Алгебра векторных полей

Введем еще п—1 линейный дифференциальный оператор и = = ик х) д/дх. Алгебра векторных полей разрешима, поэ- [c.76]

Таким образом, гладкие векторные поля образуют алгебру Ли. [c.244]

Вейерштрасса признак равномерной сходимости интеграла 1 (1-я)—170 Вековые уравнения — см. Уравнения характеристические Вектор главный 1 (2-я)—13 Векторная алгебра 1 (1-я)—190 Векторное поле 1 (1-я)—192 Векторный анализ 1 (1-я)—190 Векторы — Аффинные координаты 1 (1-я) — 194 [c.31]

Все (дифференцируемые) векторные поля образуют Ли алгебру относительно операции коммутирования. [c.163]

Вертикальным оператором в А ТМ) называется эндоморфизм внешней алгебры Л(7М), определяемый эндоморфизмом v модуля векторных полей. Его локальное выражение [c.56]

Уравнения (2.3) будем называть уравнениями Эйлера — Пуанкаре. В качестве комментария рассмотрим частный случай, когда С есть группа 50(3) вращений твердого тела в трехмерном евклидовом пространстве вокруг неподвижной точки. Хорошо известно, что ее алгебра д = во Ъ) изоморфна алгебре векторов трехмерного ориентированного евклидова пространства со стандартным векторным произведением. В качестве левоинвариантных базисных векторных полей возьмем поля, порождаемые вращениями твердого тела с единичными угловыми скоростями вокруг трех связанных с телом ортогональных осей. Тогда [их, иг] = из, [иг, из] = их, [из, их] = иг- Уравнения (2.3), как легко понять, будут системой [c.28]

Доказательство теоремы 1 базируется на применении обобщенной теоремы Ли из п. 3. Естественное отображение алгебры Ли функций Fi,..., на алгебру Ли гамильтоновых векторных полей uf,,..., Vf является изоморфизмом ввиду (3.23) и того факта, что линейная комбинация кГк есть тождественная константа только при Al =. .. = Л = О (так как Fi,..., F функционально независимы). [c.83]

Векторные поля на многообразии образуют алгебру Ли. Гамильтоновы векторные поля на симплектическом многообразии также образуют алгебру Ли. Операции в этих алгебрах называются скобками Пуассона. [c.175]

АЛГЕБРА ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 181 [c.181]

Алгебра Ли векторных полей [c.181]

Каждой паре векторных полей на многообразии сопоставляется новое векторное поле, называемое их скобкой Пуассона. Скобка Пуассона превращает линейное пространство бесконечно дифференцируемых векторных полей на многообразии в алгебру Ли. [c.181]

АЛГЕБРА ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 183 [c.183]

Теорема. Скобка Пуассона превращает линейное пространство векторных полей на многообразии М в алгебру Ли. [c.184]

Гамильтоновы векторные поля на симплектическом многообразии образуют подалгебру алгебры Ли всех полей. Функции Гамильтона также образуют алгебру Ли операция в этой алгебре называется скобкой Пуассона функций. Первые интегралы гамильтонова фазового потока образуют подалгебру алгебры Ли функций Гамильтона. [c.187]

Следствие 6. Гамильтоновы векторные поля на симплектическом многообразии образуют подалгебру алгебры Ли всех полей. [c.190]

Легко проверить, что в трехмерном случае векторное поле JB (с, а) выражается через векторные поля а и с из нашей алгебры Ли по формуле [c.297]

Теорема. Скобка Пуассона контактных векторных полей является контактным векторным полем. Контактные векторные поля образуют подалгебру в алгебре Ли всех гладких векторных полей на контактном многообразии. [c.326]

А. Пуассоновы многообразия. Пуассоновой структурой на многообразии называется структура алгебры Ли в пространстве гладких функций на нем (т. е. билинейная кососимметрическая операция скобки Пуассона функций, удовлетворяющая тождеству Якоби), такая, что оператор а(1о= а, (взятие скобки Пуассона с любой функцией с) является оператором дифференцирования по направлению некоторого векторного поля Гц. [c.422]

Это немедленно привносит структуру алгебры Ли на совокупность гамильтоновых векторных полей. [c.233]

Замечание. Таким образом, гамильтоновы векторные поля образуют алгебру Ли. [c.233]

Рассмотрим группу 8 ВЖ( ) диффеоморфизмов компактной римановой области сохраняющих меру. Соответствующая алгебра состоит из векторных полей V на удовлетворяющих условию V = 0. [c.119]

Голоморфные векторные поля на комплексной проективной плоскости исчерпываются полями алгебры Ли проективной группы, линейными в однородных координатах. Другие поля направлений с конечным числом особых точек также оказываются алгебраическими. Они структурно неустойчивы. [c.117]

Если г — радиус-вектор, i —скорость той же точки в подвижном пространстве, связанном с твердым телом, то снова v=(uXr, где (o=fi" Q — вектор угловой скорости в теле. Соответствие f B B- (u задает изоморфизм алгебры so(3) (которую можно трактовать как алгебру левоинвариантных полей на 50(3)) и алгебры векторов трехмерного ориентированного евклидова пространства, в котором коммутатором является обычное векторное умножение. [c.25]

Примечания к теореме 1) как и в 16, гладкие функции образуют алгебру Ли относительно скобки Пуассона отображение x(F)=F есть гомоморфизм ее в алгебру векторных полей 2) если 7 = onst, то доказательство (18) сводится к рассуждению- [c.249]

Валлиса формула 136 Вариаторы планетарные 511 Вейерштрасса признак 177 Вектор-функции линейные 236 Векторная алгебра 226 Векторно-векторное произведение 229 Векторное исчисление 226—234 Векторное поле 231—234 Векторные линии 231 Векторные потенциалы 234 Векторные проекции 227 Векторные уравнения 230 [c.547]

В0.1П1Ч. вектором на скалярные и векторные поля но правилам векторной алгебры, получим [c.252]

Поток векторного поля, отвечающего гамильтониану Я, сохраняет F, если [H,J скобки Пуассона алгебру А. Физ. величины — это элементы фактор-алгебры AiJ. Их можно воспринимать как ф-ции на физ. фазовом пространстве В — базе нек-рого расслоения F—>B. Скобка Пуассона в A/J наделяет В симплектич. структурой. Эта конструкция используется в калибровочно инвариантных теориях (см. Калибровочная инвариантность), где вместо проекции ИЯ F в В обычно фиксируют калибровку , т. е. сечение расслоения F — В в качестве физ. фазового пространства. [c.522]

В соответствии с последним замечанием, теорема Ли из п. 2 допускает следующее обобщение. Пусть линейно независимые векторные поля г>, г/,1,..., u i порождают разрешимую /г-мерную алгебру Ли, причем = XkV (Л = onst). Тогда система дифференциальных уравнений (3.1) интегрируется в квгадратурах. Читатель самостоятельно может провести доказательство обобщенной георемы Ли методом п. 2. [c.79]

Вид коэффициентов у , зависит от уравнения (1.13) и от выбора разложения (1.13). Коммутационные соотвошения (1.14), вообще говоря, не определяют никакой алгебры, так как не заданы коммутаг торы вида [Xi,Xj] и [У -, Yj]. Для того, чтобы решить уравнение (1.12), мы должны найти реализацию соотношений (1.14) аа векторных полях. Сделать это можно следующим обфаэом. [c.12]

Алгебру Ли функций Гамильтона можно естественно отобразить на алгебру Ли гамильтоновых векторных полей. Для этого каждой функции Н сопоставим гамильтоново векторное поле Н с функ-гщей Гамильтона Н. [c.190]

Задача 8. Докажите, что локально гамильтоновы векторные поля образуют подалгебру алгебры Ли всех полей. При втом скобка Пуассона двуж локально гамильтоновых полей — это настоящее гамильтоново поле, его функция Гамильтона однозначно ) определена данными поля.чи %, 1) по формуле [c.191]

Доказательство. Всякий вектор касательный к У в точке М, имеет вид = /, М), где / е д. В частности, векторное поле в правой частп уравнения Эйлера можно записать в виде X = йТ, М) (здесь дифференциал функции Т в точке М линехшого пространства 8 рассматривается как вектор пространства, дуального к 8, т. е. как элемент алгебры Ли д)-Из определений симплектической структуры О и операции , (см. пункт А) вытекает, что для всякого вектора , касательного к У в точке М, [c.293]

Рассмотрим теперь алгебру Ли, образованную векторными полями дивергенции нуль на торе с однозначной функцией тока. Соответствующая группа SoDiffJ состоит из оставляюищх на месте центр тяжести тора и сохраняющих элемент площади диффеоморфизмов. Она вложена в группу SDiff всех сохраняющих элемент площади диффеоморфизмов как вполне геодезическое подмногообразие (т. е. такое подмногообразие, что каждая его геодезическая является геодезической в объемлющем многообразии). [c.304]

Следствие. Симплектизация векторных полей является изоморфным отображением алгебры Ли контактных векторных полей на алгебру Ли всех локально гамильтоновых векторных полей с однородными гамильтонианами степени 1. [c.328]

Векторное поле называется тогда гамильтоновым полем с функцией Галшльтона а. Отображение а Га задает гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей. Многообразие, снабженное пуассоновой структурой, называется пуас-соновым многообразием. [c.422]

В качестве базиса векторных полей (2.2) удобно выбирать левоинвариантные (правоинвариантные) векторные поля из ее алгебры Ли. При этом тензор не зависит от координат и определяется структурными константами алгебры Ли. Скобка (2.12) при этом определяет так называемую каноническую структуру на кокасательном расслоении с базой — группой Ли [31]. [c.37]

Мы предполагаем у читателя предварительное знакомство с материалом на нескольких уровнях. Прежде всего, мы без оговорок используем, предполагая хорошую осведомленность, результаты линейной алгебры (включая жордановы нормальные формы), дифференциальное и интегральное исчисление для функций многих переменных, основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (включая системы), элементарный комплексный анализ, основы теории множеств, элементарную теорию интеграла Лебега, основы теории групп и рядов Фурье. Необходимые сведения следующего, более высокого уровня рассматриваются в приложении. Большая часть материала приложения включает материал такого типа, а именно, в приложении содержатся сведения из стандартной теории топологических, метрических и банаховых пространств, элементарная теория гомотопий, основы теории дифференцируемых многообразий, включая векторные поля, расслоения и дифференциальные формы, и определение и основные свойства римановых многообразий. Некоторые темы используются лишь в отдельных случаях. Последний уровень необходимых знаний включает основания топологии и геометрии поверхностей, общую теорию меры, ст-алгебры и пространства Лебега, теорию гомологий, теорию групп Ли и симметрических пространств, кривизну и связности на многообразиях, трансверсальность и нормальные семейства комплексных функций. Большая часть этого материала, хотя и не весь он, также рассматривается в приложении, обычно в менее подробном виде. Такой материал может быть принят на веру без ущерба для понимания содержания книги, или же соответствующая часть текста может быть без большого ущерба пропущена. [c.15]

Окончание доказательства теоремы . Рассмотрим пространство L векторных полей на V, компоненты которых — однородные многочлены степени N от й- - переменных (или какое-нибудь другое простравство тензоров над V). Пусть J .V -> V — тот же оператор, что и выше. Рассмотрим представление алгебры з1(2) на V, ассоциированное с оператором J соответствующее ему представление Т алгебры з1(2) на Ь. [c.76]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...