Свойства скобок Лагранжа

Теперь, чтобы составить уравнения (12.78), которые в рассматриваемом случае представляют собой систему шести линейных уравнений относительно производных от элементов (12.79), нужно сначала вычислить скобки Лагранжа, число которых в данном случае равно 30, что в силу свойств скобок приводится к 15. [c.623]

Выражения (а, Ъ) впервые были введены Лагранжем и часто называются скобками Лагранжа. Они обладают различными интересными свойствами, из которых здесь приведем только два, а именно [c.66]

Вычисление любой скобки Лагранжа зависит только от формул эллиптического движения. Прежде чем пойти дальше, выведем одно важное свойство скобок Лагранжа. [c.242]

Воспользуемся теперь свойством (d/dt) [а,, а 1 = 0. Скобки Лагранжа постоянны при всех значениях i и, в частности, при таких значениях t, при которых n(t — т) мало. Тогда Е будет также малым и мы можем написать уравнение Кеплера следующим образом [c.95]

Поскольку инвариантность циркуляции, взятой вдоль любой замкнутой кривой L, является характерным свойством канонических преобразований, это же свойство может быть выражено как инвариантность скобок Лагранжа [и, v] каноническими яв.шотся те преобразования от переменных <7/. Pi Qi Pi которые оставляют инвариантными скобки Лагранжа, независимо от того, как qi, pi зависят от и и V. Смысл этой инвариантности состоит в том, что, заменив координаты qi, pi в результате канонического преобразования координатами Q,-, Pi и образовав затем скобки Лагранжа в новой системе координат, мы получим то же самое значение, что и раньше. [c.246]

Для соотношений первого типа образуются скобки Пуассо на, для соотношений второго типа — скобки Лагранжа Один тип скобок определяет другой. Следовательно, раз скобки Лагранжа инвариантны относительно канонических преобразований, то этим свойством обладают и скобки Пуассона. Отсюда получается другая-формулировка условий и каноничности преобразования. Каноническими являются те преобразования, которые оставляют инвариантными скобки Пуассона (и, v) независимо от того, как функции и и v зависят от координат qi, pi. [c.248]

Значение этого свойства может быть кратко проиллюстрировано теперь же. С широким же применением его мы встретимся ниже. Для того чтобы вычислить скобки Лагранжа р, q, мы должны найти производные дх/др, дх/др, ду/др. dyjdp, дг/др, d zjdp и соответствующие производные по q. После дифференцирования мы можем, согласно свойству (3), придать t любое желаемое значение. На практике находят наиболее удобным полагать t — i, где и — момент прохождения через перигелий, так как при этом эксцентрическая аномалия Е, которая входит в выражения для х..... [c.89]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...