Аналитическая геометрия в пространстве

Для определения координат точки С применяем основные соотношения аналитической геометрии в пространстве. Приведем результаты алгебраических выкладок [c.50]

Аналитическая геометрия в пространстве [c.204]

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ [c.249]

Это есть уравнение центральной оси в координатной форме. В самом деле, при известных значениях для X, К, 2, Му, определяемых данной системой сил, мы имеем два уравнения (11.9) первой степени с тремя текущими координатами (х, /, г ), которые, как известно из аналитической геометрии в пространстве, и суть уравнения прямой линии. Нетрудно найти уравнение этой прямой в каноническом виде. Для этого дадим, например, переменному г какое-нибудь произвольное значение г = тогда из двух уравнений (11.9) уже [c.153]

Геометрическое (векторное) представление тензоров второго ранга в евклидовом линейном ге-мерном пространстве. В аналитической геометрии в основу рассуждений всегда кладется определенная координатная система. С другой стороны, при построении векторного исчисления координатную систему стараются игнорировать, ставя в соответствие каждому вектору геометрический образ в виде направленного отрезка. При исследовании более сложных физических величин, таких, как тензоры второго и более высоких порядков, геометрическое представление возможно уже лишь в абстрактном л-мерном линейном пространстве. Такое геометрическое представление имеет большое значение для установления физических законов и их экспериментальной проверки. [c.20]

Разделив механизм на две двухзвенные группы и пользуясь приемами аналитической геометрии в трехмерном пространстве, А. В. Верховский составил шесть уравнений связи между восемью постоянными параметрами механизма и доказал возможность су- [c.80]

Эти уравнения часто называют кинематическими уравнениями движения точки в декартовых координатах, по имени Рене Декарта, открывшего в 1637 г. метод аналитической геометрии на плоскости одновременно с Пьером де Ферма и независимо от него. Иногда декартовыми координатами называют и систему прямоугольных координат в пространстве, хотя пространственная система координат была открыта значительно позже. [c.131]

Существенным частным случаем разложения произвольного вектора а является разложение радиуса-вектора точки М пространства. Как известно из аналитической геометрии, радиусом-вектором называется вектор, изображаемый отрезком прямой, проведенной из начала координат О в точку М. Разложение вектора ОЛ1= г имеет вид [c.49]

Например, пространство L3 —индекс означает размерность пространства (см. ниже), элементы которого — свободные векторы, рассматриваемые в аналитической геометрии, с обычными операциями сложения и умножения на число. [c.308]

В процессе автоматизированного конструирования пользователи оперируют с различными геометрическими моделями проектируемых объектов, которые различаются степенью детализации, способами описания и представления в памяти ЭВМ и на внешних устройствах. Геометрическая модель представляет собой математическое описание объекта (как правило, в трехмерном пространстве), определенное в терминах аналитической геометрии или при помощи некоторой структуры данных и соответствующих алгоритмов получения изображений. Эти модели отражаются на графических дисплеях или графопостроителях в виде графических изображений на плоскости. [c.177]

Построенная нами картина пространства конфигураций нуждается в дальнейших уточнениях. Мы основывались в своих рассуждениях на аналитической геометрии п-мер-иого евклидова пространства и соответственно считали п обобщенных координат механической системы прямоугольными координатами в этом пространстве. Если же заменить аналитическую геометрию дифференциальной, как это будет сделано в п. 5 этой главы, то можно получить картину, гораздо лучше отображающую геометрическую структуру пространства конфигураций. Однако и наша первая схема может быть весьма полезной. Продемонстрируем это на следующем примере. [c.35]

Кинетическая энергия и риманова геометрия Использование произвольных обобщенных координат для описания движения механической системы является одной. из существенных черт аналитической механики. Структура уравнений аналитической механики такова, что они могут быть записаны в виде, не зависящем от применяемых координат. Это свойство общих уравнений движения связывает аналитическую механику с одним из крупнейших достижений математики девятнадцатого века — теорией инвариантов и ковариантов. Эта теория окончательно созрела в наши дни, когда теория относительности Эйнштейна показала, как законы природы связаны с проблемами инвариантности. В основе теории относительности лежит требование, чтобы формулировки законов природы не зависели от какой-либо специальной системы координат. Математическое решение этой проблемы показало, что между законами, управляющими материей, и римановым основанием геометрии, существует глубокая внутренняя связь. Согласно общей теории относительности Эйнштейна, истинная геометрия природы не евклидова, а более общая— риманова эта геометрия связывает пространство и время в единое четырехмерное многообразие. [c.39]

Сделав эти общие замечания, касающиеся аналитической геометрии л-мерного евклидова пространства, перейдем теперь к изучению потенциальной энергии V qi,. .., <7 ) механической системы. Разложим эту функцию в ряд Тейлора в окрестности начала координат qi = О [c.178]

Геометрически это уравнение определяет поверхность в и-мерном пространстве. Можно сказать более определенно, что оно определяет какую-то поверхность второго порядка для наглядности можно представить себе эллипсоид или гиперболоид в обычном трехмерном пространстве, но не следует забывать при этом о разнице в числе измерений. Следует отметить, что аналитическую геометрию поверхностей второго порядка можно строить с равным успехом при любом числе измерений. Теория таких поверхностей очень важна почти во всех разделах математической физики. Строгое математическое обоснование теории упругости, акустики и волновой механики может быть сформулировано при помощи аналитической геометрии таких поверхностей в пространстве с бесконечно большим числом измерений. [c.179]

Применение метода В. А. Зиновьева к исследованию механизмов с соприкасающимися рычагами см. [94]. Рассмотренный метод по классификации, приведенной в гл. 22, может быть отнесен к геометрическим методам. Этот метод основан на простом аппарате аналитической геометрии и, в частности, теории замкнутых векторных контуров в трехмерном пространстве, что делает его доступным для широкого практического применения. Вместе с тем векторные уравнения замкнутости в этом методе отображают лишь замкнутые контуры геометрических осей звеньев и их ориентацию в пространстве, не определяя действительных относительных положений соединенных между собой звеньев как пространственных тел. Для полного определения относительных положений реальных звеньев в пространстве необходимо составлять дополнительные уравнения взаимосвязей между параметрами абсолютных движений звеньев. Привязка движений различных звеньев к одной неподвижной системе координат хотя и усложняет уравнения взаимосвязей между звеньями, но дает возможность непосредственного определения параметров абсолютных движений звеньев. [c.89]

Аналитический метод автора [65 1 по исследованию наиболее распространенных пространственных стержневых механизмов, составленных из двухповодковых кинематических групп с низшими кинематическими парами (вращательной, цилиндрической, шаровой с пальцами, шаровой и винтовой), основан на применении матричных представлений групп вращений и различных приемов аналитической геометрии и кинематической геометрии в трехмерном пространстве. Этот метод может быть распространен на механизмы любой сложности и механизмы с высшими кинематическими парами [69, 70 ]. [c.98]

Размеры звеньев и их положения в пространстве, а также размеры и положения проекций звеньев легко определяются по известным формулам аналитической геометрии, для чего существуют стандартные программы. [c.68]

Аналитическая геометрия 238 —257 —— в пространстве 249 [c.547]

Примером линейного (векторного) пространства может служить совокупность всех геометрических векторов на оси, плоскости и в пространстве, для которой сложение векторов и умножение их на действительные числа производятся по обычным правилам, известным из аналитической геометрии. [c.206]

Как известно из аналитической геометрии, любую плоскость в пространстве можно задать линейным уравнением [c.297]

Пример. Пространство Fj. Элементы этого пространства — свободные векторы, рассматриваемые в аналитической геометрии. Каждый вектор характеризуется длиной и направлением. Исключение составляет нуль-вектор, длина которого равна нулю, а направление — произвольно. [c.18]

Напрашивается такая аналогия. Многие области физики как науки начали развиваться только после того, как Декарт придумал арифметизацию пространства, приписав каждой точке пространства тройку чисел — декартовых координат. После этого появилась возможность создания аналитической геометрии, механики и т. д. Для принятия решений об эффективности по какому-либо критерию нужна арифметизация общественных желаний — оценка числом всего того, что общество хочет получить от проекта Денежные приведенные затраты это лишь одна из координат в пространстве общественных желаний . Сюда же можно присоединить, например, вредные выбросы и сумму затрат эксергии, тогда получится трехмерное пространство, в котором находятся оптимальные траектории управления энергетикой (см. рис. 27). Могут быть и другие координаты фактически вопрос об арифметизации общественных желаний, подобной арифметизации пространства, еще даже не обсуждался. Поэтому решение нельзя поручить ЭВМ, отыскивающей оптимальную траекторию,— координаты еще не выбраны. [c.138]

Из аналитической геометрии известно, что уравнение такого вида есть уравнение конической поверхности таким образом, мы получили уравнение конической поверхности, представляющей место мгновенных осей вращения в пространстве, т. е. уравнение неподвижного аксоида. [c.330]

В книге рассмотрены некоторые новые подходы, основанные, с одной стороны, на известных экспериментальных данных и современных представлениях о кинетике деформирования и разрушения материалов, и с другой — на феноменологическом анализе общих свойств и геометрии предельных поверхностей, интерпретирующих критерии прочности в пространстве напряжений. Такой подход позволил установить параметры напряженного состояния, от уровня которых зависит интенсивность протекания процессов в материале при его деформировании, а также форму предельной поверхности, которая отражает общие механические свойства материалов, и путем аналитического описания этой поверхности определить структуру критерия. [c.7]

Таким образом, для выражения условий резания, зависящих от строения ствола — структурных условий, необходимо знать направления скорости резца, его режущей кромки и нормали к поверхности резания относительно главных направлений (осей) ствола. Всякое направление в пространстве определяется тремя косинусами углов, составленных этими направлениями и осями координат (направляющими косинуса). Следовательно, структурные условия резания древесины выражаются девятью направляющими косинусами, абсолютные значения которых могут получать, значения от нуля до единицы. В общем случае резания все направляющие косинусы не равны нулю и единице. Такая совокупность величин косинусов определяет наибольшую сложность структурных условий резания. Но не все величины направляющих косинусов независимые. При резании прямым резцом между ними существуют шесть уравнений связи. Как известно из аналитической геометрии, сумма квадратов косинусов, определяющих одно направление, равна единице. При резании выделены три направления. Это дает три уравнения связи. Кроме того, перпендикулярность нормали поверхности резания, вектору скорости и режущей [c.38]

Метод этот можно иллюстрировать на частном случае п — 3. Здесь имеется аналогия с родственной задачей из аналитической геометрии в пространстве, и поэтому удобно применить обознаиения последней. Обозначим координаты через х, у, 2 и предположим далее, что при помощи линейного преобразования выражение кинетической энергии приведено к сумме квадратов с единичными коэфициентами. Это всегда можно сделать бесконечным числом способов. В таком случае пишем [c.234]

В тесной < вязи с этим стоит соотношение между вектором и радиусами-векторами его концов. Часто бывает целесообразно определять положение любой точки пространства А векторными средствами относительно некоторой фиксированной точки О — начала, играющего здесь ту же роль, что и начало координат в аналитической геометрии. Вектор г, идущий от начала О к точке А 1), называется радиусом-вектором точки А. При фиксированном начале положение точки вполне определяется ее радиусом-вектором. Любой вектор 1 2 всегда равен разности радиусов-векторов конца (га) и начала (г,) отрезка А1А2, изображающего этот вектор (фиг. Ю) [c.28]

Нам неизвестно, как отнесся бы этот непримиримый аналитик к современной версии Аналитической механики, в которой геометрическими иллюстрациями служат не образы трехмерного пространства, которыми должен был довольствоваться Лагранж, а образы более просторного и гибкого риманова пространства N измерений. Он имел бы, я полагаю, серьезные возражения. Переход от геометрических средств к аналитическим был долгим и трудным делом. Каждый прием должен был быть тщательно проверен перед включением его в новую схему он должен был допускать непосредственное обобщение для случая N измерений и должен был быть очищен от излишних ассоциаций с понятиями эвклидовой геометрии. Нам, вполне освоившимся с понятием N-мерного пространства, кажется странным то медленное развитие этих идей, которое исторически имело место. Первые идеи были довольно неотчетливо изложены Р и м а н о м (Rie-тапп) [1] )в 1854 г. В 1869 г. Бельтрами (Beltrami) [1] ii в 1872 г. Л и п ши ц (Lips hilz) [1] воспользовались геометрическим [c.7]

В курсе аналитической геометрии вводится понятие центра масс (ЦМ) системы N материальных точек, массы которых Шь m2, Шз,. .., rriff, как некой точки пространства, положение которой относительно начала координат определяется радиус- [c.116]

Идеи современной дифференциальной геометрии все шире проникают в аналитическую механику. В работах А. В. Арнольда [1], Абрахама 2], К. Годбийона [3] показано, что дифференциальная геометрия может рассматриваться как естественный фундамент классической механики. При этом четко разграничиваются два аспекта механики гамильтонов и лагранжев. Гамильтонова динамика связана с существованием симплектической структуры на кокасательном расслоении конфигурационного пространства механической системы. Введение Клейном [4 специального дифференциального исчисления на касательном расслоении позволяет связать лагранжеву динамику с симплектической структурой касательного расслоения конфигурационного пространства. [c.51]

Отсюда видно, что любую систему сил в пространстве можно привести к сосредоточенной силе Р = ЪР1, приложенной в люб ой за данной точке, и к результирующему моменту М = М . Графическое решение этой задачи производится с помощью начертательной геометрии, причем в вертикальной и горизонтальной проекциях производят геометрическое сложение сил и моментов. Относительно аналитического способа расчета см. ниже. При выборе другого полюса равнодействующая сила Р не меняется, а меняется, вообще, результирующий вектор моментов. [c.246]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...