Асимптотика равномерная

Общепринятый способ конструирования крыла, состоящий в подборе подходящего решения прямой задачи, недостаточно точен для отыскания прецизионных докритических профилей. Из-за невозможности проводить вычисления в бесконечной области граничные условия переносят на конечное расстояние. Для функции тока там выставляют значения, определяемые асимптотикой на бесконечности. Это приводит к погрешности порядка (1/В, где с/ — хорда профиля, В — диаметр расчетной области. Если задача решается относительно вектора скорости, приходится видоизменять граничные условия из теоремы Коши-Ковалевской следует, что в дозвуковом потоке идеального газа нельзя задавать постоянный вектор скорости на границе конечной области, так как в этом случае единственным решением во всей области является равномерный дозвуковой поток. Это обстоятельство затрудняет как конструирование, так и вычислительную проверку докритических контуров. [c.164]

Для поверхностей высшего рода роль плоской метрики, как метрики для сравнения в случае тора, играет метрика постоянной отрицательной кривизны. Такие метрики рассматривались в 5.4. Позднее мы покажем, что для любой такой метрики число замкнутых геодезических (которые в этом случае минимальны) растет экспоненциально с очень точной асимптотикой (см. теорему 18.5.7 и теорему 20.6.9 [ ]). Универсальное накрытие может рассматриваться как диск Пуанкаре преобразования накрытия суть дроб -линейные преобразования. Метрика на М поднимается до метрики на М, инвариантной относительно преобразований накрытия. Поскольку многообразие М компактно, такая метрика определяется своим ограничением на компактную фундаментальную область. Так как преобразования накрытия сохраняют и метрику Пуанкаре, и данную метрику, они равномерно эквивалентны, так что отношение индуцированных расстояний ограничено константами С и 1/С. Это означает, что количество N(T) минимальных геодезических, длина которых не превосходит Т, удовлетворяет неравенству N T) Ng T/ ), где % — соответствующее число для метрики постоянной кривизны. Поэтому JV(T) ограничено снизу некоторой экспонентой. [c.384]

Опять, как и в (12,12), асимптотика в (12.26) неравномерна относительно у. Чем больше потенциал, тем большие значения к необходимо брать для того, чтобы разность между / к, г) и е " по модулю не превосходила заданную величину. Асимптотика в (12.26) равномерна по г при любых г > 0. Если потенциал удовлетворяет условию (12.10) с нижним пределом интегрирования, равным нулю, то о [р ) можно заменить на О ( 1 < - ). Следует также отметить, что (12.26) справедливо, вообще говоря, только в области 1т >0, даже когда потенциал допускает аналитическое продолжение решения / в область 1п1 й < 0. [c.317]

Исследование выражения (4.19) при > А г , когда становится возможным заменить функции Эйри их асимптотикой, показывает, что функция п(г, ф ) экспоненциально убывает на контуре С при 0< ф <п, и, следовательно, при 0<е< < ф < п — е интеграл (4.16) равномерно сходится. Исследуем быстроту убывания функции п(г, ф ) в окрестности точки = кр. Это позволит установить величину участка контура интегрирования С, существенного при интегрировании. [c.353]

В работе Д. Л ю д в и г а [2] находится равномерная асимптотика решения дифракционной задачи о падении заданной волны на гладкую выпуклую поверхность S. [c.445]

Действуя по аналогии с каустическими разложениями, рассмотрим переход от этого равномерного разложения к неравномерному, лучевому разложению. Для этого надо заменить специальную функцию — интеграл Френеля —его асимптотикой [c.91]

Равномерная по углу ф асимптотика имеет вид [c.99]

Для построения решения в форме полутеневых полей построим геометрооптическое решение, а затем заменим в нем разрывные функции интегралами Френеля и дополним эту конструкцию краевыми волнами с равномерной по углу асимптотикой. [c.103]

Рассмотрим основные особенности построения равномерно пригодного решения задачи входа тонкого ЦСТ. Внешнее (линейное) решение в окрестности любой из передних кромок представляет собой суперпозицию основного решения, порождаемого циклом, которому принадлежит выбранная передняя кромка, и содержагцего логарифмическую особенность на передней кромке, а также влияний остальных циклов, которые не привносят в обгцее решение особенностей в окрестность передней кромки. Поэтому, например, внутреннюю асимптотику внешнего решения задачи входа ЦСТ для компоненты скорости Уп. можно записать в виде [c.669]

Рассмотрим вертикальные высокочастотные гармонические колебания жесткого штампа, соединенного без трения с упругой полуплоскостью. Основная трудность построения высокочастотной асимптотики состоит в осуш ествлении эффективной факторизации символа ядра основного интегрального уравнения. Предлагается функция, учитывающая все свойства символа, позволяющая осуществить его равномерную аппроксимацию и легко факторизуемая. Такое решение проблемы приближенной факторизации позволяет в простом явном виде выписать главный член асимптотики решения. [c.278]

Часто при построении главного члена асимптотики решения при Л —) О последний интеграл в (2) можно отбросить, и уравнение (2) превращается в уравнение Винера-Хопфа на полуоси. Обычно это дает погрешность порядка ехр(- /Л) (г > 0) равномерно по х. Иногда эта погрешность носит степенной характер, т.е. является более существенной. Ниже будет показано, что в данной задаче невязка за счет отбрасывания указанного члена — малая степенного порядка. Имеет место оценка [c.279]

Результаты вычисления безра. мерной величины ка6р(ах)/Р при различных х и А приведены в таблице 1.12. Если бы контактное давление было распределено вдоль большого размера области контакта равномерно — как в случае плоской задачи, то эта величина была бы равна 0.5. Из таблицы видно, что при уменьшении отношения сторон основания штампа в точках, удаленных от границы (в частности, при = 0), эта величина стремится к 0.5, что закономерно и свидетельствует о постепенном выходе на плоскую задачу. В то же время это стремление очень медленное, ибо в асимптотике решения присутствуют логарифмические члены. [c.79]

Для сильных струй У/(2лру2) 4/Зун(1) 7 /у. Такие струи на практике турбулентны, причем комплекс Вуп )у, вычисленный по турбулентной вязкости, является постоянной величиной 460,5 [144], Если воспользоваться верхней оценкой для С], получим ехр [40(1 — у)]. Импульс уменьшается на 10% на расстоянии 27 калибров, на 20%—на расстоянии 1500 калибров, в то время как автомодельность по профилю скорости в опытах достигается уже па 20 калибрах [256]. Это и служит основным аргументом в пользу того, что в широком диапазоне масштабов допустимо квазиавтомодельное приближение и существует как бы промежуточная асимптотика. Это подтверждает прямое сопоставление теории [235] и эксперимента на рис. 28 [263]. Справа линии тока, рассчитанные для равномерного приближения Шнайдера нри Ке = i /(pv2) = 30, а слева визуализация течения в глицерине при Ке = 32,6 . Струя истекает из отверстия диаметром 1,1 мм в стенке, расположенной в верхней части рисунка. [c.95]

Если скорость достаточно велика (у > К, то могут существовать две формы установившегося течения тяжелой жидкости, обладающего нулевой асимптотикой при а ] —оо. В первом случае — это обычный равномерный поток. Во втором случае — это течение, у которого свободная поверхность имеет форму уединенной волны. Поэтому, когда речь идет о задаче обтекания вихря, то естественно думать, что наряду с тем решением, которое было изучено А. М. Тер-Крикоровым (1958) может существовать и другое решение, которое при Г О вырождается в поток, на поверхности которого существует уединенная волна. Такое решение впервые было обнаружено Н. Н. Моисеевым (1957), который изучал в приближенной постановке задачу обтекания бугра или впадины сверх-критическим потоком. Использование методов асимптотически узких полос позволило свести задачу к исследованию одного уравнения второго порядка вида [c.77]

Е. Тангенциальные особенности. Первые приложения, ради которых и была развита (около 1966 г.) теория лагранжевых и лежандровых особенностей, относились к коротковолновым асимптотикам, в том числе — асимптотикам осциллирующих интегралов. Обзор этих приложений (вплоть до нахождения равномерных оценок интегралов при слиянии точек перевала, вычисления асимптотик через многогранники Ньютона, построения смешанных структур Ходжа, применений в теории чисел и теории выпуклых многогранников, оценок индекса особой точки векторного поля и числа особых точек алгебраической поверхности) можно найти в книге Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 2 Монодромия и асимптотики интегралов.— М. Наука, 1984, и в докладе АрнольдВ.И. Особенности систем лучей. Международный конгресс математиков в Варшаве, 1983. [c.456]

В дальнейшем предполагается, что поток ft Х- Х перемешивает. Гиббсовская мера цо, отвечающая функции ф s О, называется мерой максимальной энтропии. Эта мера единственна, и динамическая система (X, f/, fio) при каждом t метрически сопряжена сдвигу Бернуллн (см. [Б4], [37], [3]). Как и в случае дискретного времени, периодические траектории потока [X,fi) равномерно распределены относительно меры Но, а топологичеекая энтропия вычисляется через асимптотику их числа. [c.234]

Пусть после подстановки 8 = 31И внутренний интеграл в (55.7) при / —> оо расходится. Тогда и частное решение задачи не является стационарным. Определение квазистационарных волн, составляющих решение, может быть при этом произведено тем же путем, что и выше. При подстановках (55.12) следует так выбрать ф (/), чтобы после вынесения за знак двойного интеграла (55.8) некоторой функции / (/), интеграл от асимптотики по-прежнему сходился абсолютно и равномерно. Перейдем к исследованию некоторых конкретных классов задач. [c.326]

Положим д = гИ, х = VI сократим на Выражение (56.4) при Ф1 = Фз = О представляет собой асимптотику (5 —> О, О, 1). Если, кроме того, с Ф то интеграл от асимптотики сходится абсолютно и равномерно. Действительно, положив Ф = Ф2 = = О, путь интегрирования по г можно распространить на всю ось г после подстановки г = 22 1, производимой при 51 > О, получаем произведение интегралов по и каждый из которых сходится абсолютно и равномерно. Отсюда при с Ф 1, с Ф [c.327]

Деформируя путь интегрирования по г на интервале (—е, в) так, чтобы при > О он проходил по дуге 2 = 8, 1ш 2 О, и учитывая возможность деформации пути при изменении 5, убеждается, что интеграл от асимптотики сходится абсолютно и равномерно, вследствие чего, полагая I = оо, находим [c.328]

Для значений д, принадлежащих особой части каустики, интеграл при Л О убывает ещё медленнее. Чем вырожденнее особенность, тем медленнее убывание. В простейших случаях интеграл мажорируется (равномерно по д в некоторой окрестности данного до) главным членом своей асимптотики в до или, по крайней мере, оценкой для [c.35]

Обозначим подынтегральную функцию интеграла (4.16) через п(/", Ф,Ч). Чтобы исследовать при ]А р1> 1 и А г > 1 поведение функции п(г, ф ) на плоскости комплексной переменной %, заменим цилиндрические функции на их равномерную асимптотику. [c.352]

И в а н о в В.И. Равномерная асимптотика волнового подя [c.121]

Теоретическое изложение гиперзвуковой аэродинамики полезно начать с обсужденил постановки задачи. Это тем более важно, что вопросы существования и единственности еще ае решены и в общей сверхзвуковой газодинамике ( I). Гиперзвуковая постановка задачи получается из общей путем асимптотического разложения при . равномерного в некоторой ограниченной области ( 2). Вид асимптотики говорит о том, что во многих случаях достаточна предельная постановка задачи. [c.10]

Геометрическая оптика, а также ее уточнение — лучевые разложения неприменимы в окрестности каустик. Погрешность приближения ГО и лучевых разложений возрастает, когда точка наблюдения стремится к каустике, а на самой каустике эти приближения обращаются в бесконечность. Поэтому лучевые разложения называются неравномерными асимптотическими разложениями. В этой главе разберем другой тип асимптотик для поля (так называемое каустическое разложение), применимый для точек наблюдения, расположенных в окрестности каустик. Погрешность этих асимптотических приближений остается ограниченной (и стремящейся к нулю при й->-оо) независимо от того, насколько близко подходим к каустике. Псгатому каустические разложения называются равномерными разложениями лучевых полей. [c.63]

Аналогичное соотношение между неравномерными и равномерными разложениями возникает и при описании полей в других переходных областях в окрестностях фокальной линии и границ рвет—тень (в зоне полутени). В этих случаях равномерные асимптотики выражаются через другие специальные функции, а не через функции Эйри. [c.63]

Рассмотрим, когда можно переходить от равномерной асимптотики (4.7) к более простой неравномерной асимптотике, т. е. определим границы зоны полутени. Очевидно, этот переход определяется значением аргумента х=М интеграла Френеля, начиная с которого, его можно заменить асимптотическим разложением [c.92]

Полутеневое поле — это решение уравнения Гельмгольца (или системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля), которое расщепляется вдали от переходной зоны на сумму сильного , геометрооптического поля о (распространяющегося лишь в освещеппой области) и слабого , краевого поля кр. Равномерная асимптотика полутеневого поля переходит соответственно вдали от переходной зоны в сумму лучевых разложений полей о и кр в освещенной области и в лучевое разложение поля Ыкр в теневой области. [c.94]

Формулы (4,19) н (4.22) выписаны для случая, когда освещается только грань клина ф = 0, т. е. при Ф>я и фо<Ф—л. Если Ф>л, Ф—л<фо<1Т, т. е. освешаются обе грани, то границы свет — тень образуются у двух отраженных волн ф=я—фо —граница свет — тень волны, отраженной от грани ф = 0 ф=2Ф—я— —фо —для волны, отраженной от гранн ф=Ф, и равномерная асимптотика имеет вид [c.99]

Мы рассмотрели окрестность значения фо=Ф—я. Анализ окрестности значения фо=я, когда два полюса функции V близки к значению ф=0, показывает, что ф-ла (4.28) справедлива и при фо, близких к я, и любых ф. Итак, вне окрестностей значений Фо=ф—л, фо=я для равномерной асимптотики надо пользоваться ф-лами (4.19) при фо<Ф—я, (4.24) при Ф—я<фо<я и (4.26) при фо>я. В окрестности этих значений следует иснользовать ф-лу (4.28). [c.101]

Приведем формулу для равномерной асимптотики диаграммы Uap краевой волны кр вблизи границы свет — тень падающей волны при дифракции на клине цилиндрической волны с диаграммой i/na (4j) [6, 3.3] [c.102]

Мы определили все функции, входящие в (4.38), кроме функции С. Чтобы пайти ее, воспользуемся методом асимптотического сшивания, т, е. потребуем, чтобы равномерная асимптотика (4.38) переходила от границ свет — тень в неравномерную асимптотику строгого решения [c.108]

Поясним некоторые качественные особенности выписанных формул для неравномерной и равномерной асимптотик. Заметим прежде всего, что первый член неравномерного асимптотического разложения краевой волны удовлетворяет постулатам ГТД, сформулированным Келлером он тот же, что при дифракции [c.109]

Обратим внимание, что в ф-лы (4.39), и (4.40) для краевой волны входят кривизны обеих граней, в том числе и затененной. Отсюда следует, что расчет поля краевой волны по кирхгофовским (равномерным токам в терминологии книги [61]) или краевым токам (суммой кирхгофовских токов и добавки — разности между точным решением и кирхгофовскими токами для касательного клина, т. е. неравномерных токов в терминологии [61]) дает заведомо неверный второй член асимптотики, ибо эти токи не зависят от кривизны затененной грани. [c.110]

Перейдем от геометрии лучей к суммарному полю. Его равномерную асимптотику по-прежнему можно записать в виде [c.114]

Перейдем к рассмотрению равномерной асимптотикп. Так же как и для скалярного поля, она имеет форму (4.46), но медленно меняющиеся функции А, С здесь уже не скаляры, а векторы Е 11ЛН Н. Поскольку векторы А и В (падающее и отраженное поля) известны, то определить надо лишь векторную функцию С. Она определяется обычным приемомасимптотической сшивкой с выписанной выше неравномерной асимптотикой. Обратим внимание па то, что вектор С (так же как и компоненты краевой волпы, выделенные из А и В) не является поперечным к лучу. Поперечным полем (в первом приближении) является лишь сумма этих компонент. [c.115]

Формула (4.54) неприменима в окрестности направления 6 = 0 (при / sin9<2 ,3), которая, как было замечено выше, является наложением переходных зон двух различных типов — окрестности фокальной линии и границы свет — тень. Чтобы найти равномерную асимптотику диаграммы 0), используем то обстоятельство, что асимптотика краевой волны, вычисленная в приближении Кирхгофа, имеет правильные вычеты полюсов на границе свет-— тень (см, гл. 5), Поэтому точная асимптотика может быть представлена в виде суммы асимптотики в приближении Кирхгофа [c.120]

Формулы для равномерной асимптотики диаграмм эталонных волн приведены в 111, 116] и имеют вид (4.33), т. е. суммы двух слагаемых произведения диаграммы направленности падающей волны на интеграл Френеля и регулярной поправки. [c.123]

Рассмотренные ранее равномерные асимптотики (каустические, полутеневые) можно трактовать как формализацию соответствующих им ситуаций в ПК, поскольку эти асимптотики выражаются через специальные функции, определенные посредством интегралов, аналогичных интегралам, возникающий в ПК- Примеры такой формализации для переходных зон более сложного типа [98, 99, 105 . [c.145]

Выражения для неравномерных асимптотик диаграмм краевых волн делаются весьма громоздкими и имеют сложную систему полюсов, обусловленную неравномерностью распределения амплитуды по фронту отраженной волны. Главные (по А ) слагаемые этих асимптотик в суммарной диаграмме излучения не компенсируют друг друга, как это было при равномерном распределении амплитуды по фронту (см. 4.4), так как они зависят от локальных особенностей распределения амплитуды у краев (значений амплитуды, ее производной и т, п,), а поле в главном лепестке зависит от всего распределения, [c.147]

Критерием для опенки области применимости является аргумент интеграла Френеля f (а) =i ( sin if/2), где t — расстояние между вершинами, взаимодействие между которыми описывает рассматриваемый матричный элемент, а -ф —угол между направлением взаимодействия и соответствующей границей свет—тень. Вдали от границы свст—тень а[ 1. На границе свет—тень а=0. Значением сг, определяющим границы области применимости лучевых разложений для краевых волн, можно считать величину 1,5—2. При этих значениях а погрешность вычисления матрицы элементов составляет 0,6—1,2%, при а=1 — порядка 25% При относительно малых а погрешности неравномерной и равномерной асимптотик диаграммы имеют качественно разный характер. [c.189]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...