Пространство состояний упругой системы

Скалярное произведение, норма, метрика в пространствах состояний упругой системы. Если в линейном пространстве определить скалярное произведение, то оно становится евклидовым пространством. Например, в пространстве перемещений U скалярное произведение и ° v(u,veU) можно определить равенством [c.206]

Частный вариационный принцип. От всех возможных, т. е. удовлетворяющих данным ограничениям (дополнительным условиям), состояний упругой системы истинное состояние отличается тем, что частный функционал имеет стационарное значение при данных дополнительных условиях, т. е. в подпространстве данного пространства состояний. [c.32]

Тензор характеризует сразу три напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам и используется для описания физических явлений и процессов, происходящих в упругой среде. В механике сплошной среды используется трехмерное евклидово пространство с различными системами координат. Примененный для описания напряженного состояния точки тензор напряжений инвариантен относительно преобразования прямоугольных координатных осей. Тензор напряжений симметричный, так как коэффициенты матрицы симметричны относительно главной диагонали и равны между собой. Задать тензор напряжений— значит определить напряженное состояние в данной точке тела. В частных случаях напряженное состояние точки определяет напряженное состояние всего тела (при простом растяжении — сжатии), такое напряженное состояние называется однородным. [c.8]

Проведенное авторами экспериментальное исследование распределения масс и упругих элементов в типовых трансмиссиях ряда машин показало, что в том случае, если амплитуды усилий от крутильных колебаний не превышают статической нагрузки и передачи редукторов постоянно находятся в нагруженном состоянии, эквивалентная приведенная схема при изучении крутильных колебаний представляется как многомассовая линейная упругая система, свободно движущаяся в пространстве. [c.254]

Преобразования базисных векторов. Для того чтобы найти положение стержня в пространстве для деформированного состояния, например вектора и (рис. П.З), и положение базиса, связанного с осевой линией стержня е , необходимо предварительно выбрать систему отсчета, например систему координат л,. Однако, при исследовании статики и динамики упругих элементов под действием нагрузок часто более удобными являются координаты, связанные определенным образом с самим упругим элементом, например координаты, определяемые базисом е,о) на рис. П.З. При решении уравнений равновесия стержней (или уравнений движения, когда рассматривается динамика) возникает необходимость перехода от одной системы координат к другой, что требует знания основных операций преобразования базисных векторов. [c.294]

Замечательным примером колебаний механической системы вблизи положения равновесия является случай твердого тела, молекулы которого расположены вблизи положения равновесия, но находятся в состоянии непрерывных беспорядочных колебаний в связи с тепловым движением. Все эти колебания могут быть аналитически изображены одной С-точкой, помещенной в ЗЛ/-мер-ном евклидовом пространстве, где N — число молекул, составляющих твердое тело. Движение С-точки можно представить в виде гармонических колебаний определенных частот вдоль взаимно перпендикулярных осей. Каждой степени свободы отвечает одна ось. Спектр этих колебаний простирается от очень низких упругих и акустических частот вплоть до очень высоких инфракрасных частот. Распределение амплитуд и фаз определяется статистическими законами и является функцией абсолютной температуры Т. [c.187]

О принципе Сен-Венана. Формулировка Мизеса. В пп. 1.1 и 1.2 этой главы рассматривалось напряженное состояние в неограниченном упругом пространстве, создаваемое силами, распределенными в малом объеме, на достаточном удалении от него. Было показано, что, ограничиваясь учетом величин первой степени относительно линейных размеров этого объема, можно заменить действие такой системы сил ее интегральными характеристиками — главным вектором, главным моментом и силовым тензором. Оказалось, что на достаточном удалении точки наблюдения напряжения, создаваемые главным моментом, имеют тот же порядок, что и создаваемые силовым тензором. Здесь будет показано, что это же явление констатируется и в упругом полупространстве z > О при нагружении его силами, распределенными по малой площадке о его границы [c.242]

Напряженное состояние, которое определяется составляющими 013 и 023, возникает при кручении брусьев. Этой задачей мы займемся подробнее в гл. 7. В гл. 6 мы будем заниматься только напряженным состоянием, связанным с функцией Эри. Для этого в дальнейшем мы будем рассматривать два первых уравнения системы (6), предполагая, что 013 О, 023 = 0 во всем упругом пространстве. [c.304]

После заправки системы водой в незаполненном пространстве расширительного бачка находится воздух. При повышении температуры в процессе работы двигателя возрастает упругость паров, а так как в бачке находится и пар и воздух, который нагревается, то парциальное давление его увеличивает обш,ее давление в расширительном бачке. Стравливание воздуха происходит тогда, когда давление в бачке повысится до величины, равной давлению паров и затяжке пружины клапана. Так как система нагревается главным образом на режиме подъема и температура воды при этом не доводится до состояния выброса пара через дренажный клапан, то давление перед насосом обеспечивается, во-первых, статическим давлением, возникаюш,им вследствие разности уровней между расширительным бачком и насосом, и, во-вторых, парциальным давлением воздуха и пара. [c.243]

Выбор пространства состояний упругой системы. Прежде чем сформулировать систему аксиом, описывающую упругую систему, нужно выделить совокупность независимых элементов, характеризующих ее состояние, например поля напряжений, деформаций, перемещений. Эти элементы удобно рассматривать как координаты изображающей точки в некотором пространстве, которое мы назовем пространством состояний. Это пространство можно считать линейным или евклидовым со скалярным умножением вида (1.2) гл. 1. Оно может состоять из различных комбинаций полей перемещений, деформаций и других, обладающих необходимыми свойствами непрерывности и диф-фереицируемости. [c.28]

Пространства состояний упругой системы как линейные и аффинные пространства. Совокупность возможных состояний упругой системы (т. е. полей перемещений, усилий, деформаций, функций напряжений), среди которых отыскивается нстниное состояние, целесообразно рассматривать как линейное (векторное) пространство (пространство состояний, см. гл. 2). liro элементами являются трехмерные (или двумерные) векторные или тензорные функции и(г), а (г) и т. д. положения точки в области V, занимаемой упругим телом (или в области S, занимаемой базисной поверхностью оболочки) здесь т—радиус-вектор точки в какой-либо декартовой системе координат. Таким образом, различные пространства состояний упругой системы являются пространствами функций, определенных на V или S (функциональными пространствами) н имеют бесконечную размерность. [c.204]

В связи с указанным основным свойством пластической среды в пространстве напряжений, т. е. в девятимерном пространстве, точки которого задаются значениями напряжений можно отметить область 2)р такую, что если для данного процесса точка рУ лежит строго внутри области р, то частица ведет себя как упругое тело. В противном случае в частице могут возникать пластические (остаточные) деформации. Граница 2р области 2)р представляет собой совокупность пределов упругости для всевозможных напряженных состояний. Компоненты тензора напряжения взятые в декартовой пространственной системе координат х, у, 2, МОЖНО рассматривать как декартовы координаты точек в области 3)р. В девятимерном евклидовом пространстве ) рч в общем случае область 2)р девятимерна, так как упругие напряжения могут быть в известной степени произвольными, а 2р восьмимерна. [c.423]

Я нашел эту проблему гораздо более трудной, чем это представлялось мне ранее, и встречал в ней почти всюду непреодолимые препятствия. Тем не менее, я собрал приложенные к сему статьи, из которых некоторые смогут послужить для более полного определения состояния данного вопроса, решение которого остается за Вами. Я прочитал также. Милостивый государь, Ваш превосходный труд о великом принципе покоя и без лести имею честь уверить Вас, что ценю разработку этой темы неизмеримо больше, чем наиболее изящные решения частных проблем. В самом деле, я убежден, что повсюду природа действует согласно некоему принципу максимума или минимума, а обнаружение в каждом случае этого максимума или минимума и есть, по моему мнению, не только очень возвышенная, но также очень полезная для углубления нашего познания задача мне кажется также, что именно в этом следует искать подлинные основы метафизики. Одновременно я считаю Ваш принцип более общим, чем Вы предполагаете, и убежден, что он имеет место в системе любых тел, находящихся в состоянии покоя, где каждая частица в определенном направлении подвергается действию движущей силы Р взяв в том же направлении элемент пространства dz, по которому указанная частица перемещается за бесконечно малое время dt, если она будет свободна от этой системы, я говорю, что Pdz будет максимумом или минимумом, но признаю, что в этом случае данный принцип не может быть доказан геометрически, как Вы это сделали. В конце моего трактата об изопериметрах я вывел упругие кривые из принципа максимума или минимума, который мне сообщил господин Бернулли и который, как я теперь вижу, совершенно естественно вытекает из Вашего принципа. В том же месте я показал также, что в движениях природа постоянно соблюдает определенный максимум или минимум, и я определил при помощи этого принципа все кривые траектории, которые должны описать тела, притягиваемые к неподвижному центру или друг к другу. [c.746]

Если при всех смещениях (г) анергия системы увеличивается (61У > 0), то система находится в устойчивом состоянии с наименьшей потенциальной энергией и все отклонения от положения равновесия не могут нарастать во времени. Если 61У может принимать отрицательные значения, т. е. при нек-ром смещении система может перейти в состояние с меньшей потенциальной энергией, то рассматриваемая система неустойчива. Границу между устойчивыми и неустойчивыми состояниями образуют такие состояния, в к-рых исчезает упругость по отношению к одному определённому типу смещений. Для нахождения границы устойчивости обычно исследуют, при каких условиях появляются состояния, близкие к равновесному, е помощью ур-нпя И = 0. т. е. соответствующие нулевым собств. частотам, (т. н. безразличное равновесие). В линейной теории Н. п. стационарных состояний нарастание флуктуаций во времени носит экспоненциальный характер ехр(у(). Здесь у — инкремент неустойчивости — величина, характеризующая степень неустойчивости системы, быстроту возбуждения в ней колебаний. Порядок величины инкремента самых быстрых МГД-шеустойчивостей у/г, где г— характерный пространств, размер конфигурации, V — характерная скорость (альвеновская, либо скорость звука, в зависимости от типа Н. п.). [c.346]

Теперь возникает вопрос об условии пластичности при объемном напряженном состоянии. Согласно закону Гука при фиксированной системе координат, постоянных температуре и других физико-химических параметрах напряженно-деформированное состояние частицы однозначно определяется напряжениями. Поэтому в этих условиях переход частицы из упругого состояния в пластическое определяется напряжениями в этой частице, и условие пластичности имеет вид (ofj ) == 0. В это уравнение входят также механические характеристики материала, определяющие возникновение пластических деформаций (например, а,). В пространстве напряжений, т. е. в девятимерном пространстве, точки которого задаются девятью значениями компонент это уравнение поверхности текучести И,, которая является границей упругой области (рис. 80). Если точка А, изображающая напряженное состояние, лежит внутри области Dg, частица ведет себя как упругое тело. Если изображающая точка В находится на поверхности текучести в частице возникают пластические (остаточные) деформации. Граница области Dg представляет собой совокупность пределов текучести для всевозможных напряженных состояний. [c.192]

Перейдем теперь к задаче о шаре. Здесь мы будем рассматривать две задачи. Первая, в которой мы будем исследовать напряженное состояние внутри упругого шара под действием нагрузок (либо перемещений), распределенных на поверхности == называется внутренней задачей о шаре. Вторая, внешняя задача о шаре относится к неограниченному упругому пространству с шаровой полостью радиуса R = / о. В этой задаче изучается напряженное состояние в точках R, ф, О), / >/ о, вызванное действием нагрузок и перемещений, приложенных к границе R = Ro. Ограничимся рассмотрением осесимметричной деформации тела относительно оси г. Вектор перемещения и характеризуется двумя отличными от нуля составляющими и = ( л, О, г), а величины д, г не зависят от угла ф. В сферической системе координат напряженное состояние описывается величинами оин, сГфф, ада- [c.278]

К процессам рассеяния (релеевского и комбинационного) следует также добавить процессы, при которых возбуждённые состояния кристалла выступают только как виртуальные (даже в условиях резонанса). При релеевском рассеянии процессы поглощения и излучения когерентно связаны между собой и оно является процессом упругого рассеяния фотонов в кристалле. Следующее из теории возмущений участие в рассеянии промежуточных (виртуальных) возбуждённых состояний кристалла не отражает реальный процесс перехода в возбуждённое состояние. Действительно, согласно теории возмущений волновая функция кристалла, взаимодействующего с фотоном, представляется в виде суперпозиции волновых функций возбуждённых состояний невозмущённого гамильтониана. Однако эту же функцию можно разложить и по любой другой полной ортонормированной системе функций, определённых в том же пространстве независимых [c.19]

Начнем со случая, когда упругое пространство имеет одну внутреннюю полость. Пусть компоненты пространственного состояния эаданы в цилиндрических координатах г, г, 6, Перейдем к прямоугольной системе координат [c.27]

Последнее из этих уравнений означает, что тензор напряжений Коши /юлжен быть объективным. Как далее будет видно, это накладывает ограничения на его функциональную зависимость. Легко показать, что требование форминвариантности по отношению к сдвигу в пространстве, зависящему от времени и представленному функцией ( ), и сдвигу во времени, описываемому а, приводит к тому, что определяющие уравнения не зависят явным образом от координат события (х, t). Это будет справедливо для всех определяющих уравнений, которые нам встретятся в дальнейшем. Физически принцип объективности означает если два наблюдателя рассматривают одно и то же перемещение материального тела, то они регистрируют один и тот же отклик на него, т. е. одинаковое напряженное состояние . Хотя этот принцип бессознательно используется в повседневной жизни, он несет в себе глубокое операционное значение (подумайте об определении коэффициента упругости пружины в двух системах отсчета, вращающихся относительно друг друга с переменной угловой скоростью внутренние силы в пружине зависят только от деформации пружины относительно самой себя и не зависят от параметров вращения). [c.107]

Далее будут получены граничные условия в областях проскальзывания и сцепления, которые образуются при качении. В нашей системе координат будем считать, что качение происходит относительно оси у таким образом, что при отсутствии деформации и проскальзывания элементы поверхностей контактирующих тел протекают через область контакта параллельно оси X с общей скоростью V, называемой скоростью качения. Кроме того, тела могут иметь угловые скорости сог и согг из-за верчения. Добавление тангенциальных напряжений и появляющихся упругих деформаций приводит к появлению скоростей проскальзывания б 1 и бУг, каждая из которых имеет проекции на оси л и у и является малой по сравнению со скоростью качения V. Это — эйлерова точка зрения на сплошную среду, ири которой материал движется, в то время как поле деформаций неподвижно в пространстве. На скорость материального элемента также влияет распределение деформаций в рассматриваемой окрестности. Если обозначить компоненты упругого касательного перемещения точки поверхности (х, у) через йх х,у ) и йу(х,у,Ц, то к скорости в недеформированном состоянии добавятся компоненты [c.279]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...