Координаты конформные преобразования

Вершины кривых линий. Задание плоских кривых в естественных координатах. Кривые линии второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола. Рулетты. Преобразования плоских кривых линий. Конхоидальное преобразование. Преобразование инверсии. Конформное преобразование. Графики функций. Пространственные кривые линии. Гелисы. [c.7]

Следовательно, координаты Xi, у плоскости Z, являющиеся функциями X, у, удовлетворяют условиям Коши — Римана. Характерная особенность конформного преобразования — сохранение углов между соответствующими направлениями плоскостей Z и Z . [c.263]

При плоском течении частицы жидкости движутся параллельно некоторой неподвижной плоскости со скоростями, не зависящими от расстояния до этой плоскости. Другими словами, плоское течение определяется двумя координатами пространства х а у) к поэтому его также называют двумерными. Такое ограничение упрощает исследование благодаря уменьшению числа неизвестных, а также дает возможность применения эффективных математических приемов (метод конформных преобразований). [c.69]

Сопровождающие (9) конформные преобразования полей Е, В я токов > ,7 являются линейными, ко явно зависят от х они используются при построении нелинейных версий ур-ний Э. и нахождении их точных решений. Ур-ния Максвелла (8) не изменяются также при локальных внутренних, т, е. не затрагивающих пространственно-временные координаты, дуальных преобразованиях [c.522]

Конформные преобразования области годографа, обеспечивающие получение вспомогательной решетки с замкнутыми профилями, можно бесконечно разнообразить, пользуясь произволом выбора функции Р (V) в выражении (26.1). Принципиально возможно получить вспомогательную решетку, отличающуюся от решетки в потоке сжимаемой жидкости только шагом и углом установки тех же профилей. Соответствующие точки профилей решеток при этом смещаются вдоль контура связь между их координатами определяется выражением [c.212]

В важном случае сопряженной ) системы координат вращения (см. разд. А.16), определяемой при помощи конформного преобразования [c.125]

Второй способ вытекает из замечания, сделанного в 13.2. Представление общего интеграла безмоментных уравнений сферической оболочки через аналитические функции комплексного переменного сохраняется в любой изотермической системе координат, а последняя остается изотермической при конформном преобразовании ее независимых параметров. Поэтому можно заранее подобрать такую изотермическую систему координат, в которой край задается наиболее просто, например, проходит вдоль координатной линии. Преимущество второго подхода заключается в том, что он позволяет упростить не только область, но и граничные условия задачи (последние всегда формулируются наиболее просто на краях, проходящих вдс 1ь координатных линий). [c.261]

Пусть р и р — криволинейные координаты, определяемые конформным преобразованием единичного круга на данный эллипс [c.176]

Примеры конформных преобразований. Полярные координаты. [c.137]

Самым простым примером конформного преобразования является переход or прямоугольных координат к полярным. [c.137]

Примеры конформного преобразования. Эллиптические координаты. [c.140]

Аппарат конформного отображения. Пусть теперь Ф — любое течение, имеющее годографом полукруг (следовательно, ограниченное свободными линиями тока и прямолинейными стенками). Мы можем так выбрать оси координат, что величина будет принимать действительные значения на неподвижной границе, и так выбрать единицы измерения, что на свободной границе будет gl = 1. Затем с помощью преобразования о = ( -f 5" )/2 отобразим область годографа на нижнюю полуплоскость lm a <0. Конформное преобразование наиболее общего вида, отображающее область годографа на нижнюю полуплоскость, задается формулой [c.79]

Это положение можно проиллюстрировать на примере уравнения Лапласа = О для стационарных течений Эйлера в пространстве и на примере уравнения Гельмгольца V i/ -Ь = 0. Было показано 2), что в обоих случаях системы координат, в которых имеет место разделение переменных, принадлежат к нескольким известным классам, большая часть которых при преобразованиях над группой, порождаемой инверсиями относительно сфер, переходит в семейство параллельных плоскостей, в пучок плоскостей, проходящих через одну прямую, и в семейство концентрических сфер, т. е. в одну из систем координатных поверхностей для декартовых, цилиндрических или сферических координат. Это наводит на мысль, что к данной задаче можно непосредственно применить метод конформных преобразований, рассматривая инвариантность относительно конформной группы. [c.188]

Решение уравнения (27) строится методом разделения переменных с помощью конформного преобразования координат. В окончательном виде плотность тока [c.27]

Метод решения обобщенной связанной векторной задачи Римана-Гильберта с несколькими точками разрыва краевых условий неизвестен. Для частного класса задач типа (5) путь к аналитическому решению был найден при использовании аналитического продолжения и конформного преобразования области векторная задача приводится к виду, когда факторизация становится возможной [21]. В процессе решения определяются шесть действительных постоянных. Для этого имеются четыре независимых условия на бесконечности (3), второе уравнение равновесия клина (отсутствие вращения) и условие на приращение смещения берегов трещины из (1), ибо задача ставится в производных от смещений. Минимальные значения координат концов разреза-трещины а, Ь определяются из энергетического критерия разрушения. [c.657]

Решение этой задачи основано на сведении ее к задаче предыдущего пункта путем замены координат (х, у) на другие координаты ( , т), в которых контур С переходит в окружность, уравнение Лапласа и граничное условие сохраняются, и которые на больших (статически) расстояниях переходят в (х,у). Эта замена координат осуществляется конформным преобразованием. [c.202]

Из этого преобразования следует, что ось направлена противоположно оси у (см. рис. 48) и отсчет углов и 6 диаметрально противоположен. Таким образом, конформное преобразование (6.4.1) переводит точку 2о в точку 2о1, причем 2о1 и 2о лежат на одном и том же луче, выходящем из начала координат под углом 6 либо —б . Из [c.113]

Формулы (12.1.34) представляют собой конформное преобразование плоскости, записанной в полярных координатах г, 0, на поверхность вращения, определяемую X (дополнением широты) и 0 (меридианами). [c.319]

Метод конформных преобразований. Для планарных полей имеется другой мощный метод аналитического определения распределений потенциала. Плоскость ху декартовой системы координат является также плоскостью определения комплексной переменной [c.110]

Метод конформных преобразований основан на отображении плоскости ху в плоскость ии с помощью аналитических функций, рещении задачи в этой плоскости (нахождении потенциала как функции координат ы и и), что преобразует сложную задачу в другую, с более простыми граничными условиями, и последующем обратном преобразовании решения в плоскость ху. Обычный подход заключается в исследовании различных преобразований и последующем поиске задач, которые могут быть решены с помощью этих преобразований. Таким образом, функция f w)= nw решает задачу о нахождении потенциала бесконечной заряженной нити, /(ш) = 1/ш позволяет найти поле двух параллельных заряженных нитей, с противоположными зарядами /(ш)=г / , определить поле заряженного прямого угла и т. п. Это не очень эффективный путь, в особенности если вспомнить, что он применим только к планарным полям. Тем не менее этот метод оказался весьма полезным при конструировании мультиполей, ограниченных прямыми линиями [79]. Метод, используемый для решения задач этого типа, называется преобразованием Шварца — Кристофеля. [c.112]

Аналитические методы перечислены в разд. 3.1. Сначала были выписаны разложения в ряд для потенциалов и полей. Формула (3.19) является наиболее общим выражением для разложения в ряд произвольного трехмерного распределения потенциала в цилиндрических координатах, а (3.27) — в декартовых. Выражение (3.20) написано для частного случая аксиально-симметричного распределения потенциала. Затем были рассмотрены общие свойства плоских, аксиально-симметричных и мультипольных полей. Обсуждались специальные методы вычисления как аксиально-симметричных, так и мультипольных полей (разделение переменных, конформные преобразования и т. д.). Было рассчитано распределение потенциала, созданного двумя цилиндрами одинаковых диаметров с круглой апертурой. Мы ознакомились с процедурой, позволяющей быстро рассчитать поле, созданное системой апертур. Затем было вычислено распределение потенциала, созданного цилиндрическим вогнутым 2ЛГ-мультиполем, и найдено решение задачи об идеальных мультиполях. Трудности аналитических вычислений были проиллюстрированы на практических примерах. Мы остановились на особых свойствах магнитных материалов, после чего использовали закон Био — Савара (3.249) для вычисления по- [c.177]

Преобразования к ортогональным криволинейным координатам. Во многих приложениях изложенной здесь теории необходимо иметь выражения для компонентов напряжений и переме-ш ений в ортогональной криволинейной системе координат (I, т]), которую будем определять с помош,ью конформного преобразования Z = ш ( ), где = I -t- щ. Рассмотрим сначала прямоугольные оси Рп, Ps, образованные нормалью п [c.92]

Для полей в проводящих средах метод конформных преобразований неприемлем, так как уравнение Гельмгольца при преобразовании координат также изменяется. [c.67]

Задача сводится к разысканию значений действительных коэффициентов (х , V . но заданным координатам крылового профиля. Это означает, что разметке абсцисс х- точек обвода заданного крылового профиля соответствуют определенные ординаты у профиля, но неизвестно соответствие этих значений х и у разметке углов 0 на контуре круга. Установив это соответствие, тем самым найдем искомое конформное преобразование (107), определяемое коэффициентами или и п-Представим каждую из функций х(0) и //(0) в форме суммы двух слагаемых [c.239]

Из сказанного в 3 следует, что дальнейшее произвольное конформное преобразование плоскости х, у вместе с соответственным преобразованием аргумента t сохранит нормальную форму дифференциальных уравнений и интеграла энергии. Для того чтобы упростить еще больше линейный интеграл, произведем преобразование координат х. у ъ новые X. у, определенные формулой [c.57]

Для решения задачи продолжим функцию ф в верхнюю часть плоскости хОу. В результате продолжения получим функцию ф (лГ, у, 1), аналитическую во всей плоскости за исключением отрезка х Ь, у — О, причем ф (х, у, () — —ф (л , —у, t). Введем далее эллиптическую систему координат, переход к которой может быть осуществлен в результате конформного преобразования плоскости г = X + 1у на плоскость С — + Са с помощью соотношений (рис. 36) [c.116]

Изометрические системы координат на поверхности обладают важным свойством. При конформных преобразованиях 1-го и 2-го родов изометрическая система координат переходит в изометрическую систему координат. Изометрическое отображение поверхности на плоскость является конформным. [c.49]

Чтобы применить этот метод расчета к профилю, полученному из круга яри помощи конформного преобразования X = f z), Необходимо прежде всего определить характеристическую функцию потока, обтекающего круг. В об щем случае начало координат О выбрано совпадающим с центром тяжести [c.63]

Группы Ли. Элементы Г Л задают конечным набором числовых параметров (координат) так, что групповое умножение и переход к обратному элементу выражаются с помощью гладких (бесконечно дифференцируемых) ф-ций от этих параметров. Число параметров наз. размерностью ГЛ. Параметры могут быть вещественными или комплексными, в соответствии с этим ГЛ лаз. вещественной или комплексной ГЛ. Каждую комплексную ГЛ можно рассматривать как веществ. ГЛ вдвое большей размерности. Примерами ГЛ являются физически важные Г. трансляций, вращений, конформных и унитарных преобразований раз-ны. размерностей, группа Лоренца, группа Пуанкаре [c.543]

Рассмотрение общих методов решения задач теории оболочек [3, 4, 15] позволяет сделать вывод о том, что для данных видов тонких или пологих оболочек (класса TS) разрешающее уравнение можно свести к уравнению (3.30) или его эквиваленту. Эти уравнения инвариантны относительно конформного отображения координат. Последнее обстоятельство во многом усиливает теоретическую обоснованность использования преобразования координат при рещении задач ТТО. [c.33]

Наиболее эффективным методом преобразования координат в теории ПОЛЯ является метод конформных преобразований. Этот метод получил широкое применение для определения магнитного поля в воздушном зазоре ЭМП с учетом явнополюсности, зубчатости, эксцентриситета и т. п. [41]. Главное ограничение в практическом использовании метода состоит в том, что граничные поверхности целесообразно подбирать так, чтобы они были параллельны или перпендикулярны силовым линиям и имели постоянную магнитную проницаемость. [c.92]

Идеи, выдвинутые в упоминавшейся работе Смолуховского 29], были развиты Факсеном [14], который применил процедуру отражений, аналогичную использованной выше, к случаю двух сфер, движущихся вдоль линии центров. Его результат совпадает с приведенным в (6.3.51). Метод Факсена слегка отличается от метода, принятого в данной книге, и от метода Смолуховского. Переход в выражениях для отраженных полей от координат, связанных с центром одной сферы, к координатам, связанным с центром другой сферы, в методе Факсена осуществляется путем конформного преобразования, представляющего собой известное преобразование инверсии относительно сферической поверхности. У Смолуховского же этот переход выполняется приближенно при помощи разложений в ряды Тейлора в окрестностях точек, соответствующих началам двух координатных систем. [c.297]

К работам этого же направления относятся публикации [28—30]. В [28] изложены результаты определения собственных частот колебаний двусвязных пластинок со сложной формой границы. Задача сводится к рассмотрению круговой пластинки с центральным круговым вырезом. Метод основан на построении функции координат, удовлетворяющей граничным условиям. Для получения уравнения для нахождения собственных частот колебаний использован вариационный метод, а далее метод, Бубнова и конформных преобразований. В работе, [29] изложен приближенный способ нахождения низшей собственной частоты поперечных колебаний круговой пластинки с эксцентрическим вырезом аналогичной формы. Этот способ основан на методе Ритца. В [30] предложены результаты сравнительного числового анализа по определению- собственных частот колебаний двусвязных пластинок со сложными внешними и внутренними контурами. Данные конечно-элементного анализа сравниваются со значениями, полученными с помощью приближенного вариационного метода, основанного на выборе соответствующих аппроксимирующих функций, удовлетворяющих граничным условиям. Полученные результаты хорошо согласуются с данными, опубликованными ранее. [c.292]

При этом преобразовании точка В 2 = 1) перейдет в бесконечно удаленную точку плоскости 35, точка А(г= — г) —в начало координат плоскости Zl, дуги, образующие двуугольник, — в полупрямые 1), исходящие из настала координат. В силу конформности преобразования угол между этими двумя полупрямыми будет 25. Область, внешння к двуугольнику на плоскости з, отобразится на область, внещнюю к углу (на фиг. 93 она заштри- [c.225]

В формулу (54.2) входят 2п + 3 независимых параметров п чисел 1,,. ... .., tj,. .., п —1 величина 1..... а,-..... а 1 (Оп связана с другими а,- известным из геометрии выражением суммы внутренних углов выпуклого многоугольника а1-Ь... . -Ьа = (п — 2)я) четыре постоянных величиныось бсь Осг, 6с2. 2п независимых констант полностью 0пределя 0т заданный многоугольник (2п координатами определяется расположение вершин многоугольника на плоскости со). Три величины из числа указанных выше могут выбираться произвольно, что используется для выполнения требуемого конформного преобразования. [c.474]

После конформного преобразования с П = r = г на любой гиперповерхности г = onst справедливо da = r du — d[c.146]

Эйконал имеет здесь тот же вид (6.78), что и для мод Гаусса-Лагерра. Как показано ниже, параксиальные уравнения с учетом (6.72) дают решение в виде [15] для мод Гаусса-Эрмита. Для непараксиального варианта, (6.98) описывает обобкцение одномерной моды Гаусса-Эрмита. Другие обобщения одномерных мод могут основываться на конформных преобразованиях координат, отличных от (6.98). В силу (6.57), такие преобразования порождаются вещественнозначными функциями й) , изменяющимися по х Х2. Одномерные моды Гаусса-Эрмита могут быть получены из уравнений (6.68)-(6.72), (6.74), содержащих функции 5, В, Ао ( С1), 70 (жз) Рр (Л 1)- [c.411]

В рассматриваемом случае координатные поверхности = onst представляют овалоиды без отверстий. Поэтому замена на них одних сопряженно-изометрических координат другими осуществляется конформным преобразованием всей комплексной пло-ркорти Е на себя. Такие конформные преобразования (мы рас- [c.185]

Инвариантные преобразования. Ур-ние (1) инвариантно (т. е, сохраняет свою структуру) относительно линейных преобразований координат в времени, объединённых в 10-параметрическую Пуанкаре группу (3 вращения вокруг пространственных осей,. 3 равномерных движения вдоль них, объединяемые в Лоренца преобразования, а также 4 смещения начала координат е времени). В 1910 Г. Бейтмен (Н. Bateman) показал, что В. у. инвариантно относительно 15-параметрич, конформной группы, содержащей в качестве подгруппы группу Пуанкаре. Из др. инвариантны преобразований следует выделить [c.312]

Общие преобразования координат хЧ даются первым членом разложения по 9f, суперпараметра 0l), локальная суперсимметрия — нервы.м членом разложения суперпараметра 0,J локальным преобразованиям Лоренца отвечает линейный по 0(. член этого разложения. Остальные члены разложений и X либо соответствуют локальной конформной суперсимметрии [7, 11 ] и обращаются в нуль в силу условия (5 ), либо описывают чисто калибровочные степени свободы. [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...