Элементарный делитель матрицы

Очевидно, что элементарные делители матрицы J — [c.137]

Из равенства (5.50) и сформулированной теоремы линейной алгебры (см. (5.41)) следует, что элементарные делители матриц А — ХЕ и В — ХЕ имеют одинаковые делители. Пользуясь этим свойством преобразованной системы (5.49), можно задавать не линейное преобразование (5.47), а матрицу В, выбрав ее из условия равенства элементарных делителей характеристических матриц А — [c.143]

Отметим, что для перехода к каноническим переменным формула преобразования (5.47) не нужна — нужно знать только элементарные делители матрицы А — Дифференциальные уравнения в. канонических переменных разобьются на т независимых друг от друга групп, каждая из которых соответствует своему элементарному делителю или своей клетке Жордана Выпишем одну первую группу (остальные имеют аналогичную структуру) [c.144]

Если среди мультипликаторов имеются кратные, то структура решений зависит от свойств элементарных делителей матрицы R рЕ. При простых элементарных делителях решения, соответствующие кратному корню, по-прежнему имеют вид (14), причем каждому мультипликатору кратности г отвечает г решений типа (14) с независимыми периодическими функциями Xf (О- Если же кратному корню соответствует блок нормальной формы Жордана размерностью г, то решение имеет вид [c.119]

Поскольку квадратичная форма Т — положительно определена, все элементарные делители матрицы Д (X) являются линейными и, следовательно, уравнения (1.11) имеют п нетривиальных решений k = 1, 2..... n), каждому [c.251]

Элементарный делитель матрицы 462, 463 [c.496]

Двучлены (к — к ) ходящие множителями в Е к) и отличные от постоянного числа (т. е. при 0), называются элементарными делителями Х-матрицы. Общее их число будем обозначать через т, а сами делители через ( , klY ,. . ., к — кт) причем среди чисел ki могут быть и равные (биномы (к — Я ) могут входить в разные инвариантные множители Ej ). [c.134]

Элементарные делители для рассматриваемой матрицы будут Я-1- 1, К, (Х+ 1)2 [c.135]

Из этого следует, что матрица Ji — ХЕ имеет только один элементарный делитель, ранный X — Я ) . [c.137]

ХЕ совпадают с элементарными делителями характеристической матрицы. Заметим также, что корни характеристического уравнения Л — = О совпадают о корнями элементарных делителей. [c.137]

Для того чтобы привести эту матрицу к нормальной форме Жордана, нужно прежде всего найти элементарные делители характеристической матрицы (5.34) [c.138]

Перейдем теперь к исследованию элементарных делителей характеристической матрицы (см. 5.3) [c.185]

Если все собственные значения матрицы Л различны или если они не все различны, но элементарные делители все простые, то матрица JT является диагональной и уравнения в вариациях могут быть представлены в форме [c.462]

Таким образом, если матрицу А удается представить в диагональной форме (т. е. если эта матрица имеет простые элементарные делители), то решение системы (23.3.1) имеет вид [c.464]

Если Ж есть матрица монодромии для фундаментальной матрицы, то матрица Ж будет матрицей монодромии для другой фундаментальной матрицы тогда и только тогда, когда имеет вид С МС. Поэтому все матрицы монодромии имеют одни и те же собственные значения и элементарные делители, и все они приводятся к одной и той же нормальной форме Жордана. Собственные значения [Xi, Ца, -. Н т называют множителями. Ни один из множителей не обращается в нуль, поскольку [c.465]

Метод вращений или метод Якоби. Вещественная симметричная матрица G всегда имеет линейные элементарные делители. Отыскание собственных значений и собственных векторов такой матрицы равносильно построению такой ортогональной матрицы и, для которой [c.80]

Заметим, что такое приведение возможно и в случае равных частот со, > О, но при этом элементарные делители определяющей матрицы линейной системы должны быть простыми. [c.221]

В случае простых элементарных делителей нормальная форма Яг задается соотношением (173), а нормализующая матрица N определяется формулой (172), где ю, == Юг = (о, причем в качестве векторов at = Ri + iSi, а — R2 + iSi в матрице (172) можно взять любые два линейно независимых столбца комплексной матрицы [c.231]

В случае резонанса второго порядка ki + k O с простыми элементарными делителями определяющей матрицы линеаризованной системы нормальная форма имеет вид (205), причем [c.237]

Вопрос об устойчивости линейной системы (7) решается непосредственно на основе изучения характеристических чисел этой системы (а иногда еш,е и структуры элементарных делителей фундаментальной интегральной матрицы решений системы). Но, как видно, и для нелинейной системы вопрос об устойчивости получает полное решение, если все характеристические числа % отрицательные (а система первого приближения правильная или неправильная, но обладает дополнительными свойствами) или если есть хотя бы одно ки > 0. Мы видим, таким образом, что первый метод позволяет не только решать задачу об устойчивости нулевого решения (безусловной или условной), но и получать уравнения интегральных кривых. Вместе с тем, пользуясь этим представлением решений, можно получить различные дополнительные сведения о поведении решений рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Выделяя главную часть этих представлений, можно получить решение с необходимой точностью в виде элементарных функций. При этом мы увидим различное влияние на происходящий процесс параметров, входящих в правую часть рассматриваемых дифференциальных уравнений. Например, если имеет место асимптотическая устойчивость, то можно видеть, как эти параметры влияют на скорость приближения точки ( 1 ( ),. . Хп ( )) к началу координат при - оо. [c.71]

Пусть Г — постоянная матрица монодромии для некоторой фундаментальной матрицы системы (li). Тогда какая-либо другая постоянная матрица монодромии для некоторой другой фундаментальной матрицы системы (li) представляется обязательно в виде СГС (С —некоторая постоянная неособенная матрица), т. е. имеет те же самые характеристические числа и те же элементарные делители (инвариантные множители), что и матрица Г. Эти характеристические числа (с соответствующими кратностями) и элементарные делители называются инвариантами группы монодромии для системы (li), причем эта группа определяется согласно (7) в зависимости от фиксированного периода т матрицы A t) (см. (5)). [c.129]

Предположим, в частности, что матрица H(i) в (13i) удовлетворяет условию H(i -f т) = H(i) при фиксированном t ф 0. В соответствии с (6) и с последним замечанием в 150 матрица монодромии Гд является полностью канонической. Так как характеристические числа этой матрицы (т. е. 2п мультипликаторов Si,. .., S2n) и ее элементарные делители являются инвариантами группы монодромии (см. 141 — 142), то из 60 следует, что если S — мультипликатор, вещественный или комплексный, то S — также мультипликатор, соответствующий (если 1) элементарным делителям той же степени, что и s (и имеющий, в частности, ту же кратность). Учитывая изложенное в 143, можно сказать, что если система (13i) имеет характеристический показатель, равный X, то она также имеет характеристический показатель, равный —к. При этом, если X не равно целой кратности 2т/х или яг/т, то —Я имеет ту же самую кратность и соответствует вековым членам той же степени, что и X. Кроме того, кратность мультипликатора s = — 1 (т. е. характеристического показателя X = яг/т), а следовательно, и мультипликатора s = -f-1 X = 2яг/т) всегда четная. Это вытекает из того, что произведение всех 2п мультипликаторов совпадает с определителем полностью канонической матрицы Ги и в силу (12) 32 равно -f 1. [c.134]

В предыдущей главе содержится доказательство подобного утверждения для случая замкнутой геодезической, которое легко переносится и на случай резонатора. Поэтому мы ограничимся лишь некоторыми пояснениями. Если среди элементарных делителей Ей есть кратные, то матрица Eh преобразованием подобия приводится к форме Жордана, условие Лй(и) аМ а [c.275]

Как мы видели, характер частных решений определяется структурой Я-матрицы. Структура Я-матрицы в свою очередь определяется так называемыми элементарными делителями, введенными Вейерштрассом [6]. Характеристический определитель представляет собой полином степени I от К (или степени 21 от х). Полином степени I можно представить в виде произведения линейных множителей (Я —Я ), где Я есть корень характеристического уравнения. Обозначим через показатель наивысшей степени (Я —Я ), которая является множителем всех определителей [c.462]

Теорема 1. Если матрица А неособенная, то элементарные делители матриц А %.Е и ЛЛЛ — кЕ одинаковы. Обратно, если элементарные делители матриц А — %Е и В — КЕ одинаковы, то всегда найдется такая неособенная M/impwfa Л, что [c.141]

В том случае, когда О имеет кратные собственные значения и им отвечают кратные элементарные делители, матрица С приводима к нормальной жордановой форме. Элементы матрицы ехр(0() содержат квазимногочлены от / с показателями Х . При этом решения системы [c.463]

Обозначим через вещественные, а через iqj комплексные собстве1П1ые числа матрицы А, через k[ и kj обозначим кратности отвечающих им элементарных делителей матрицы А. Если г и — число элементарных делителей, отвечающих вещественным и комплексным корням, то [c.54]

Заметим, что элементарными преобразоианиями часто пользуются для определения элементарных делителей. Рассмотрим матрицу порядка следующего вида [c.136]

Каждому корню Х (А = 1,. . ., т) элементарного делителя соответствует своя клетка Жордана / . Нормальной формой Жордана для данной матрицы А называется матрица, диагональные элементы которой равны клеткам Жордана, а все пртне элементы нулю [c.137]

Следовательно, матрица Л — ХЕ в утом случае имеет только два элементарных делителя [c.140]

Обратим внимание на следующие обстоятельства характеристические ]гравнения в обоих примерах имеют одинаковые корни X, = Я.2 = О, Xj = = — 1. Однако нормальные формы Жордана разные. Это объясняется тем, что в первом примере характеристическая матрица имеет три элементарных делителя, а во втором примере — только два. [c.140]

В примере 1 5.3 было установлено, что характеристическое уравнение det (Л — Е) = О этой матрицы имеет два нулевых корня и два корня, равных —1. Последний корень кратный как относительно характеристического уравнения, так и относительно элементарного делителя, но он не может испортить устойчивость (так как он вещественный отрицательный). Что касается нулевого корня, то хотя он второй кратности для характеристического уравнения, но простой для элементарных делителей. Следовательно, не-воамущенное движение устойчиво относительно переменных xi, [c.148]

Однако иногда исследование устойчивости для случая пг > 2 приводит к результатам, отличным от случая т = 2. Предполоншм, что матрицу А нельзя диагонализовать (это имеет место тогда, когда среди собственных значений есть кратные и элементарные делители не являются простыми) при этом система может оказаться неустойчивой, если среди кратных собственных значений будет хотя бы одно чисто мнимое, даже если все остальные собственные значения имеют отрицательные или нулевые вещественные части. Действительно, при этих условиях в формулах для х могут появиться члены os pi и sin рг. Формальное доказательство мы отложим до 23.3, а здесь ограничимся рассмотрением простого примера. [c.420]

Наиболее труден для исследования случай устойчивости по Ляпунову при кратных показателях с нулевыми действительными частями. Техника установления структуры элементарных делителей связана с приведением матриц к нормальной форме Ж ордана и излагается в руководствах по линейной алгебре. Здесь ограничимся указанием на то, что неустойчивость при кратных чисто мнимых показателях iiwyj. с непростыми элементарными делителями связана с наличием у уравнения (1) частных решений вида Р (I) sin o/,/, Q(t) osoii,t, где P(t) и Q t) — полиномы, степень которых не больше, чем степень кратности показателя минус единица. Если матрицы А, В и С симметричные, то все кратные чисто мнимые характеристические показатели имеют простые элементарные делители. [c.95]

Если собственные значения 2. матрицы О попарно различны или если кратным собственным значениям отвечают простые элементарные делители, то матрица С подобна диагональной матрице с собственными значениями на диагонали. Поэтому элементы матрицы ехр(0/ ) представляют собой линейные комбинагщи членов [c.463]

Рассмотрим случай нулевой частоты (0)2 = О, (Oi>0), когда определяющая матрица А — oEi имеет непростые элементарные делители (rang Яг = 3). Здесь. нормальной формой в вещественных переменных называется выражение [182] [c.232]

Теорема Вейерщтрасса. Матрица определителя А (л имеет простые элементарные делители. [c.562]

Предположим, что система х = / (ж) имеет равновесное решение a (i) = а °, и пусть. 4 — постоянная тга-матрица, представляющая собой якобиеву матрицу тп-вектора /(а ), вычисленную при X = а . Тогда уравнения Якоби имеют вид (см. 89) = А . Следовательно, можно ожидать, что точка равновесия х° устойчива в указанном в 131 смысле тогда, когда характеристические показатели для решений уравнений Якоби устойчивы (см. 89), а матрица А не имеет кратных элементарных делителей. Действительно, эти два условия, налагаемые на матрицу А, являются, очевидно, необходимыми и достаточными для ограниченности любого решения = (i), — оо < i < + оо, системы = = А1. [c.125]

Поскольку мультипликаторы могут быть определены как характеристические числа матрицы (6), вещественной в силу (2i) —(2а), то очевидно, что комплексные мультипликаторы встречаются лишь парами (сопряженными). Такое же замечание относится и к элементарным делителям, соответствуюгцим комплексным мультипликаторам. [c.129]

Поскольку Г.у можно заменить любой матрицей вида (7), то можно предположить, что фундаментальная матрица X t) системы (II) выбрана так, что соответствующая матрица монодромии Гх имеет нормальную жорданову форму. Тогда диагональные элементы матрицы Гх равны мультипликаторам Я],. .., я ,, а элементы, располагающиеся по линии, параллельной диагонали и граничащей с нею сверху, равны О или 1 (возможно, только О или только 1) все же остальные элементы равны нулю. Пусть я — один из мультипликаторов Я , и пусть его кратность равна/( 1). Тогда можно предположить, что первые I диагональных элементов матрицы Гх равны я. Пусть я принадлежит при этом различным элементарным делителям с кратностями Ль. .., ка соответственно, так что 4-. .. ка = I, причем 1, 1 и любое Л 1. Предположим, что первая клетка рассматриваемой матрицы Гх (имеющей жорданову форму) соответствует кратности Тогда, если обозначить через ..., т(0 т-векторы, состав- [c.130]

Предположим, наконец, что данное решение х = x(t) есть равновесное решение, так что в (13i) —(13г) H(i) = onst. Тогда характеристические показатели определяются в соответствии с 145 единственным образом как характеристические числа матрицы А = —Ш (мультипликаторы s тогда не определяются). Можно утверждать, что результаты, изложенные в 151 по отношению к характеристическим показателям, остаются справедливыми. Действительно, для этого достаточно показать, что матрицы —А и А или (что означает то же.самое) матрицы А и Л имеют те же самые элементарные делители, т. е. что —А = = Т А Т при соответствующим образом выбранной Т. Однако А = —Ш, так что в силу (13г) можно положить Т = 1. [c.135]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...