Скобка Ли-Пуассона Пуассона

Здесь a — скалярный, не зависящий n q ъ p параметр. Любая абстрактная операция, обладающая свойствами (1.2.8) — (1.2.10), называется в алгебре скобкой Ли. Скобка Пуассона (1.2.6) является частной реализацией абстрактной скобки Ли. Эти свойства сильно отличаются от правил выполнения более привычных операций, таких, как сложение или умножение. Например, уравнение (1.2.8) показывает, что скобка не коммутативна. Из него следует, что [c.19]

Итак, скобка Пуассона функций на д также является функцией на д. Эта скобка удовлетворяет свойствам 1)-3) скобки Пуассона, но может быть вырожденной (поскольку рассматриваются функции специального вида на ГС = Схд). Скобка (2.5) называется скобкой Ли — Пуассона она впервые была рассмотрена Ли в его теории групп преобразований. Если Г и С линейны по моментам т, то [c.28]

В задаче Эйлера о свободном вращении твердого тела скобка Ли — Пуассона задается соотношениями [c.29]

Относительно скобки Ли — Пуассона уравнения Эйлера — Пуанкаре имеют гамильтонов вид [c.29]

Чаплыгина 53 Скобка Ли — Пуассона 28 [c.428]

Один из самых важных примеров пуассоновых структур связан с алгебрами Ли. Пусть — структурные константы алгебры g в базисе v, . .., Vn. Скобка Ли-Пуассона пары функций F, Н, заданных на некотором (другом) линейном пространстве V с координатами х = (xi,. .., ж ) и базисом. .., ш , определяется формулой [c.32]

В динамике твердого тела скобка Ли-Пуассона встречается наиболее часто. Это связано с тем, что конфигурационное пространство системы, как правило, является некоторой комбинацией естественных групп Ли (б О(З), (3),...). Однако при редукции по циклическим переменным могут возникнуть нелинейные скобки Пуассона (см. 1,2 гл. 4). [c.33]

Как было замечено в 2, п. 3 при такой матричной реализации получается скобка Ли-Пуассона, соответствующая полупрямой сумме е(3) [c.61]

То есть пуассонова структура в переменных М, а, 7, Р, х не задается скобкой Ли-Пуассона, так как скобка между переменными Р, х каноническая. [c.62]

Скобка Ли-Пуассона (1.3) является вырожденной, она обладает двумя функциями Казимира, коммутирующими в структуре (1.3) с любой функцией от М, 7, [c.86]

Скобка Ли - Пуассона (3.1) определяет гамильтонову систему в фазовом пространстве переменных х = М, ЛГ, Л, Ао) [c.283]

Здесь мы пропагандируем свой, достаточно универсальный, способ редукции [10], основанный на представлении уравнений движений в гамильтоновой форме со скобкой Ли-Пуассона [10]. Хотя общее число используемых при этом переменных превосходит размерность редуцированной системы, тем не менее, реальному движению соответствует инвариантное многообразие (определяемое интегралами и инвариантными соотношениями), размерность которого ровно на четыре единицы меньше размерности исходной системы (1.1). [c.31]

Можно показать, что после исключения с помощью соотношений (1.11) линейно зависимых переменных Aij , оставшиеся А, М определяют скобку Ли—Пуассона. Рис. 1 [c.33]

Получившаяся скобка Ли—Пуассона является вырожденной и обладает двумя центральными функциями. Одна из них (линейная) — интеграл полного момента (3.7) [c.47]

Канонические координаты для относительного движения в задаче трех вихрей. Представление уравнений относительного движения трех вихрей в гамильтоновой форме со скобкой Ли-Пуассона (3.4) и Ли-алгебраическая классификация позволяют естественным образом определить в этом случае наиболее подходящие канонические переменные. [c.50]

Для скобки Ли—Пуассона выполнены условия (1)-(4). Однако она может оказаться вырожденной могут существовать непостоянные функции, коммутирующие со всеми функциями на g. Такие функции принято называть функциями Казимира. [c.176]

Рассмотрим пример. В задаче Эйлера о свободном вращении волчка скобка Ли—Пуассона задается соотношениями [c.176]

Пусть Нх,..., Я — функции на дуальном пространстве , которые являются первыми интегралами уравнений движения их скобка Ли—Пуассона с кинетической энергией, представленной в переменных тпх,..., га , равна нулю. Эти интегралы можно продолжить до функций, заданных во всем пространстве. Положим [c.181]

Ли—Пуассона скобка 175 Линия тока 126 Лиувилля теорема 95, 184 [c.237]

Будут ли скобки Пуассона (ф, Н) интегралом канонической системы уравнений в том случае, если функция ф не зависит явно от времени [c.390]

Это показывает, что если такая переменная не содержит явно времени, то, для того чтобы она была интегралом движения, достаточно обращения в нуль скобки Пуассона от этой переменной и от Н. Этот результат дает хороший способ определения интегралов движения вне зависимости от того, будет ли само Н интегралом уравнений движения или нет. [c.111]

Скобка Ли — Пуассона для алгебры е(3), порожденная соотношениями (3.13) при соответствии т,- <-+ г>, и pj <-+ вырождена функции (т,р) и коммутируют со всеми функциями на (е(3)) они же являются первыми интегралами уравнений Кирхгофа для всех гамильтонианов Н, поэтому к уравнениям Кирхгофа можно применить соображения, изложенные в п. 4 2. Рассмотрим четырехмерные интегральные поверхности Мс = т,р т,р) = = Сь (р,р) = Сг (с2 > 0), диффеоморфные, как легко видеть, касательному расслоению двумерной сферы. Ограничение скобки Ли — Пуассона на Мс является невырожденной скобкой Пуассона, которая превращает Мс в симплектическое многообразие. Поэтому уравнения Кирхгофа на Мс являются гамильтоновой системой дифференциальных уравнений с гамильтонианом Н, ограниченным на Мс, этот факт отмечен в работе [140] и одновременно в работе [84] для случая сх = 0. Особенно наглядно эта конструкция выглядит при С1 = 0. Положим т = ехр. Екли (т,р) = О и (р,р) > [c.40]

Уравнения Эйлера (9 1) являются гамильтоновыми (см. 2 гл. 1) симплектическая структура задается скобкой Ли — Пуассона /io i,/2a 2 = а гамильтонианом служит кинетическая энергия тела. Однако скобка вырождена квадрат момента F = коммутирует со всеми функциями на алгебре so(3) (такие функции называются еще функциями Казимира). Как отмечалось в 2 гл. 1, вырождение снимается ограничением динамической системы (9.1) на интегральную поверхность F = onst > 0. [c.111]

Если гамильтониан Н зависит от координат, но удается выбрать избыточные координаты так, что все компоненты левоинвариантных полей v ( ) линейны по q, то скобка (2.13) становится обычной скобкой Ли-Пуассона, а все геометрические зависимости для избыточных переменных будут ее функциями Казимира или инвариантными соотношениями. Этого можно добиться, если воспользоваться матричной реализацией группы Ли, а в качестве избыточных кооординат выбрать компоненты ее матриц. Полученная в этом случае структура Ли-Пуассона соответствует полупрямой сумме g К , где К — пространство матриц п х п, g — алгебра Ли данной группы, и называется естественной канонической структурой кокасателъ-ного расслоения к группе Ли. Таким способом могут быть получены, например, уравнения движения твердого тела в направляющих косинусах и моментах (см. 4). Матричная реализация групп Ли используется также в динамике многомерного твердого тела [24, 31]. [c.37]

Соответствующая скобка Ли-Пуассона (точнее, пучок скобок линейно зависящих от параметра ж) для координатных функций коалгебры имеет вид [c.285]

Относительные переменные и скобка Ли-Пуассона. Рассмотрим редукцию к относительным переменным и соответствующее понижение порядка в алгебраической форме. Формальное ее изложение и алгеброгеометрическая интерпретация приведены далее в 5. Здесь мы ограничимся физическим описанием. [c.32]

Получившаяся скобка Ли-Пуассона вследствие существования соотношений (1.11), (1.12) является вырожденной. Папомним, что для скобки Ли-Пуассона координаты коммутируют линейным образом xi,xj = jXk, а постоянные коэффициенты являются структурными константами некоторой алгебры Ли. Ажебру Ли, соответствующую пуассоновой структуре, получающейся при ограничении скобки (1.10) на подпространство определяемое соотношениями (1.11), мы будем называть вихревой алгеброй. [c.33]

Таким образом, относительное движение вихрей может быть описано гамильтоновой системой со скобкой Ли—Пуассона (1.10), зависящей от параметров — интенсивностей вихрей. Эта система и является приведенной, причем, для действительного понижения порядка системы, необходимо ограничить структуру (1.14) на симплектический лист. Ажоритм такого ограничения приведен нами в 5. Вещественная форма алгебр Ли, отвечающих данным скобкам при различных значениях интенсивностей определяет, топологию симплектических листов и следовательно динамику приведенной системы. [c.34]

Действие (5.7) непуассоново [1]. Папомним, что действие (связной) группы Ли пуассоново, если гамильтонианы, соответствующие элементам о, Ь ее алгебры Ли, коммутируют следующим образом На.,Нь = Н[а,ь]- в данном случае, интегралы движения (1.4), соответствующие трансляциям — Q, Р и вращению — I, образуют пуассонову структуру, которая отличается от скобки Ли—Пуассона алгебры е(2) на постоянную величину — коцикл. Легко видеть, что этот коцикл является неустранимым [1] и стандартная редукция по моменту [119] невозможна (она строится лишь для пуассоновых действий). Для проведения редукции в алгебраической форме [10] воспользуемся отображением момента несколько иначе. [c.113]

Каноническая скобка (pi,Pj = Sij переходит в стандартную скобку Ли-Пуассона на и п-1). Орбита в переменнькр, рг задается соотношением [c.116]

Итак, скобка Пуассона функций на g также является функцией на g. Скобка (5.1) называется скобкой Ли—Пуассона она была впервые введена Софусом Ли в его теории групп преобразований. [c.175]

Резюме. Заданная производяш,ая функция определяет каноническое преобразование в неявной форме. Хотя и не существует формул, которые бы задавали каноническое преобразование в явном виде, однако относительно любого конкретного преобразования можно выяснить, является ли оно каноническим. Для этой цели могут быть использованы скобки Лагранжа или Пуассона. Эти скобки тесно связаны с каноническими преобразованиями. Каноническими являются те преобразования сопряженных переменных, которые оставляют инвариантными любые скобки Лагранжа или Пуассона. [c.249]

Группой функций по С. Ли называется всякая совокупность функций от двух сопряженных рядов п переменных, обладающая следующими свойствами 1) она содержит всякую сложную функцию, составленную из функций той же совокупности 2) к ней принадлежат скобки Пуассона от двух каких угодно из ее функций. С. Ли доказал, что во всякой группе функций можно определить некоторое число /и<2л таких независимых функцкй Ui, и ,Пщ, что для всякой пары индексов г, ] будем иметь [c.277]

Этот метод можно обобщить на все подобного рода канонические преобразования. Оказалось, что предпочтительнее не определять р, явно, а установить те дифференциальные уравнения, которым они должны удовлетворять. Следуя Пуассону, Шеринг и Ли в 1873 г. ввели символические скобки. Определим [c.823]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Примечания к теореме 1) как и в 16, гладкие функции образуют алгебру Ли относительно скобки Пуассона отображение x(F)=F есть гомоморфизм ее в алгебру векторных полей 2) если 7 = onst, то доказательство (18) сводится к рассуждению- [c.249]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...