Ли скобка

Будут ли скобки Пуассона (ф, Н) интегралом канонической системы уравнений в том случае, если функция ф не зависит явно от времени [c.390]

Здесь a — скалярный, не зависящий n q ъ p параметр. Любая абстрактная операция, обладающая свойствами (1.2.8) — (1.2.10), называется в алгебре скобкой Ли. Скобка Пуассона (1.2.6) является частной реализацией абстрактной скобки Ли. Эти свойства сильно отличаются от правил выполнения более привычных операций, таких, как сложение или умножение. Например, уравнение (1.2.8) показывает, что скобка не коммутативна. Из него следует, что [c.19]

В аналитической геометрии показано, что у эллипса эксцентриситет меньше единицы, у параболы равен единице и у гиперболы больше единицы. Как видно из написанного равенства, эксцентриситет меньше единицы, равен единице или больше единицы в зависимости от того, является ли выражение, стоящее в скобках, отрицательным, нулем или положительным. [c.399]

Это показывает, что если такая переменная не содержит явно времени, то, для того чтобы она была интегралом движения, достаточно обращения в нуль скобки Пуассона от этой переменной и от Н. Этот результат дает хороший способ определения интегралов движения вне зависимости от того, будет ли само Н интегралом уравнений движения или нет. [c.111]

Если U и V — два векторных поля, то их скобка Ли [U, V] (f)=v(u(/))-u(v(f)) [c.244]

Ф-ция f u,ui,...,ui,x,T) наз. симметрией уравнения (6), если оно совместно с ур-нием = f u,ui,...,ui,x,T), где т — новая переменная. Симметрии образуют алгебру Ли относительно скобки Пуассона [c.316]

Таким образом, выражение в квадратных скобках под знаком интеграла равно 2т или О в зависимости от того, лежит ли величина у внутри отрезка —Л и Л или вне его. Следовательно, [c.362]

Здесь в первой скобке стоит разность хода Д" лучей, приходящих в Р по двум путям от источника 5". Ее значение определяет, будет ли в Р максимальная, минимальная или промежуточная интенсивность в интерференционной картине, создаваемой источником 5". Во второй скобке стоит разность хода.Д лучей, выходящих из 5. Разность этих величин [c.235]

Пара (М, Е) называется симплектическим (каноническим) многообразием. Функция f,g называется скобкой Пуассона функций /ид. Скобка Пуассона превращает линейное пространство С М) в бесконечномерную алгебру Ли над полем R. Ее центр (множество элементов, коммутирующих со всеми элементами алгебры) состоит лишь из постоянных функций. [c.19]

Итак, скобка Пуассона функций на д также является функцией на д. Эта скобка удовлетворяет свойствам 1)-3) скобки Пуассона, но может быть вырожденной (поскольку рассматриваются функции специального вида на ГС = Схд). Скобка (2.5) называется скобкой Ли — Пуассона она впервые была рассмотрена Ли в его теории групп преобразований. Если Г и С линейны по моментам т, то [c.28]

В качестве базиса векторных полей (2.2) удобно выбирать левоинвариантные (правоинвариантные) векторные поля из ее алгебры Ли. При этом тензор не зависит от координат и определяется структурными константами алгебры Ли. Скобка (2.12) при этом определяет так называемую каноническую структуру на кокасательном расслоении с базой — группой Ли [31]. [c.37]

В этом случае пуассоново многообразие есть двойственное линейное пространство алгебры Ли. Для определения скобки Пуассона любых двух функций рассмотрим сначала линейные функции. Эти функции являются элементами алгебры Ли. Их скобка Пуассона, по определению, есть их коммутатор в алгебре Ли. Скобки Пуассона нелинейных функций теперь автоматически определены, так как эта операция должна удовлетворять правилу Лейбница [c.106]

Резюме. Заданная производяш,ая функция определяет каноническое преобразование в неявной форме. Хотя и не существует формул, которые бы задавали каноническое преобразование в явном виде, однако относительно любого конкретного преобразования можно выяснить, является ли оно каноническим. Для этой цели могут быть использованы скобки Лагранжа или Пуассона. Эти скобки тесно связаны с каноническими преобразованиями. Каноническими являются те преобразования сопряженных переменных, которые оставляют инвариантными любые скобки Лагранжа или Пуассона. [c.249]

Группой функций по С. Ли называется всякая совокупность функций от двух сопряженных рядов п переменных, обладающая следующими свойствами 1) она содержит всякую сложную функцию, составленную из функций той же совокупности 2) к ней принадлежат скобки Пуассона от двух каких угодно из ее функций. С. Ли доказал, что во всякой группе функций можно определить некоторое число /и<2л таких независимых функцкй Ui, и ,Пщ, что для всякой пары индексов г, ] будем иметь [c.277]

Этот метод можно обобщить на все подобного рода канонические преобразования. Оказалось, что предпочтительнее не определять р, явно, а установить те дифференциальные уравнения, которым они должны удовлетворять. Следуя Пуассону, Шеринг и Ли в 1873 г. ввели символические скобки. Определим [c.823]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Примечания к теореме 1) как и в 16, гладкие функции образуют алгебру Ли относительно скобки Пуассона отображение x(F)=F есть гомоморфизм ее в алгебру векторных полей 2) если 7 = onst, то доказательство (18) сводится к рассуждению- [c.249]

Если преобразования симметрии образуют не однопараметрич. группу, то между QA должны выполняться соотношения в скобках Пуассона, воспроизводящие Ли алгебру генераторов соответствующей группы. Так, напр., три компоненты момента должны удовлетворять соотношению в скобках Пуассона [c.340]

С. г. 2ге-мерного симплектич. пространства — это простая связная группа Ли, обозначаемая Sp(2n, R) [в комплексном случае Sp(2n, )]. Её размерность (2п -f- 1)л. Ли алгебра этой группы изоморфна алгебре Ли однородных многочленов степени 2 от переменных (pi,. .., рп, 1,. .., п) с Пуассона скобкой в качестве коммутатора [c.520]

Ур-ние Эйлера (для твёрдого тела). Если действие группы Ли G на С. м. М сохраняет симплектич. структуру, то алгебра М G-иввариантных ф-ций ва М замкнута относительно скобки Пуассона. Рассматривая М как алгебру ф-цнй на многообразия А, получаем разбиение А на симплектич. слои, а также проекцию М -> А, сохраняющую скобки Пуассона. На этой конструкции основано понижение порядка симметричных гамильтоновых систем траектории на М б-инвариант-ного поля Проектируются в траектории гамильтонова потока на слоях в. 4 с гамильтонианом И . Таким способом возникает, напр., ур-ние Эйлера, т = [тш], описывающее эволюцию вектора момента импульса во внутр. координатах твёрдого тела при его свободном вращении. Здесь G — группа вращений М = T G — её кокасательное расслоение, действие G на М зада-ётся сдвигами на группе, а проекция М А = MiG совпадает с отображением момента T G —> ф в двой- [c.522]

На рис. 5.6, б и 5.6, в представлены значения стоящих в скобках выражений (они представляют собой отношение Ох и н к их значениям, следующим из классической теории пластин), найденныё из выражений (5.23), полученных Ч. Ли. Штриховыми линиями показаны также результаты, получаемые на основе развитой Э. Рейсснером теории толстых пластин ), где удовлетворяются почти те йке самые краевые условия. Можно видеть, что две теории толстых пластий, которые строятся совершенно различными путями, находятся в хорошем соответствии и дают прогибы на 20%, а напряжения на 2% большие, чем получаемые по классической теории для пластины, у которой ширина в пять раз болыпе толщины.. [c.311]

Нетрудно убедиться, что этот коммзггатор обладает всеми требуемыми свойствами скобки Ли [см. (1.2.8) — (1.2.14)]. Кроме того, заметим, что коммутатор двух зрмитовых операторов, умноженный на тоже является зрмитовым оператором. [c.27]

Нетрудно ввести этот формализм в общую схему, разработанную в разд. 1.3. Мы уже приводили основные операхщи динамической алгебры 3)q [см (1.3.12)]. Их перевод на язык вторичного квантования как раз и заключается в том, что каждому обычному оператору S ставится в соответствие оператор Ь, определенный соотношениями (1.5.17) или (1.5.22). В частности, скобка Ли алгебры 3)q по-прежнему определяется как умноженный на ком- [c.45]

Для начинаюшрх укажем, что динамика определяется коммутатором. как дам бозонов, так и для фермионов. Антикоммутатор не обладает необходимыми свойствами скобки Ли. [c.45]

Добавлены типы симметрии Г е группы Оз , (М), а типы симметрии ровиброиных состоя-иий, запрещенных по ядерной спиновой статистике, заключены в скобки. Сплошными линиями указаиы некоторые т разрешенных переходов, удовлетворяющих правилам отбора Ди —нечетное. ДК — 0. Штриховыми лиииями указаны некоторые из занрещенпых переходов с Au — четное, разрешаемых за счет колебательно-врашательных взаимо- [c.394]

ЧТО приводит к исчезновению члена, заключенного в квадратные скобки в соотношениях (25), и лагранжево-эйлеровы уравнения (25) переходят в уравнения (28). Таким образом, устанавливается взаимосвязь между одно-параметрическими группами Ли, действующими в квазикоординатпом пространстве и сохраняющими инвариантной кинетическую энергию системы, [c.242]

После интегрирования первое слагаемое фигу[)ной скобки правой ча( ти формулы (29.11) дает б/ р, г — V (1 — о)- о)- Это выражение соответствует свободному двиитонию невзаимодействующих частиц. Такое свободное движение сиязано с полюсной особенностью подынтегрального выражения п точке ш= Ли. Напротив, яу.ти диэлектрической проницаемости соответствуют коллективным движениям, обусловленным взаимодействием частиц плазмы между собой. Смещая контур интегрирования но а) в нижнюю полуплоскость, получаем при больших временах асимптотическую зависимость второго слагаемого правой части формулы [c.109]

Однако если предположить, что выполняется условие Бриллюэна ( 43), то задача бесконечной каверны становится корректно поставленной, по крайней мере в некоторых случаях. Следуя Лерэ [35], определим скобку как препятствие Р, кривизна которого х(6) возрастает ), как показано на рис. 18. Лерэ доказал, что всякая симметричная скобка Р имеет единственную пару точек Бриллюэна Ло, Во, обладающих следующим свойством кривизна свободных линий тока в точках отрыва Л, В при любом симметричном обтекании части Р равна +оо, конечна или равна —оо в зависимости от того, происходит ли от- [c.98]

Так как движению, выражаемому первыми скобками, соотпетстиугот главные оси, пара.11лельные осям де(1>ормации, проходящим через нача. ю координат по плоскости Оху, то необходимо, чтобы направления o eii, соответствующих движению, выражаемому вторыми скобками, бы.ли одинаковы с направлениями осей движения, выражаемого первыми скобками. Это дает формулу [c.84]

Примечание. В скобках приведены виды топлива, которые ли.ю созсем не применяются на электростанциях, либо применяются редко. [c.29]

Свойство 3. Четыре векторных поля (16) порождают четырехпараметрическую абелеву группу Ли диффеоморфизмов фазового пространства в себя. Это следует из того, что, как нетрудно проверить, все скобки Пуассона векторных полей (16) равны нулю. [c.375]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...