Скобка Ли-Пуассона вырожденная

Итак, скобка Пуассона функций на д также является функцией на д. Эта скобка удовлетворяет свойствам 1)-3) скобки Пуассона, но может быть вырожденной (поскольку рассматриваются функции специального вида на ГС = Схд). Скобка (2.5) называется скобкой Ли — Пуассона она впервые была рассмотрена Ли в его теории групп преобразований. Если Г и С линейны по моментам т, то [c.28]

Предположим, что в г-мерном пространстве с декартовыми координатами Zi,..., Zn задана скобка Пуассона , (вообще говоря, вырожденная), обладающая тем свойством, что zi,z является [c.115]

Система уравнений (2.10), (2.11) является гамильтоновой с, вообще говоря, вырожденной скобкой Пуассона, определяемой для произвольных функций f M, д), д М, д) формулой [181] [c.36]

Скобка Пуассона (4.16) является вырожденной и обладает шестью функциями Казимира [c.51]

Е. Лаура [109, 110]. С гамильтоновой точки зрения эти уравнения получаются при ограничении скобки Пуассона (1.10) на аннуляторы (1.12). Получающаяся при этом нелинейная пуассонова структура также является вырожденной. [c.35]

Прежде всего, пересчитаем скобки Пуассона (4.12) - (4.14) в терминах переменных 0+ и /3. В зависимости от того, имеется или нет скачок плотности, в модели возникают два типа скобок Пуассона. Вначале рассмотрим вырожденный случай, когда скачок плотности отсутствует р+ = р = р . В этом случае величина /х, определяющая плотность вихревой пелены на контуре, является константой или интегралом движения, который фиксируется моделью. Таким образом, переменная [3 является функционально [c.196]

Вырожденный случай сг = 0. В вырожденном случае, когда скачок плотности <т = рг+г — рг на границе раздела отсутствует, переменная дг обращается в нуль и более не является динамической. В этом случае скобки Пуассона (4.83) и (4.84) исчезают, и, таким образом, мы имеем только скобку (4.85) [c.212]

Скобка Ли-Пуассона (1.3) является вырожденной, она обладает двумя функциями Казимира, коммутирующими в структуре (1.3) с любой функцией от М, 7, [c.86]

Получившаяся скобка Ли—Пуассона является вырожденной и обладает двумя центральными функциями. Одна из них (линейная) — интеграл полного момента (3.7) [c.47]

Для скобки Ли—Пуассона выполнены условия (1)-(4). Однако она может оказаться вырожденной могут существовать непостоянные функции, коммутирующие со всеми функциями на g. Такие функции принято называть функциями Казимира. [c.176]

Теория Дирака. К гамильтонову формализму со связями обычно приходят, отправляясь от лагранжиана, вырожденного по скоростям (определитель матрицы производных лагранжиана по скоростям равен нулю). Требование непротиворечивости дияамич. ур-ний означает, что подмногообразие связей F в С. м. М ин-волютивно пространство / связей (ф-ций на М, нулевых на F) замкнуто относительно скобки Пуассона [c.522]

Для решения гомологического уравнения относительно этих функций заметим, что скобка Пуассона Но, /с-1 представляет собой полную производную по I от функции Як-1 и, 1 ), взятую вдоль траекторий вырожденной системы, т.е. вдоль семейства отображений и иехр М), у —У 1 ехр(—Ш) (см. 48) [c.312]

Наряду с классической скобкой Пуассона функций, встречаются более общие скобки (вырождающиеся). Типичный пример — скобка Пуассона функций от компонент М вектора кинетического момента, Р,С = дР дМ1) (дС дМ ) М1, М] . Такие вырожденные скобки можно рассматривать как семейства обычных скобок Пуассона функций на семействах силшлектических многообразий. Однако эти семейства, вообще говоря, имеют особенности (не являются расслоениями) они состоят из симплектических многообразий (листов) разных размерностей, соединенных менаду собой условием гладкости заданной вырожденными скобками пуассоновой структуры на пространстве — объединении. (В описанном выше примере листы — концентрические сферы и их центр.) [c.422]

В приведенном определении мы отказались от требования невырожденности, (т. е. для любой функции F x) ф onst существует G ф onst, i", G ф 0), которое заведомо выполнено для канонической структуры (1.2), что позволяет, например, ввести скобку Пуассона для нечетномерных систем. В наших рассмотрениях пуассонова структура может оказаться вырожденной и обладать функциями Казимира Fk x), коммутирующими со всеми переменными Xi и, стало быть, с любыми функциями — G x) на М Fk,G = 0. Функции Казимира называют также центральными функциями, казимирами или аннуляторами. [c.29]

Симплектическое слоепие. Обобщение теоремы Дарбу. Если скобка Пуассона является вырожденной, то пуассоново многообразие (фазовое пространство) расслаивается на симплектические слои листы), ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои, как правило, представляют собой общий уровень всех функций Казимира. На слое справедлива теорема Дарбу и каноническая форма уравнений движения. Однако для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, поскольку как правило, ведет к потере алгебраичности дифференциальных уравнений и ограничениям в использовании геометрических и топологических методов исследования. [c.31]

Уравнения (3) являются гамильтоновыми (на олгебре Ли) и могут быть представлены кок уравнения Пуанкаре-Чеюева [7] на алгебре Ли Е(3), являющейся полупрямой суммой алгебры вращений S0(3) и алгебры трансляций R(3). Скобка Пуассона при записи этих уровнений является вырожденной и редуцируется операцией коммутирования но алгебре Е(3) [7] [c.9]

Уравнения Эйлера (9 1) являются гамильтоновыми (см. 2 гл. 1) симплектическая структура задается скобкой Ли — Пуассона /io i,/2a 2 = а гамильтонианом служит кинетическая энергия тела. Однако скобка вырождена квадрат момента F = коммутирует со всеми функциями на алгебре so(3) (такие функции называются еще функциями Казимира). Как отмечалось в 2 гл. 1, вырождение снимается ограничением динамической системы (9.1) на интегральную поверхность F = onst > 0. [c.111]

Получившаяся скобка Ли-Пуассона вследствие существования соотношений (1.11), (1.12) является вырожденной. Папомним, что для скобки Ли-Пуассона координаты коммутируют линейным образом xi,xj = jXk, а постоянные коэффициенты являются структурными константами некоторой алгебры Ли. Ажебру Ли, соответствующую пуассоновой структуре, получающейся при ограничении скобки (1.10) на подпространство определяемое соотношениями (1.11), мы будем называть вихревой алгеброй. [c.33]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...