Разложение функций — Случаи специальные

Разложение функций — Случаи специальные 307 [c.583]

В разложении потока нейтронов в ряд по сферическим гармоникам число членов ограничивается в предположении, что для Рл (-приближения йфм х)1йх = 0. Такое или эквивалентное ему (см. разд. 2.4.2) ограничение требуется для того, чтобы иметь число неизвестных функций , равное числу связывающих их уравнений, т. е. уравнений (2.59). Но для системы уравнений (5.5) нельзя просто положить йф х)/йх = О, так как ф д можно вычислить на основании Ф(дг, Хг) с помощью уравнения (5.4) и, следовательно, определить которое, вообще говоря, отлично от нуля. Однако в случае специального выбо- [c.171]

Система уравнений (11.25) является системой условной в том смысле, в каком мы использовали этот термин применительно к системам уравнений (11.10), (11.13) для первого примера и аналогичным системам для второго примера, т. е. введенные в этой системе промежуточные координаты и используемые звенья не соответствуют в общем случае промежуточным координатам и звеньям конкретных систем, для которых передаточная функция имеет вид (II.4). Для того чтобы сделать различие между специально конструируемыми системами уравнений, которые используются в задаче приближенного разложения процесса на отдельные составляющие и аналогичны системе (11.25), и системами типа (11.10), будем первые называть замещающими системами уравнений. [c.67]

Различают нелинейности существенные и несущественные. Для анализа существенно нелинейных систем применяют специальные методы (методы теории нелинейных систем автоматического управления). В случае несущественных нелинейностей (которые описываются гладкими, дифференцируемыми функциями) допускается линеаризация уравнений, описывающих динамическую систему. Линеаризация производится разложением нелинейной функции в некоторой области в ряд Тэйлора (4), от которого используется лишь два члена разложения [c.66]

Ясно, что для того, чтобы ввести более сложные граничные условия, нужно либо сделать специальные предположения относительно собственных функций либо взять разложение, более общее, чем (4.4). В первом случае можно допустить, что имеет форму [c.112]

Определив вид F z) при помощи рядов Фурье методом, описанным выше, можно либо получить вид h n) путем вычисления значения интеграла в уравнении (78) при изменении л от - -со до —оо, либо по- строить кривую h(n) методом разложения F z) в ряд Фурье. В последнем случае коэффициенты разложения и представляют собой значения h n) для различных п. Специальный анализ функции h n) показывает, что из нее можно получить значение среднего размера частиц D, [c.738]

Асимптотические разложения специального вида, позволяющие построить собственные функции и вычислить собственные значения в задаче устойчивости пограничного слоя при больших числах Рейнольдса, дают возможность в качестве следствия не только определить поведение нейтральных кривых, но и уточнить характер изменения инкремента нарастания возмущений в наиболее интересных областях, заключенных между упомянутыми кривыми. Более того, применением асимптотических подходов, где малыми параметрами служат отрицательные степени числа Рейнольдса, удается найти аналитическое выражение для дисперсионного соотношения, полезное для качественного, а в ряде случаев и количественного (как показывает сравнение с экспериментом) анализа линейных возмущений в пограничном слое. [c.112]

Вообще говоря, следует ожидать, что разложение (7.56) с подходящими fn (8) будет описывать поведение в некоторой довольно широкой области за волновым фронтом. Однако точный вид этих специальных функций / (5) можно найти только из более полных решений они не определяются подстановкой (7.56) в уравнение. Но определение 5 и Фо из (7.60) и (7.61) все же дает ценную информацию. В типичных случаях это разложение описывает поведение на больших расстояниях, т. е. когда с5/ х мало. В первом приближении /о (<5) описывает профиль волны, а Фо (х) — затухание амплитуды при х- оо. [c.233]

С помощью специальных диаграмм а и б по заданным двум параметрам из трех (в — максимальная погрешность приближения, п — порядок разложения передаточной функции или число интегрирующих блоков, к=и)Тг — относительная частота запаздывания) определяют значение третьего. Обычно задают значение погрешности приближения е и характер возмущающего воздействия, т. е. относительную частоту запаздывания к = юТз. В этом случае минимизируют порядок разложения передаточной функции в ряд (число интеграторов в структурной схеме моделирования). [c.115]

Наиболее последовательное использование представления о том, что среднее значение f и пульсация f функции I отличаются в первую очередь характерными периодами (или длинами волн) состоит в определении среднего значения f как части разложения функции f в интеграл Фурье. отвечаю-щей интегрированию по области значений соответствующей переменной (частоты или волнового числа), меньших по абсолютной величине некоторого фиксированного числа ро. Легко понять, что в этом случае условия (3.3), (3.4), (3.5) и (3.6) будут выполняться ) будут выполняться также и первые два из условий (3.7 ), следующизс из (3.7). Однако общее условие (3.7) здесь, вообще говоря, не будет иметь места для его выполнения необходимо наложить на рассматриваемые функции и д некоторые весьма специальные условия, несовместимые с предположением о том, что их преобразования Фурье всюду отличны от нуля (см. по этому поводу подробное исследование Изаксона (1929), а также заметку Кампе де Ферье (1951). [c.165]

Более полное перечисление важнейших частных приливов и значения коэфициентов Н Н", Н " в различных случаях можно найти в уже цитированных исследованиях Дарвина. При гармоническом анализе наблюдений приливов, который составляет специальную тему рассматриваемых исследований, применяется только одна теорема динамической теории, именно общая теорема, что высота прилива в произвольном месте равна сумме ряда простых гармонических функций от времени, которые имеют такие же периоды, как различные члены в разложении возмущающего потенциала, так что эти периоды известны а priori. Амплитуды и фазы различных частных приливов для определенной гавани получаются тогда из сравнения наблюдений приливов за довольно длинный промежуток времени ). Так получают вполне пригодное для практических целей выражение, которое применяется к систематическому предсказанию приливов в соответствующей гавани. [c.453]

Настоящий параграф будет посвящен важному вопросу о приложении к случайным процессам и полям методов гармонического анализа, т. е. о разложениях Фурье таких случайных функций. Известно, что представление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье очень широко (и с большой пользой) используется во многих задачах математической физики. При этом, однако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда Фурье возможно лишь для периодических функций, а в виде интеграла Фурье — лишь для функций, достаточно быстро убывающих на бесконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и непериодические незатухающие на бесконечности функции, которые, строго говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье. Отметим, что в физической литературе, тем не менее, и для таких функций довольно часто формально выписываются Фурье-представления, использование которых во многих случаях явно приводит к правильным результатам, несмотря на их очевидную математическую нестрогость. Объяснением этого факта может служить то обстоятельство, что в приложениях непериодические и незатухающие на бесконечности нерегулярные функции одной или нескольких переменных очень часто естественно считать реализациями некоторого стационарного случайного процесса или однородного случайного поля (для которых, очевидно, не может быть никакого затухания на бесконечности), а для этих типов случайных функций на самом деле всегда возможно разложение Фурье (иначе — спектральное разложение) специального вида, имеющее простой физический смысл. [c.207]

С помош,ью метода смешанных краевых задач С. Н. Нумеров решил и исследовал ряд практически интересных задач о фильтрации в плотинах, притоке к дренажу, фильтрации из каналов и водохранилищ. При этом Нумеров искусно пользовался разложениями специальных функций в ряды, что позволило ему в большинстве случаев представить решения в широком диапазоне изменения параметров в удобном для расчетов виде. [c.610]

Асимптотические выражения, рассмотренные выше, становятся сингулярными, когда Л" (5, ) = О или стационарная точка подходит близко к граничной. Для того чтобы избавиться от этих сингулярностей и получить асимптотически правильное представление дифракционного интеграла, мы можем заменить его сравнительным интегралом, который в асимптотическом представлении, приведенном в предыдущем разделе, имеет те же самые сингулярности. Этот интеграл обычно выбирают из класса известных специальных функций, таких, как комплексный интеграл Френеля функция Эйри Ai(л ) или функция параболического цилиндра В окрестности тех значений параметров, для которых обычное разложение расходится, дифракционный интеграл нужно представить в виде произведения сравнительного интеграла на асимптотический ряд, который принимает конечное значение при выполнении условия сингулярности. В большинстве случаев точное вычисление суммы ряда не требуется, так как сравнительный интеграл с достаточной степенью точности равен искомому полю, что, однако, верно лишь до тех пор, пока мы находимся достаточно далеко от критических областей, так что обычные разложения справедливы. Иными словами, выражение, полученное с помощью сравнительных интегралов, постепенно и непрерывно переходит в ряд Лунеберга — Клейна. Поэтому представление, основанное на сравнительных интегралах, называют однородным, а соответствующий подход — однородной асимптотической теорией, В следующих разделах мы рассмотрим наиболее интересные частные случаи. [c.353]

В специальных случаях форма разложения (9) может быть З нрощена. Из (1) непосредственно обнаруживаем, что г является периодической функцией Нц которая не зависит от и Яз. Далее, ф является периодической функцией от щ и Я. , не зависящей от Яз. Очевидно, что это имеет место и для 0 — Яз. [c.169]

Условия ка поверхности раздела. На поверхностях между различными областями в реакторах сечения претерпевают разрывы. Однако коэффициенты разложения являются непрерывными функциями при переходе из одной области в другую. В разд. 1.1.4 показано, чтоФ (г + s , U,E,t- - s v) — непрерывная функция S. В рассматриваемом случае стационарной односкоростной задачи в плоской геометрии это означает, что Ф (д + S x, х) должна быть непрерывной функцией S. Отсюда следует, что, за исключением случая .i = О, Ф (х, ц) является непрерывной функцией х. (Специальный случай х = О рассматривается в разд. 3.5.1.) Так как для любого х Ф О поток нейтронов Ф — непрерывная функция X, то и интегралы от Ф по .i, т. е. ф (х), также непрерывны. Следовательно, коэффициенты разложения являются непрерывными функциями х. [c.105]

Прежде всего интервал изменения угловых переменных строго фиксирован и угловая зависимость нейтронного потока внутри этого интервала в зн ачитель ной мере одинакова в различных задачах. Зависимость же потока от энергии и пространственной переменной совершенно различна, например, в небольшом реакторе на быстрых нейтронах и большом реакторе на тепловых. Тем не менее для ограниченного числа типов реакторов можно аппроксимировать энергетическую зависимость потока несколькими, возможно одним или двумя, членами разложения [4]. Кроме того, для систем с большими (в единицах средней длины свободного пробега) простыми зонами, таких, как голый гомогенный реактор, пространственное распределение нейтронов можно также аппроксимировать одной или двумя гармониками. Именно для таких систем пригодна асимптотическая теория реакторов. Хотя разложение нейтронного потока по простым энергетическим или пространственным функциям может оказаться приемлемым для некоторых специальных случаев, однако этот метод неприменим для изучения большого числа систем, для которых решение можно получить многогрупповым методом сферических гармоник. [c.135]

В заключение подчеркнем еще раз, что возможность разложения произвольного решения системы (2.7) в ряд по специальным решениям вида (2.8) будет иметь место часто/но все же не всегда—это обстоятельство часто забывается при рассмотрении задач гидродинамической теории устойчивости. В частности, более сложная ситуация возникает, если система (2.7) оказывается сингулярной (т. е., например, если какой-тО коэффициент при старшей производной у этой системы где-то обращается в нуль). В таком случае полнота системы собственных функций не может быть просто доказана, и даже само понятие собственной функции должно определяться с осторожностью. Дело в том, что здесь часто и при фиксированном масштабе возмущения возникает непрерывный спектр собственных значений, которому отвечают собственные функции, удовлетворяющие более сложным, чем обычно, граничным условиям или имеющие более сложную структуру (например, не убывающие на бесконечйости или имеющие разрывы производных в особой точке). В приложениях такие более сложные собственные функции часто просто упускаются из виду, в результате чего система элементарных решений вида (2.8) оказывается заведомо неполной (ср. Кэйз (1962), Линь (1961), Линь и Бенни [c.102]

Это представление стационарных случайных процессов и однородных случайных полей в виде суперпозиции гармонических колебаний или плоских волн является простейшим частным случаем возможного при весьма широких условиях представления случайной функции в виде суперпозиции компонент фиксированного фуикциоиального вида со случайными взаимно, некоррелированными коэффициентами (см., например, Яглом (1962, 1063). Ламли (1967)). Для случайных функций, определенных на Конечном интервале или в конечной пространственной области, такое обобщенное спектральное представление имеет вид разложения по специальной счетной системе ортогональных функций для функций в неограниченных областях оно записывается в виде интегрального разложения по континуальной системе функций, совпадающей с системой одномерных или многомерных гармоник лишь в случае стационарных процессов и однородных полей. [c.8]

Метод эталонных задач позволяет сделать следующий шаг и получить не только главный член асимптотики, но и все последующие. В главе 10 основное внимание уделяется построению асимптотических разложений для функции Грина в пограничном слое, примыкающем к отражающей поверхности 5. На поверхности 5 может быть поставлено любое из краевых условий (3) —(5), при этом без каких-либо специальных предположений относительно ц М) в случае смешанного краевого условия. Наиболее подробно рассматривается случай условия Дирихле. Построенные в главе 10 разложения представляют собою достаточно простые формальные ряды по дробным степеням волнового числа к. Однако за пределами пограничного слоя эти разложения в исходной форме неприменимы. Для получе- Ния формул, пригодных за пределами пограничного слоя, требуется выполнить переход от координат пограничного слоя к так называемым эвольвентным координатам. На этом пути получены и выписаны асимптотические формулы, справедливые с погрешностью 0(й"2/з) дд любом расстоянии от границы препятствия. [c.17]

В одиннадцатой главе асимптотика собственных функций типа шепчущей галереи применяется в задаче о волновом поле источника, расположенном на вогнутой поверхности тела. В этой задаче мы сталкиваемся с эффектом шепчущей галереи и существованием поверхностной волны интерференционного типа. В случае поверхностного источника в любой сколь угодно малой окрестности границы тела расположено бесконечное число каустик. Это огибающие многократно отраженных от границы лучей. Задачи об асимптотике волновых полей в случае неизолированных особенностей поля лучей до последнего времени почти не рассматривались. Метод нормальных волн (разложение волнового поля в ряд по некоторым специальным решениям волнового уравнения), который обычно используется в задачах такого рода, обладает наряду с несомненными достоинствами и следующим недостатком представление волнового поля суммою нормальных волн не [c.17]

Аналогичное соотношение между неравномерными и равномерными разложениями возникает и при описании полей в других переходных областях в окрестностях фокальной линии и границ рвет—тень (в зоне полутени). В этих случаях равномерные асимптотики выражаются через другие специальные функции, а не через функции Эйри. [c.63]

Возможность разложения (3.2.2) в рассматриваемой задаче в отличие от случая идеальной проводимости неочевидна и требует специального обоснования. Для несамосопряженного оператора, отвечающего однородной задаче о волноводе с комплексным импедансом стенок в общем случае (см., например, [1]), имеет место полнота семейства корневых функций, содержащего кроме собственных также и присоединенные функции. Условия их существования определяются значениями приведенного импеданса т) в главе 1 сформулированы довольно общие достаточные условия для TJ, гарантирующие отсутствие присоединенных волн. В дальнейшем мы будем считать эти условия выполненными, так что использование разложения (3.2.2) законно. [c.122]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...