Система дифференциальных уравнений первого порядка

Распространяя все сказанное на случай функций общего вида, можно утверждать, что и в этом случае функции Xk удовлетворяют системе дифференциальных уравнений первого порядка [c.330]

Докажем теперь обратное предложение. Пусть известно, что прямые пути определяются системой дифференциальных уравнений первого порядка [c.117]

Рассмотрим теперь движения или более общие процессы, описываемые системой дифференциальных уравнений первого порядка [c.209]

Как известно, обычно такая система может быть записана в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных. Для системы уравнений Лагранжа такая запись возможна всегда (см. 7). [c.214]

Всякая система дифференциальных уравнений первого порядка этого вида, какова бы ни была функция H p q t), называется канонической или гамильтоновой системой переменные р к q называются каноническими переменными, причем величины р называются переменными первой серии (это те функции, производные которых в выражении посредством Н имеют явно знак минус), а величины q — переменными второй серии ясно, конечно, что речь идет о различии совершенно несущественном, так как обе серии переменных обменяются местами, если изменить знак у функции Гамильтона. [c.242]

Определение. Пусть задана какая-нибудь система дифференциальных уравнений первого порядка в нормальном виде [c.251]

Субстанциальные многообразия. Во многих исследованиях, в частности в небесной механике, наряду с рассмотрением интегралов и инвариантных соотношений,. оказывается полезным исследование других образований инвариантного типа относительно любой системы дифференциальных уравнений первого порядка (36). Речь идет о так называемых интегральных инвариантах, о которых здесь уместно дать некоторое понятие. [c.289]

Нетрудно видеть, что эта система дифференциальных уравнений первого порядка эквивалентна дифференциальному уравнению (11.1). Однако она имеет некоторые недостатки. Во-первых, в четвертое из уравнений (11.6) входят производные от жесткости EJ. Закон изменения жесткости может быть задан в табличной или графической форме, и дифференцирование такой зависимости затруднительно при этом в некоторых точках первая и вторая производные жесткости могут не существовать. [c.448]

Воспользуемся формулами (8.46) для преобразования системы дифференциальных уравнений (12.30) к каноническому виду. Решение полученной таким образом системы дифференциальных уравнений первого порядка для вектор-функции х (О можно представить в виде, аналогичном (12.17) [c.311]

Так как все величины, входящие в правые части и не имеющие нуликов , после интегрирования системы (7.58) известны, то при известных величинах и -г система (7.60) является линейной системой дифференциальных уравнений первого порядка ее интегрирование дает величины 0°, после чего оказываются известными комплексные эйлеровы углы Т, 0, X. [c.178]

Рассмотрим еще один из методов использования уравнений ФПК в задачах статистического анализа многомерных нелинейных систем [54]. Предположим, что динамическая система описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка [c.161]

Одномерные и квазиодномерные задачи механики описываются системами обыкновенных диф ренциальных уравнений. К одномерным можно отнести задачи о деформировании стержней, балок, а также круглых пластин и оболочек вращения при осесимметричном нагружении. В ряде случаев для трехмерных и двумерных задач теории упругости можно применить метод разделения переменных и решать задачу в рядах Фурье или методом Канторовича. Задачи, для которых тем или иным способом возможно приближенно перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным уравнениям, называются квазиодномерными. Для расчетов на ЭВМ наиболее удобной формой представления разрешающих дифференциальных уравнений является система дифференциальных уравнений первого порядка, или каноническая система. Для таких систем разработаны стандартные программы интегрирования, а также различные вычислительные приемы, обеспечивающие достаточную точность решения краевых задач [20, 33]. [c.85]

Математическое описание деформирования тонких многослойных оболочек вращения может быть сведено к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Для решения таких систем в настоящее время разработаны эффективные численные методы. Наиболее удобной формой для интегрирования на ЭВМ является представление разрешающих дифференциальных уравнений в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка (или канонической системы). В 3.5 был представлен в общем виде вариационно-матричный способ получения канонических систем. Ниже рассмотрим конкретную реализацию этого способа для оболочек вращения. [c.149]

Рассмотрим последовательность решения методом начальных параметров. Одномерные задачи расчета конструкций могут быть сведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка [c.71]

Соотношение (1.32) можно записать в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка относительно фазовых переменных Xi = и, й [c.18]

Уравнения Эйлера и уравнение неразрывности сводятся в этом случае к нелинейной системе дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных [c.101]

Система (3.35) — это система дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами и решается стандартным способом. Выражения (3.37) для коэффициентов и Т при этом точно совпадают с полученными ранее [см. формулы (3.28)]. [c.87]

Эти равенства определяют параметрические уравнения границы раздела разноцветных жидкостей, изменяюш ейся с течением времени. Итак, первый интеграл (12.3.6) дифференциальных уравнений описывающих перемещение границы раздела разноцветных жидкостей, позволяет разделить переменные в этих уравнениях и свести интегрирование системы уравнений (12.3.4) к квадратурам. Однако если известен первый интеграл системы дифференциальных уравнений первого порядка, то число уравнений, которые подлежат интегрированию, уменьшается. В соответствии со сказанным покажем, что для решения рассматриваемой задачи нет необходимости вычислять оба интеграла (12.3.9). Пусть из формулы (12.3.6) определено только у (или только х) [c.329]

Среди многослойных конструкций, выполненных из композитов, оболочки вращения занимают особое место, поскольку они весьма технологичны при изготовлении естественным для волокнистых композитов методом — методом намотки. С точки зрения расчета многослойных конструкций, оболочки вращения являются достаточно простыми объектами исследования, поскольку модельное представление о распределении деформаций в трансверсальном направлении и периодичность решений по окружной координате позволяют свести решение трехмерной задачи теории упругости к последовательности решений одномерных краевых задач. При расчете на ЭВМ наиболее удобной формой представления разрешающих дифференциальных уравнений одномерных задач являются системы дифференциальных уравнений первого порядка, или канонические системы. Для таких систем разработаны стандартные программы интегрирования, а также различные вычислительные приемы, обеспечивающие достаточную точность решения [1, 2, [c.376]

Решая эту систему относительно неизвестных у (Хо), у (Хо), , Уп (хо), получим значения начальных условий уже для преобразованной системы дифференциальны уравнений первого порядка (1У-23). [c.263]

Теорема А. М. Ляпунова. Пусть дана нормальная система дифференциальных уравнений первого порядка [c.42]

Поставленную общую задачу об устойчивости невозмущенного движения относительно заданных величин Фз можно привести к единообразной математической задаче об устойчивости нулевого решения нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка вида (2.1) относительно величии [c.66]

В предыдущем параграфе было показано, что возмущенное движение, происходящее под совместным действием притяжения центрального тела-точки и произвольной возмущающей силы, можно рассматривать как такое кеплеровское движение, все эле менты которого суть некоторые непрерывные функции времени. Эти неизвестные заранее функции удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений первого порядка, и наша задача заключается теперь в выводе этих уравнений. [c.578]

Пусть в стационарной среде без источников распространяется монохроматическая волна. Ограничимся рассмотрением одномерного случая и будем опускать фактор exp(гwi). Тогда волновые уравнения для N компонент поля можно записать (см., например, [20]) в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка [c.266]

М), в известном поле скорости II = 11[и х,у),У х,у)] сводится к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка (задача Коши) [c.446]

В физических задачах, описываемых системой дифференциальных уравнений первого порядка но t (как обыкновенных, так и в частных производных) с начальными условиями при t = О, статистические свойства решения в момент времени t определяются статистическими характеристиками процесса 2 (т) при О т г, которые полностью описываются характеристическим функционалом [c.51]

Формулу (3.1) можпо использовать для анализа стохастических уравнений, содержащих процесс 2 ( ) линейным образом. Пусть функционал Л, [г (т)] — решение некоей системы дифференциальных уравнений первого порядка по времени с начальными условиями при i = 0. Тогда функционал Л, [г (т)] будет описываться той же системой уравнений, где вместо процесса 2 t) будет стоять величина г t) 0 ( — t). Следовательно, для времен t функционал Йf [г (т)] = Л, [0] и описывается этой же системой уравнений при я,= О с начальным условием [г (т)] = [c.122]

Для удобства численного решения интегро-дифференциальиое уравнение (37.11) представим в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка. Обозначим [c.304]

В гл. V было показано, что уравнения движения Лагранжа можно заменить системой дифференциальных уравнений первого порядка, а именно каноническими уравнениями Гамильтона. Эта эквивалентность подтверждается тем обстоятельством, что последние можно также вывести из принципа Гамильтона посредстном небольшого изменения доказательства. [c.75]

Для вычисления матрицы жесткости [/С] и вектора Qo на интервале [хо, Xi ] с помощью изложенного ( юрмального метода необходимо решить (п + 1) (п/2 + 1) задач Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка вида (9.46). [c.153]

Построение не требует, вообще говоря, равенства интервалов аргумента Дг = onst, и это иногда для повышения точности решения желательно. Принимая же At == onst, мы и графически и таблично можем получить некоторое упрощение. Однако самое существенное свойство этого способа состоит в том, что его без каких-либо затруднений и пояснений можно применить и для решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, если они приведены к такому виду. [c.41]

Векуа И. Н., Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и аничные задачи с применением к теории оболочек. Матем. сборник, Новая серия, 1952, т. 31 (73), вып. 2, стр. 217—314. [c.454]

Как мы видели, всякая задача об устойчивости заданного невозмущенного движения относительно даных функций обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени всегда может быть приведена к единообразной математической задаче об устойчивости нулевого решения нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка, вида (2.1), относительно величин Х5. [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...