Скобки Пуассона и первые интегралы

Скобки Пуассона и первые интегралы [c.282]

СКОБКИ ПУАССОНА И ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 283 [c.283]

Естественная пуассонова структура на этом пространстве была введена Якоби (см. [90], гл. 1). В самом деле, (симплектическая) скобка Пуассона двух первых интегралов есть снова первый интеграл. Следовательно, исходная симплектическая структура на фазовом пространстве определяет пуассонову структуру на пространстве орбит. По выражению Якоби, мы выбираем первые интегралы системы и каждый раз добавляем их скобки Пуассона к предыдущим интегралам. На некотором шаге мы получим функционально зависимые интегралы затем мы выбираем максимальное множество функционально независимых интегралов (координаты на пространстве орбит). Все остальные интегралы (и, следовательно, их скобки Пуассона) являются функциями выбранных. В частности, Якоби рассмотрел конструкцию примера 2 для группы вращений и группы движений евклидова пространства. [c.107]

Следовательно, скобка Пуассона двух первых интегралов (/ ,>2) постоянна вдоль фазовой траектории и есть первый интеграл уравнений (15.3). [c.181]

Это условие является необходимым и достаточным, для того, чтобы функция f q, р, t) была первым интегралом. Его можно записать компактнее, если ввести понятие скобки Пуассона. [c.267]

Пусть / и ф —первые интегралы. Составим из них скобку Пуассона (29). [c.268]

Теорема Якоби — Пуассона позволяет накапливать новые первые интегралы. Действительно, составляя разные скобки Пуассона из уже известных первых интегралов, можно получить новые интегралы затем можно составить скобки Пуассона от каждой пары так полученных первых интегралов или от них и старых первых интегралов и т. д. Казалось бы, процесс этот может про- [c.268]

Из-за независимости друг от друга координат и импульсов всех точек скобки Пуассона исследуемого набора первых интегралов будут суммами скобок Пуассона членов, соответствующих каждой отдельной точке. Скобки Пуассона, взятые от первых интегралов, дадут соотношения, аналогичные полученным для отдельных точек. Следовательно, с помощью скобок Пуассона, например, по трем первым интегралам [c.641]

Если бы этот новый интеграл был всегда отличен от (р и ф и от остальных новых интегралов, уже полученных применением этой теоремы, то достаточно было бы знать только два интеграла, чтобы вывести из них шаг за шагом все остальные интегралы. Это, однако, может иметь место лишь в исключительных случаях. Скобка Пуассона может дать уже найденный интеграл или привести к постоянной. Теорема Пуассона, хотя и не имеет такого значения, которое ей можно было бы приписать с первого взгляда, может тем не. менее оказать большие услуги. Особенно интересную форму получает эта теорема, когда Н не содержит переменной I. [c.254]

Из равенства (8.79) и (8.80) можно получить ряд интересных выводов. Пусть, например, Lx(q, р) и Ly q, р) будут первыми интегралами уравнений движения. Тогда скобки [L, Н] и [Ly, Н] будут равны нулю, и согласно теореме Пуассона [L, бу- [c.292]

Для того чтобы функция f qi Pi i) была первым интегралом, необходимо и достаточно, чтобы ее полная производная по времени, в силу уравнений (2), тождественно равнялась нулю df /dt = 0. Выразим это условие через скобку Пуассона. В силу (2) имеем [c.335]

Теорема (Якоби-Пуассона). Если fi и /2 — первые интегралы системы (2), то их скобка Пуассона (Д, /2) также будет первым интегралом этой системы. [c.335]

Может показаться, что теорема Якоби-Пуассона всегда позволяет по двум известным первым интегралам найти еще один первый интеграл, затем еще один и так далее до тех пор, пока не будет получено количество первых интегралов, необходимое для построения общего интеграла системы (2). Это далеко не так. На практике скобка Пуассона часто может быть либо константой, либо функцией известных первых интегралов. [c.336]

Если С и Р — первые интегралы гамильтоновой системы с гамильтонианом И, то их скобка Пуассона С, Р тоже является первым интегралом при условии, что она не обращается тождественно в ноль. [c.286]

Теорема Пуассона. Если /1(2, I) и Д(г, I) - два первых интеграла уравнений Гамильтона (5), то их скобка Пуассона тоже является первым интегралом. [c.363]

Система дифференциальных уравнений щ = Ai q, р, t), Pi = Bi q, р, t) i,j = l,n) имеет в некоторой области 2п независимых первых интегралов Wk qj Pj-, t) [к = 1, 2п). Доказать, что эта система является гамильтоновой тогда и только тогда, когда скобки Пуассона Wk-, Wi) любой нары интегралов также являются первым интегралом. [c.210]

Первые интегралы ),..., канонической системы находятся в инволюции, т. е. скобки Пуассона (/ , // .) = = О (г, А = 1, ш). Показать, что первые интегралы вида Ф(/1, /2, . . . , /т) и (/1, /2, , /т) также находятся в инволюции. [c.214]

Скобка Пуассона функций д[д,р,Ь) и р д, р,Ь) должна быть первым интегралом заданной гамильтоновой системы. [c.368]

Следствие 1. Функция Р тогда и только тогда является первым интегралом фазового потока с функцией Гамильтона Н, когда ее скобка Пуассона с Н равна тождественно нулю Р, Н) = 0. [c.187]

Функции Pi и qi являются первыми интегралами каждого из 2п — 2 потоков Р, (г > 1). Поэтому каждое из 2п — 2 полей Fi, Qi (i > 1) касается многообразия уровня Pi — qi = 0. Но это многообразие есть М . Поэтому каждое и8 2п — 2 полей Fi, Qi (i > 1) касается Л/2" 2. Следовательно, эти поля являются гамильтоновыми полями на симплектическом многообразии со 1м), и соответствующие функции Гамильтона равны Pi м, qi м (г > 1)- Итак, скобка Пуассона во всем пространстве (R2", со ) любых двух из 2п — 2 координат p , q i 1), рассматриваемая на совпадает со скобкой Пуассона этих координат в симплектическом пространстве (ЛГ п-г 0)2 [c.203]

А. Теорема Лиувилля об интегрируемых системах. Напомню, что функция Р является первым интегралом системы с функцией Гамильтона Н тогда и только тогда, когда скобка Пуассона [c.238]

По этой же причине не получили дальнейшего развития его соображения относительно обобщений теоремы Рауса, связанных с наличием циклического интеграла и понижением порядка. Для уравнений Пуанкаре - Четаева при наличии первых интегралов (типа циклических) в гл. 4, 1,2 предложена новая процедура редукции, позволяющая получить уравнения приведенной системы в наиболее простой алгебраической форме и приводящая в некоторых случаях к нелинейным скобкам Пуассона. [c.36]

Соотношение (34.19) называют тождеством коби. Из него вытекает теорема Пуассона, утверждающая, что если функции [ и g являются первыми интегралами уравнений движения, то скобки (/, ) также являются сохраняющейся величиной. [c.197]

Скобка Пуассона антисимметрична и , / = С . Функция / является первым интегралом гамильтонова потока Н тогда и только тогда, когда /, Н] = 0. [c.232]

Предложение 5.5.20 (теорема Пуассона). Пусть (М, ш) является симплектическим многообразием, Н М— R — гладкая функция, Xff-iLj == dH, ф =Х и f, д—первые интегралы. Тогда скобка Пуассона /, д также является первым интегралом [c.234]

Здесь К (к) и Е к) — полные эллиптические интегралы первого и второго рода. Тогда уравнения движения в переменных (za,Pa) записываются в гамильтоновой форме относительно введенной скобки Пуассона [c.369]

В теории некоммутативного интегрирования обычно рассматриваются замкнутые наборы интегралов (2.1) их скобки Пуассона являются функциями от Fi,...,Fn. Это предположение естественно с точки зрения теоремы Пуассона. Легко понять, что любой набор первых интегралов можно расширить до замкнутого набора с помощью дифференцирований и алгебраических операций (см., например, [26]). Однако предположение замкнутости не всегда необходимо. [c.190]

Скобка Ли — Пуассона для алгебры е(3), порожденная соотношениями (3.13) при соответствии т,- <-+ г>, и pj <-+ вырождена функции (т,р) и коммутируют со всеми функциями на (е(3)) они же являются первыми интегралами уравнений Кирхгофа для всех гамильтонианов Н, поэтому к уравнениям Кирхгофа можно применить соображения, изложенные в п. 4 2. Рассмотрим четырехмерные интегральные поверхности Мс = т,р т,р) = = Сь (р,р) = Сг (с2 > 0), диффеоморфные, как легко видеть, касательному расслоению двумерной сферы. Ограничение скобки Ли — Пуассона на Мс является невырожденной скобкой Пуассона, которая превращает Мс в симплектическое многообразие. Поэтому уравнения Кирхгофа на Мс являются гамильтоновой системой дифференциальных уравнений с гамильтонианом Н, ограниченным на Мс, этот факт отмечен в работе [140] и одновременно в работе [84] для случая сх = 0. Особенно наглядно эта конструкция выглядит при С1 = 0. Положим т = ехр. Екли (т,р) = О и (р,р) > [c.40]

Замечание 2. Закон сохранения вектора момента относительно пространства можно выразить, сказав, что каждая компонента этого вектора в какой-либо системе координат на пространстве 9 сохраняется. Мы получаем, таким образом, множество первых интегралов уравнений движения твердого тела. В частности, каждому элементу алгебры Ли g соответствует линейная функция на пространстве g и, следовательно, первый интеграл. Скобки Пуассона первых интегралов, заданных функциями на д, как легко сосчитать, сами будут функциями на д. Мы получаем, таким образом, (бесконечномерное) расширение алгебры Ли д, состояп].ее из всевозможных функций на д. Сама алгебра Ли д вложена в это расширение как алгебра Ли линейных функций на д. Конечно, функционально независимы из всех этих первых интегралов фазового потока в 2п-мерном пространстве только п штук. В качестве п независимых интегралов можно взять, например, п линейных функций на д, образующих базис в д. [c.292]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...