Скобка Пуассона квантовая классическая

Обычно квантовомеханический гамильтониан идентифицируется с радиальной частью квадратичного оператора Казимира полупростой группы Ли С в подходящей параметризации. При этом выбор базисных функций в пространстве представления О играет ту же роль, что и выбор начальных условий в фазовом пространстве функциональной группы для классической задачи (см. IV. 6). Скобки Пуассона, определяющие классическую систему, заменяются на коммутаторы динамических переменных соответствующей квантовой системы. Существует глубокая взаимосвязь между решением задачи квантования и теорией представлений групп, впервые установленная Костан-том для систем типа цепочки Тода, для которых получено интегральное представление однокомпонентных волновых функций [c.230]

Это рассуждение можно, с определенными оговорками, распространить и на функции обобщенных координат и импульсов, разложимые в степенные ряды. Как правило, мы приходим при таком вычислении к тому же самому выражению для квантовой скобки Пуассона, выраженной через квантовые динамические переменные, что и получаемое в классической теории, при выражении классической скобки Пуассона через классические переменные, с той единственной оговоркой, что порядок множителей Б произведениях, который в классическом случае был безразличен, оказывается теперь фиксированным. (Эта оговорка в действительности весьма существенна при проведении вычислений через ряды мы часто приходим к таким результатам, которые (в классике) удается обратно просуммировать в известные функции только за счет произвольного распоряжения порядком множителей. В квантовом случае такое суммирование может оказаться невыполнимым.) [c.378]

Классические динамические функции А (q, р) обобщенных координат и импульсов (фазовой точки) сопоставляются в квантовой теории эрмитовым операторам А с непрерывным или, чаще, с дискретным спектром Ai, которые действуют на волновую функцию l)i(q). Скобки Пуассона [А, В динамических функций [c.220]

Углубленный курс классической механики долгое время считался обязательной частью учебных планов по физике. Однако в настоящее время целесообразность такого курса может показаться сомнительной, так как студентам старших курсов или аспирантам он не дает новых физических понятий, не вводит их непосредственно в современные физические исследования и не оказывает им заметной помощи при решении тех практических задач механики, с которыми им приходится встречаться в лабораторной практике. Но, несмотря на это, классическая механика все же остается неотъемлемой частью физического образования. При подготовке студентов, изучающих современную физику, она играет двоякую роль. Во-первых, в углубленном изложении она может быть использована при переходе к различным областям современной физики. Примером могут служить переменные действие— угол, нужные при построении старой квантовой механики, а также уравнение Гамильтона — Якоби и принцип наименьшего действия, обеспечивающие переход к волновой механике, или скобки Пуассона и канонические преобразования, которые весьма ценны при переходе к новейшей квантовой механике. Во-вторых, классическая механика позволяет студенту, не выходя за пределы понятий классической физики, изучить многие математические методы, необходимые в квантовой механике. [c.7]

Канонические преобразования классической механики играли всегда важную роль также и в квантовой механике. Это относится и к более старой квантовой теории, принадлежащей Борну, и к современной квантовой механике. Поэтому работы, посвященные той или другой форме квантовой механики, часто содержат подробное изложение нужных разделов классической механики. Одной, из лучших книг такого рода является рекомендуемая книга Борна (1924), написанная им до появления волновой механики. В первой Е лаве этой книги дается сжатое изложение теории канонических преобразований и приводится много интересных физических примеров. Скобки Пуассона в этой книге не рассматриваются, так как в современной физике интерес к ним появился только с возникновением в квантовой механике теории Гейзенберга и Дирака. [c.299]

В предисловии к своей книге, выпущенной в 1924 г., Борн указывал на недостатки существовавшей тогда квантовой теории и отмечал, что имеющиеся трудности, возможно, будут преодолены только после радикальной ревизии основных принципов квантовой механики. (Положение, подобное тому, которое сейчас имеется в теории ядерных сил.) Предсказание Борна вскоре сбылось, н в 1929 г. он совместно с Йорданом выпустил рекомендуемую здесь книгу. Как и в предыдущей работе, здесь некоторое место отводится классической механике, в частности рассматриваются скобки Пуассона, приводящие к весьма интересным результатам. Этот вопрос изложен в Приложении 111, где рассматривается также связь скобок Пуассона с кинетическим моментом. [c.299]

Второе применение рассматриваемого метода относится к квантованию полей. Мы знаем, что переход от классической теории к квантовой можно осуществить через канонические переменные системы. Мы отмечали, что классическим скобкам Пуассона от функций канонических координат соответствуют при этом квантовые коммутационные соотношения. В сущности, мы только тогда умеем квантовать систему, когда можем говорить о ней на языке механики. Поэтому, если мы хотим построить квантовую теорию электромагнитного или какого-либо другого поля, то сначала нужно получить его описание на языке механики. Основу для такого описания дают методы Лагранжа и Гамильтона, изложенные в этой главе, [c.399]

Скобки Пуассона играют важную роль как в классической механике, так и в квантовой механике. Познакомимся с их основными свойствами. Пусть и, V, W — функции от (q р t) класса Са, а с — некоторая постоянная. Скобки Пуассона обладают следующими очевидными свойствами [c.433]

Процесс перехода от классической к квантовой механике нельзя считать математически строго сформулированным, так как в каждом случае, когда классическая величина включает произведение двух величин, скобка Пуассона которых не равна нулю, возникает неоднозначность в определении последовательности, в которой эти сомножители войдут в соответственное квантовое выражение. Практически в простых примерах такой вопрос не возникает. В более же сложных выражениях бывает невозможно выбрать последовательность сомножителей так, чтобы не нарушалась совместность квантовых уравнений. В настоящее время методы квантования представляют собой набор практических рецептов, применение которых диктуется главным образом соображениями простоты. Существуют обстоятельства, на которые следует обращать внимание при переходе к квантовой механике, чтобы не нарушить совместность квантовых соотношений. В классической теории мы имеем ряд Ф-уравнений ( -уравнения также считаются за Ф-уравнения), используемых в квантовой теории в соответствии с принципом II). При [c.719]

В классической механике скобки Пуассона могут считаться определением канонических переменных, но они имеют смысл только тогда, когда и р, являются функциями других переменных д и р , о которых уже известно, что они канонические. Иначе дело обстоит в квантовой механике. [c.832]

Дирак определяет квантовые скобки Пуассона так, чтобы и они обладали известными свойствами классических скобок Пуассона (в первую очередь линейностью и инвариантностью при касательном преобразовании). Тогда нетрудно получить для любых переменных ё и г] [c.833]

Классическая статистическая механика есть предельный случай квантовой статистики при достаточно высоких температурах или малой плотности частиц, когда квантовыми эффектами можно пренебречь. В обоих случаях можно использовать понятие статистического ансамбля, чтобы описать макроскопическое состояние интересующей нас системы. Более того, мы увидим, что многие соотношения неравновесной статистической механики удается представить в форме, одинаково пригодной для классических и квантовых систем. Наиболее важными понятиями, общими для классической и квантовой статистики, являются скобки Пуассона и оператор Лиувилля. В предыдущем параграфе мы ввели их для классических систем. Теперь мы определим их для квантового случая. В дальнейшем формальная аналогия между классической и квантовой статистической механикой будет часто использоваться, поскольку, с одной стороны, она позволяет глубже понять многие проблемы, не зависящие от законов движения [c.22]

Поскольку уравнение (9.69) имеет явное сходство с соответствующим уравнением классической механики со скобками Пуассона, то коммутатор в правой части уравнений (9.68), (9.69) также называют квантовыми скобками Пуассона от Н и А. Напомним, что коммутатором двух операторов называется перестановочная форма вида [А, В] = АВ — В А. Отметим также, что из выражения (9.65) следует [c.293]

В строгой квантовой механике и в квантовой теории поля широко используется понятие коммутатора. Классический прообраз этих коммутаторов — скобки Пуассона, которые играют чрезвычайно важную роль при переходе от классической механики к механике квантовой. Поэтому мы хотим подробно поговорить здесь об этих скобках. [c.38]

Чтобы описать поведение системы при временном сдвиге, мы опять, как и для пространственных сдвигов и поворотов, будем исходить из принципа соответствия, требуя, чтобы в квантовую теорию можно было бы перенести из классической соответствующие соотношения в скобках Пуассона. [c.458]

Правила перехода от квантовых к классич. величинам таковы. Классич. частоты определяют расстояния между соседними уровнями. Матричные элементы физ. величин переходят в фурье-компоненты соответствующих классич. величин. Наконец, перестановочным соотношениям операторов в квантовой механике соответствуют классические Пуассона скобки., помноженные на —ih. [c.254]

В квантовой механике динамические переменные представляются операторами, которые не подчиняются переместительным законам обычной алгебры. Для этих операторов нельзя определить скобки Пуассона, но универсальный характер и общая польза этих скобок в классической механике наводят на мысль, что могут существовать аналогичные величины, связанные и с операторами. [c.113]

Обычно скобки Пуассона обозначаются через (и, v), а скобки Лагранжа — через [и, t>] ср. Уиттекер [28], стр. 330, 332. Эти обозначения использует Т i е t z Н., Handbu h der Physik, т. II, стр. 194, 195. Но в приложениях классической динамики в квантовой теории оказывается более удобно обозначать скобки Пуассона через (и, v], скобки Лагранжа — через и, г ср. Дирак П., Принципы квантовой механики, Физматгиз, Москва, 1961, стр. 125. [c.301]

С этой целью рассмотрим квантовую систему, динамические величины которой удов.тетворяют коммутационным соотношениям некой полупростой алгебры Ли а интегралами движения являются инвариантные относительно операторы (Казимира), построенные из ее элементов (см. п. 3, 1.5). Переходу к классической системе отвечает замена коммутаторов [fa, Рь] в на соответствующие скобки Пуассона Fa, Рь , а самой алгебры О — на функциональную группу G , элементами Ра которой являются функции Ра х р), задэнные на фазовом пространстве 2N переменных х и рр, 1 а, N (обобщенные координаты и импульсы Ха, хр = ря, Рэ =0, ра, хр =0а з). При этом скобка Пуассона определяется формулой [c.16]

ПУАССОНА СКОБКИ (квантовые) — обобщение классических Пуассона скобок (СП) в квантовой механике. Можно показать, что такое обобщение на случай некоммутирующих динамич. переменных операторов 7, V,. .., сохраняющее основные свойства 1<лас-сических П. с., с необходимостью приводит к форме [c.246]

С. и. был выдвинут И. Бором в 19/3 г. (в т. н. старой квантовой теории до создания последовательной квантовой механики) в связи с проблемой интенсивности линий в спектрах излучения и поглощении атомов. В соответствующей этой проблеме частной формулировке С. п. гласит, что спектр излучения квантовой системы в своей длинноволновой части (т. е. при больших значениях квантовых чисел, характеризующих излучающий атом в начальном и конечном состояниях) должен совпадать со спектральным распределением, полученным из классич. электродинамики. Впоследствии, когда была создана вполне последовательная квантовая механика, особенности атомных спектров были объяснены па более глубокой основе, причем существенные черты математич. аппарата снова определялись С. п. Папр., из С. п. следует, что коммутационные соотношения между различными величипамп кваптовой теории даются классическими Пуассона скобка.ии, что еамильтониан фнзич. системы выражается через обобщенные координаты и импульсы так ке. как в классич. механике, и т. д. [c.580]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...