Скобки Пуассона. Коммутатор

СКОБКИ ПУАССОНА, КОММУТАТОР [c.287]

Скобки Пуассона. Коммутатор [c.287]

СКОБКИ ПУАССОНА. КОММУТАТОР 28 [c.289]

Скобки Пуассона и коммутаторы [c.113]

I) Скобка Пуассона для классических переменных соответствует коммутатору [c.719]

Теперь постараемся ввести зти представления в алгебраические построения, проведенные в разд. 1.2. Из предыдущих замечаний ясно, что основным строительным материалом будет служить совокупность эрмитовых операторов Сравнивая (1.3.3) с (1.2.15), видим, что классической скобке Пуассона весьма естественно сопоставить коммутатор двух операторов (деленный на ih) [c.27]

Поскольку уравнение (9.69) имеет явное сходство с соответствующим уравнением классической механики со скобками Пуассона, то коммутатор в правой части уравнений (9.68), (9.69) также называют квантовыми скобками Пуассона от Н и А. Напомним, что коммутатором двух операторов называется перестановочная форма вида [А, В] = АВ — В А. Отметим также, что из выражения (9.65) следует [c.293]

Наконец, скобка Пуассона, или коммутатор [Я,-, Е,] двух бесконечно малых преобразований и Ej, определяется как двойной предел [c.222]

Скобка Пуассона двух функций Ч и G представляет собой функцию Гамильтона той дифференциальной системы, которая определяется коммутатором операторов систем с гамильтонианами Н и G. Иными словами [c.285]

Система операторов (1.5) является замкнутой системой в том смысле, что ее коммутатор (скобка Пуассона) имеет вид [c.6]

Определение. Скобкой Пуассона или коммутатором двух векторных полей -В на многообразии М называется ) векторное поле С, для которого [c.184]

Функция тока коммутатора двух полей оказывается якобианом (или, если угодно, скобкой Пуассона гамильтонова формализма) функций тока исходных полей [c.299]

Итак, симплектическое действие группы С, при котором существуют, однозначные гамильтонианы, задает двумерный класс когомологий алгебры Ли группы С. Этот класс когомологий измеряет отклонение действия от такого, при котором функцию Гамильтона коммутатора можно выбрать равной скобке Пуассона функций Гамильтона. [c.339]

Определение. Действие связной группы Ли на симплектическом многообразии называется пуассоновским, если функции Гамильтона для однопараметрических групп однозначны и выбраны так, что функция Гамильтона линейно зависит от элемента алгебры Ли и функция Гамильтона коммутатора равна скобке Пуассона функций Гамильтона [c.339]

Коммутатор векторных полей и скобки Пуассона связаны соотношением [c.30]

Скобка Пуассона переменных М, р, а, /3, 7, х может быть найдена по формуле (2.12). Она полностью определяется видом полей (5.2) и их коммутаторами (5.3) и не зависит от конкретного вида функции Лагранжа. Единственным ограничением является условие невырожденности функции Лагранжа по скоростям. [c.61]

Саь — постоянные, удовлетворяющие (1.3) и (1.4), определяют функциональную группу с соотношениями типа (1.2), в которых коммутатор заменяется на скобку Пуассона. Очевидно также, что скобка любых двух функций Fat тождественно удовлетворяет уравнениям [c.17]

Обычно квантовомеханический гамильтониан идентифицируется с радиальной частью квадратичного оператора Казимира полупростой группы Ли С в подходящей параметризации. При этом выбор базисных функций в пространстве представления О играет ту же роль, что и выбор начальных условий в фазовом пространстве функциональной группы для классической задачи (см. IV. 6). Скобки Пуассона, определяющие классическую систему, заменяются на коммутаторы динамических переменных соответствующей квантовой системы. Существует глубокая взаимосвязь между решением задачи квантования и теорией представлений групп, впервые установленная Костан-том для систем типа цепочки Тода, для которых получено интегральное представление однокомпонентных волновых функций [c.230]

С. Коммутаторы Ли и скобки Пуассона. [c.237]

В строгой квантовой механике и в квантовой теории поля широко используется понятие коммутатора. Классический прообраз этих коммутаторов — скобки Пуассона, которые играют чрезвычайно важную роль при переходе от классической механики к механике квантовой. Поэтому мы хотим подробно поговорить здесь об этих скобках. [c.38]

Выведенные в этом разделе соотношения, в которых фигурируют скобки Пуассона, имеют принципиальное значение при формальном переходе к квантовой теории поля, поскольку там скобки Пуассона становятся коммутаторами от соответствующих полевых операторов, подобно тому, как это устанавливается для механики соответствием (7.4). [c.105]

Действие оператора определяется скобкой Пуассона L F= [F, Л]. Показать, что [Г , Lg]-F Lia,biF, где [1 , 1 ]-= = ЬдЬд ——коммутатор операторов. [c.253]

Обобшан (49) на произвольные величины /, g, можно рассматривать это соотношение как особую формулировку принципа соответстпия коммутатор операторов двух физ. величин в предельном случае, когда действие для системы S p-fi, переходит с коэф. i% в величину, равную классич. скобке Пуассона для этих величин, [c.283]

Лемма 1 показывает, что скобку Пуассона векторных полей можно определить как коммутатор Ли для .бесконечномерной группы Ли есех диффеоморфизмов многообразия ) М. [c.186]

Задача. Докажите, что скобка Пуассона правоинвариантных векторных полей на группе Ли С есть правоинвариантное поле, и значение его в единице группы равно коммутатору Ли значений исходных полей в единице. [c.187]

Итак, по симплектическому действию труппы Ли С с однозначными на М гамильтонианами можно построить линейное отображение алгебры Ли группы С в алгебру Ли функций Гамильтона на М. При этом коммутатору двух элементов алгебры Ли сопоставляется функцияь], равная скобке Пуассона На, Н ) или же отличающаяся от этой скобки Пуассона на постоянную [c.338]

Пример. Пусть V — трехмерное евклидово пространство, а С — шестимерная группа его движений. Базис алгебры Ли образуют шесть однопараметрических групп сдвиги со скоростью 1 вдоль координатных осей и вращения с угловой скоростью 1 вокруг этих осей. Соответствующие функции Гамильтона, согласно формуле (1), равны (в обычных обозначениях) Рг, Р2. Рз Мх, М , М , где = д р — д р и т. д. Доказанная теорема означает, что попарные, скобки Пуассона этих шести функций равны функциям Гамильтона коммутаторов соответствующих однопарамвтрических групп. [c.339]

С этой целью рассмотрим квантовую систему, динамические величины которой удов.тетворяют коммутационным соотношениям некой полупростой алгебры Ли а интегралами движения являются инвариантные относительно операторы (Казимира), построенные из ее элементов (см. п. 3, 1.5). Переходу к классической системе отвечает замена коммутаторов [fa, Рь] в на соответствующие скобки Пуассона Fa, Рь , а самой алгебры О — на функциональную группу G , элементами Ра которой являются функции Ра х р), задэнные на фазовом пространстве 2N переменных х и рр, 1 а, N (обобщенные координаты и импульсы Ха, хр = ря, Рэ =0, ра, хр =0а з). При этом скобка Пуассона определяется формулой [c.16]

В этом случае пуассоново многообразие есть двойственное линейное пространство алгебры Ли. Для определения скобки Пуассона любых двух функций рассмотрим сначала линейные функции. Эти функции являются элементами алгебры Ли. Их скобка Пуассона, по определению, есть их коммутатор в алгебре Ли. Скобки Пуассона нелинейных функций теперь автоматически определены, так как эта операция должна удовлетворять правилу Лейбница [c.106]

С. г. 2ге-мерного симплектич. пространства — это простая связная группа Ли, обозначаемая Sp(2n, R) [в комплексном случае Sp(2n, )]. Её размерность (2п -f- 1)л. Ли алгебра этой группы изоморфна алгебре Ли однородных многочленов степени 2 от переменных (pi,. .., рп, 1,. .., п) с Пуассона скобкой в качестве коммутатора [c.520]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...