениям соответствуют стационарные значения потенциальной энергии П или iff. Задача об устойчивости установившихся движений сводится к исследованию характера экстремума потенциальной энергии [c.300]

Стационарное значение потенциальной энергии 503 Степени кинематической неопределимости 467 [c.664]

Полученное уравнение (139) выражает принцип минимума потенциальной энергии, который утверждает, что при заданном иоле внешних сил истинному деформированному состоянию соответствует стационарное значение потенциальной энергии Й [c.68]

Решая систему уравнений (27.14), можно найти одну или несколько равновесных конфигураций системы, т. е. один или несколько наборов значений обобщенных координат д о, д о, , которым соответствуют те или иные стационарные значения потенциальной энергии системы. Это не обязательно должен быть минимум или максимум функции и, так как с точки зрения математики уравнения (27.14) представляют собой только необходимые, но не достаточные условия существования экстремума функции многих переменных. [c.157]

Принцип формулируется следующим образом среди всех допустимых перемещений те, которые удовлетворяют условиям равновесия, обеспечивают стационарное значение потенциальной энергии. По- [c.169]

Модели для анализа напряжений и деформаций часто оказываются более удобными, если представлены в интегральной форме, вытекающей из вариационных принципов механики. Вариационный принцип Лагранжа (принцип потенциальной энергии) гласит, что потенциальная энергия системы получает стационарное значение на тех кинематически возможных перемещениях, отвечающих заданным граничным условиям, которые удовлетворяют условиям равновесия. Поэтому модель представляют в виде выражения потенциальной энергии П системы как разности энергии деформации Э и работы массовых и приложенных поверхностных сил А [c.158]

Подобным же образом в общем случае консервативной системы с п степенями свободы, когда потенциальная энергия является функцией от п обобщенных координат Qi,, q,i, положениям равновесия соответствуют точки координатного пространства, в которых достигаются стационарные значения функции V (q). [c.212]

Установленное выше утверждение о том, что прямой путь доставляет действию по Гамильтону стационарное значение, называется вариационным принципом (или началом) Гамильтона. Принцип Гамильтона замечателен тем, что он выделяет прямой путь среди всех окольных путей, которые могут быть проведены между двумя точками расширенного координатного пространства, устанавливает общее свойство прямого пути, его отличие от иных кинематически возможных, но не реализующихся в рассматриваемом потенциальном поле путей ). [c.279]

В положении равновесия потенциальная энергия спутника должна иметь стационарное значение. [c.508]

Таким образом, положения равновесия голономной системы могут быть только при тех значениях обобщенных координат д, д ,. .., при которых и силовая функция V, и потенциальная энергия П имеют стационарные значения, в частности, экстремальные — максимум или минимум. Причем, если 11 достигает максимума, то П достигает минимума, и наоборот. [c.337]

Внешняя потенциальная энергия системы. Рассмотрим случай, когда система находится во внешнем стационарном поле консервативных сил. В этом случае каждая частица системы будет характеризоваться своим значением потенциальной энергии Vi в данном поле, а вся система — величиной [c.105]

Теорема Рауса. Если в стационарном движении потенциальная энергия = П — приведенной системы имеет минимум, то это движение устойчиво относительно позиционных координат qj и скоростей Vj, по крайней мере для возмущений, не нарушающих значения циклических ин тегралов (3.11). [c.87]

Резюме. Принцип виртуальных перемещений требует, чтобы в состоянии равновесия равнялась нулю работа приложенных сил при любой бесконечно малой вариации конфигурации системы, при которой не нарушаются наложенные кинематические связи. Для моно-генных сил это приводит к следующему условию в состоянии равновесия потенциальная энергия должна иметь стационарное значение по отношению ко всем кинематически возможным вариациям. [c.100]

Предположим теперь, что начало координат Р нашей системы отсчета является положением равновесия. Следовательно, функция V должна иметь в этой точке стационарное значение (см. гл. II, п. 2 и гл. III, п. 1). Поэтому линейные члены разложения (5.10.12) выпадают. Поскольку аддитивная постоянная в потенциальной энергии несущественна, то можно считать, что разложение начинается с членов второго порядка. Дальнейшие члены не нужны, потому что уже членами третьего порядка можно пренебречь при достаточно малых qi. Следовательно, можно написать [c.178]

Покажем теперь, как тесно связана задача о малых колебаниях механических систем около положения равновесия с определением главных осей для потенциальной энергии V. Главные оси поверхности второго порядка обладают определенными экстремальными свойствами. Их можно найти, отыскивая на поверхности те точки, для которых расстояния от начала координат имеют стационарные значения. Поэтому задача состоит в нахождении стационарного значения квадратичной формы [c.179]

Условие (5.10.21) означает, что мы находимся на сфере радиуса 1. В каждой точке этой сферы потенциальная энергия V имеет определенное значение. Требуется найти те особые точки Qi на поверхности сферы единичного радиуса, для которых потенциальная энергия V имеет стационарное значение. [c.180]

Это значит, что возможные положения равновесия соответствуют таким значениям б, при которых потенциальная энергия принимает стационарное значение при малых перемещениях. [c.167]

Однако эти ЪМ условия являются требованиями того, чтобы функция V имела стационарное значение. Таким образом, при равновесии консервативной системы ее потенциальная энергия имеет стационарное значение. Выражение принцип [c.16]

В положении равновесия полная потенциальная энергия консервативной механической системы имеет стационарное значение, причем, согласно теореме Лагранжа, положение равновесия устойчиво, если это значение соответствует минимуму полной потенциальной энергии. Не углубляясь в математические тонкости, поясним эти общие положения на простейших примерах. [c.11]

Существует также теорема [3], которую часто называют принципом минимума полной потенциальной энергии или теоремой Лагранжа в состоянии равновесия консервативной системы ее полная потенциальная энергия принимает стационарное значение, причем в устойчивом состоянии равновесия это стационарное значение — минимум. Подчеркнем, что принцип минимума полной потенциальной энергии охватывает все консервативные системы — как линейные, так и нелинейные. Нелинейность консервативной системы может быть обусловлена двумя причинами геометрическими и физическими. Геометрические нелинейности обычно связаны с большими перемещениями гибких тонкостенных систем типа стержней, мембран или оболочек. Физическая нелинейность — это нелинейность зависимости между напряжениями и деформациями в упругом твердом теле. [c.77]

Связь между деформациями и перемещениями в классической линейной теории упругости задается соотношениями (3.4). Как уже отмечалось, в положении равновесия ЬЭ — О, т. е. полная потенциальная энергия принимает стационарное значение. Для выяснения характера соответствующей стационарной точки необходимо исследовать вторую вариацию полной потенциальной энергии 6 5. Учитывая, что в соответствии с (3.15) вторая вариация Ь П = О, [c.78]

Известны два эквивалентных варианта формулировки статического критерия устойчивости консервативных систем [3]. В одном пз них критическая нагрузка определяется как наименьшее из тех значений нагрузки, при которых изменение полной потенциальной энергии при отклонениях системы от начального состояния равновесия имеет стационарное значение. В этом случае аналитическая формулировка критерия устойчивости выглядит так [c.79]

Определение устойчивости [13 . Рассмотрим некоторое установившееся движение системы, соответствующее стационарному значению измененной потенциальной энергии W [см. (22)1 при заданном значении постоянной площадей Ло- Без уменьшения общности допустим, что корни уравнении (24) qj=0 (i — 1..... п — 1) [c.300]

Теорема о наименьшей работе. Истинные значения лишних неизвестных (реакции статически неопределимой системы, значения которых не могут быть определены из уравнений равновесия) соответствуют условию стационарности дополнительной потенциальной энергии тела [c.43]

Зависимостью (1.4.52) выражается известное начало наименьшей работы из всех статически возможных напряжений истинными будут те, при которых дополнительная потенциальная энергия РТ принимает стационарное значение. [c.50]

Покажем, что если упругое тело находится в равновесии, то его полная потенциальная энергия имеет стационарное значение. Для этого найдем первую вариацию полной потенциальной энергии [c.23]

Это уравнение, которое называют вариационным уравнением Лагранжа, в отличие от уравнения в вариациях (1.29) справедливо только для консервативных систем. Из уравнения Лагранжа следует, что в положении равновесия полная потенциальная энергия консервативной системы имеет стационарное значение. Справедливо и обратное утверждение если полная потенциальная энергия имеет стационарное значение, то система находится в положении равновесия. [c.24]

Общий подход к исследованию устойчивости равновесия консервативных систем основан на принципе минимума полной потенциальной энергии. Наглядной иллюстрацией такого подхода служит описание поведения тяжелого шарика на гладкой поверхности (рис. 1.13). Потенциальная энергия такого шарика изменяется пропорционально его вертикальному смещению. Она уменьшается с опусканием шарика и увеличивается, когда шарик поднимается. Поэтому нижняя точка вогнутой поверхности (а) соответствует минимуму потенциальной энергии и положение равновесия шарика в этой точке устойчиво. Вершина выпуклой поверхности (б) соответствует стационарному, но не минимальному, а максимальному значению потенциальной энергии, и положение равновесия шарика здесь неустойчиво. Другими словами, помещенный в нижнюю точку вогнутой поверхности шарик останется [c.28]

При малых отклонениях тела от рассматриваемого положения полная энергия получает некоторое приращение АЭ. В положении равновесия (не обязательно устойчивого) полная потенциальная энергия имеет стационарное значение. Условие стационарности — необходимое условие минимума — приводит к вариационному уравнению (1.61). Для того чтобы положение равновесия было устойчивым, должно выполняться необходимое и достаточное условие минимума, т. е. условие АЭ > О при любых достаточно малых отклонениях от положения равновесия. Если же при заданных нагрузках и условиях закрепления тела возможны такие малые отклонения от положения равновесия, при которых АЭ О, то положение равновесия не будет устойчивым. [c.29]

Докажем теорему Лагранжа — Дирихле сначала для системы с одной степенью свободы, на которую наложены голономиые, идеальные и стационарные связи эта система находится в стационарном потенциальном силовом поле. Примем значение потенциальной энергии равным нулю в положении равновесия системы при = О, т. е. будем считать П (0) = 0. [c.387]

Уравнение (6.44) выражает собой так называемый принцип потенциальной энергии при заданных внешних силах и граничных условиях действительные перемещения ui таковы, что для любых возможных перемещений первая вариация полной потенциальной энергии равна нулю, т. е. полная потенциальная энергия П имеет стационарное значение. Можно показать (теорема Лагранжа—Дирихле), что в положении устойчивого равновесия полная потенциальная энергия системы имеет минимальное значение, т. е. вторая вариация д П>0. [c.123]

Последнее выражение позволяет вычислить разность энергий между стационарным равновесным состоянием молекулы (ЫаС1) и состоянием, в котором два иона разделены бесконечно большим расстоянием. Эта разность энергий называется энергией диссоциации молекулы (О). Минимальное значение потенциальной энергии для кристалла будет [c.23]

Равенство (9.476) означает, что для обеспечения равновесия системы ее потенциальная энергия должна принимать стационарное значение. В случае линейно-упругого тела ус ювие стационарности [c.335]

Мы снова получаем задачу о нахождении стационарного значения функции, но эта функция — уже не первоначальная потенциальная энергия V, а видоизмененная потенциальная энергия V. Физически это вполне понятно. Поскольку мы не ограничиваем вариации положения системы условием (3,5.1), а допускаем произвольные вариации q., постольку будут действовать не только приложенные силы, но и силы, обеспечивающие выполнение заданной связи. Они тоже имеют свою потенциальную энергию, которую следует добавить к потенциальной энергии внешних сил. Поэтому преобразование потенциальной энергии путем добавления члена Kf — это не просто математический прием, а операция, имеющая реальный физический смысл. Преобразование потенциальной энергии в соответствии с методом множителей Лагранжа отражает наличие потенциальной энергии у сил, обеспечиваюи их выполнение заданных кинематических условий. [c.107]

Следовательно, произвольное линейное преобразованне координат Qi, не изменяющее значений потенциальной энергии V, оставляет иензменным также и значения Я,. В то время как п главных осей Р, определяют направления, в которых потенциальная энергия достигает своих стационарных значений, корни Xi определяют сами эти значения Vi, согласно равенству [c.182]

Мы видим, что разыскание положений равновесия сводится в рассматриваемом случае к определению условий, при которых первая вариация силовой функции и обращаетса в нуль другими словами, положения равновесия совпадают с теми положениями системы, для которых силовая функция имеет стационарное значение. Для независимых координат придётся искать абсолютное стационарное значение функции U если же координаты связаны условиями, то стационарное значение функции U будет относительным. Если силовая функция однозначна и, следовательно, существует потенциальная энергия V= — U, всё сказанное о стационарности значения U в положении равновесия может быть также отнесено и к потенциальной энергии V. [c.389]

Квадратичная форма (2.12) так же, как и кинетическая энергия, является знакопостоянной положительной. Последнее вытекает из условия устойчивости положения равновесия, сформулированного в теореме Лагранжа—Дирихле если для материальной системы, находящейся в консервативном силовом поле и подчиненной голономным идеальным и стационарным связям, потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, то это положение равновесия является устойчивым. Поскольку значение потенциальной энергии в положении равновесия принято равным нулю и одновременно отвечает минимуму, при любом отклонении системы от устойчивого положения равновесия имеем F >0. [c.60]

Можно доказать и более общую теорему [28J, которую часто называют принципом минимума полной потенциальной энергии в положении равновесия полная потёнцильная энергия консервативной системы имеет стационарное значение, причем положение равновесия устойчиво, когда это стационарное значение-минимум. [c.24]