Инвариантность скобки Пуассона

Инвариантность скобки Пуассона. Скобка Пуассона двух функций при контактном преобразовании остается инвариантной, или подробнее, если переход от (д р) к Q Р) осуществляется с помощью контактного преобразования и если [c.498]

Скобки Лагранжа и скобки Пуассона как канонические инварианты. Условие инвариантности суммы якобианов (8.34) может быть записано в виде [c.277]

Полученное равенство является полезным соотношением, инвариантным относительно канонических преобразований. Аналогичным способом вычисляется другая скобка Пуассона. Для нее будем иметь [c.281]

Отождествим и n v с любыми двумя переменными из Q,-, Pi и запишем скобки Пуассона в новой и старой координатных системах. Для старой системы они могут быть, как и раньше, непосредственно вычислены. Следовательно, из свойства инвариантности получаем [c.249]

Легко проверить, что скобка Пуассона инвариантна относительно преобразований к новым д в р, при которых новые д являются независимыми функциями от исходных, причем новые р задаются соотношением (2), включа- [c.708]

Дирак определяет квантовые скобки Пуассона так, чтобы и они обладали известными свойствами классических скобок Пуассона (в первую очередь линейностью и инвариантностью при касательном преобразовании). Тогда нетрудно получить для любых переменных ё и г] [c.833]

Доказательство (а) следует из инвариантного определения скобки Пуассона (18.14) и последующей формулы (18.16). Что касается (б), то оба базиса [c.260]

Как известно, скобки Пуассона инвариантны относительно преобразования канонических переменных qi и Pi, которое оставляет неизменным вид уравнений Гамильтона. Лля скобок Пуассона имеем следующие свойства [c.466]

Не только интегральный инвариант, но и скобки Пуассона других механических величин инвариантны по отношению к такому преобразованию обобщённого потенциала. Используя терминологию, принятую в теории поля, назовём функцию Ао скалярным потенциалом, а А, ...,АпУ — векторным потенциалом. Тогда имеющаяся неоднозначность потенциалов позволяет выбрать их так, чтобы скалярный потенциал был равен нулю. Для этого достаточно выполнения условия (при импульсивном движении оно может быть выполнено только непосредственно после окончания приложения ударной силы) [c.138]

Лемма 1. Скобка Пуассона инвариантна относительно симплектического диффеоморфизма. [c.361]

Решение. Пусть А — каноническое. Тогда симплектические структуры ар 1 ад л ар Д dQ совпадают. Но определение скобки Пуассона (F, Н) инвариантно связано с симплектической структурой, а не с координатами. Поэтому [c.188]

Вспоминая определение функций pz,. . q , видим, что каждая из них инвариантна относительно потоков Р и Q . Итак, скобки Пуассона р и q со всеми 2п — 2 функциями p , (i ]> 1) равны нулю. [c.203]

Аналогичным образом можно рассмотреть ограничения на выбор функций В , возникающие вследствие инвариантности относительно поворотов осей координат. Это свойство, обусловленное равноправием всех направлений в пространстве, как известно, называется изотропностью, а соответствующие скобки Пуассона — изотропными. [c.185]

Рассмотрим снова все преобразования вида (65) и выделим из них специальный класс таких преобразований, которые оставляют скобки Пуассона инвариантными [c.130]

Мы уже имели случай отмечать, что СП-соотношения между сохраняющимися величинами характеризуют ту группу преобразований, из-за инвариантности действия относительно которых эти сохраняющиеся величины возникают, а не механическую систему, для которой они конкретно находятся. Поэтому найденные выше соотношения в скобках Пуассона (26) между десятью фундаментальными динамическими величинами должны выполняться для любой системы, инвариантной относительно преобразований полной группы Лоренца. Это есть условия релятивистской инвариантности теории, записанной в гамильтоновой форме. [c.189]

Теперь мы покажем, что скобки, которые до сих пор были определены через канонические переменные специального вида pf, и q , инвариантны относительно канонических преобразований. Мы проведем доказательство для скобок Пуассона другими словами, мы хотим доказать [c.135]

При инвариантном построении гамильтонова формализма (следуя П. Дираку) исходят из уравнений (1.3) и постулируют свойства скобок Пуассона , определенных для функций, заданных на некотором многообразии М с координатами ж = (ж ,..., ж ). Требуется, чтобы эти скобки удовлетворяли следующим условиям [c.28]

Здесь мы пропагандируем свой, достаточно универсальный, способ редукции [10], основанный на представлении уравнений движений в гамильтоновой форме со скобкой Ли-Пуассона [10]. Хотя общее число используемых при этом переменных превосходит размерность редуцированной системы, тем не менее, реальному движению соответствует инвариантное многообразие (определяемое интегралами и инвариантными соотношениями), размерность которого ровно на четыре единицы меньше размерности исходной системы (1.1). [c.31]

Для соотношений первого типа образуются скобки Пуассо на, для соотношений второго типа — скобки Лагранжа Один тип скобок определяет другой. Следовательно, раз скобки Лагранжа инвариантны относительно канонических преобразований, то этим свойством обладают и скобки Пуассона. Отсюда получается другая-формулировка условий и каноничности преобразования. Каноническими являются те преобразования, которые оставляют инвариантными скобки Пуассона (и, v) независимо от того, как функции и и v зависят от координат qi, pi. [c.248]

Другими словами, скобки Пуассона инвариантны относительно )>нивал нтних канонических преобразований. Это свойство уни-валентных канонических преобразований выделяет эти преобразования среди всех возможных преобразований фазового пространства. [c.188]

Поток векторного поля, отвечающего гамильтониану Я, сохраняет F, если [H,J B. Скобка Пуассона в A/J наделяет В симплектич. структурой. Эта конструкция используется в калибровочно инвариантных теориях (см. Калибровочная инвариантность), где вместо проекции ИЯ F в В обычно фиксируют калибровку , т. е. сечение расслоения F — В в качестве физ. фазового пространства. [c.522]

Равенства (17) также выражают необходимые и достаточные условия каноничности преобразования (3). Скобки Пуассона инвариантны относительно унивалснтных канонических нрсоб-р (зоваиий. [c.198]

В то же время, поскольку изменение во времени динамитеских переменных является одним из частных случаев канонического преобразования и так как скобки Пуассона инвариантны [3] относительно канонических преобразований ), то, имея в виду формулу (50.15), можно записать формулу (50.16) в следующем виде [c.204]

С этой целью рассмотрим квантовую систему, динамические величины которой удов.тетворяют коммутационным соотношениям некой полупростой алгебры Ли а интегралами движения являются инвариантные относительно операторы (Казимира), построенные из ее элементов (см. п. 3, 1.5). Переходу к классической системе отвечает замена коммутаторов [fa, Рь] в на соответствующие скобки Пуассона Fa, Рь , а самой алгебры О — на функциональную группу G , элементами Ра которой являются функции Ра х р), задэнные на фазовом пространстве 2N переменных х и рр, 1 а, N (обобщенные координаты и импульсы Ха, хр = ря, Рэ =0, ра, хр =0а з). При этом скобка Пуассона определяется формулой [c.16]

Не вникая в более подробное обсуждение проблемы инвариантности гамильтоновых систем относительно тех или иных преобразований и вытекающих отсюда ограничений на скобки Пуассона, отметим лишь одно наиболее очевидное следствие, связанное со свойством однородности координатного пространства. Предполагаемое этим свойством отсутствие физически выделенньк точек означает, что перенос системы координат как целого не должен сказаться на физических следствиях, вытекающих из математических формулировок, или, как говорят, должна иметь место трансляционная инвариантность теории. Удовлетворяющие этому требованию локальные скобки Пуассона, а следовательно, и функции В не должны зависеть явно от координат х. Такие скобки называются трансляционноинвариантными. [c.185]

Резюме. Заданная производяш,ая функция определяет каноническое преобразование в неявной форме. Хотя и не существует формул, которые бы задавали каноническое преобразование в явном виде, однако относительно любого конкретного преобразования можно выяснить, является ли оно каноническим. Для этой цели могут быть использованы скобки Лагранжа или Пуассона. Эти скобки тесно связаны с каноническими преобразованиями. Каноническими являются те преобразования сопряженных переменных, которые оставляют инвариантными любые скобки Лагранжа или Пуассона. [c.249]

Если гамильтониан Н зависит от координат, но удается выбрать избыточные координаты так, что все компоненты левоинвариантных полей v ( ) линейны по q, то скобка (2.13) становится обычной скобкой Ли-Пуассона, а все геометрические зависимости для избыточных переменных будут ее функциями Казимира или инвариантными соотношениями. Этого можно добиться, если воспользоваться матричной реализацией группы Ли, а в качестве избыточных кооординат выбрать компоненты ее матриц. Полученная в этом случае структура Ли-Пуассона соответствует полупрямой сумме g К , где К — пространство матриц п х п, g — алгебра Ли данной группы, и называется естественной канонической структурой кокасателъ-ного расслоения к группе Ли. Таким способом могут быть получены, например, уравнения движения твердого тела в направляющих косинусах и моментах (см. 4). Матричная реализация групп Ли используется также в динамике многомерного твердого тела [24, 31]. [c.37]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...