Стержни — Прогибы при изгибе

Стержни — Прогибы при изгибе продольно-поперечном 377 — Растяжение (сжатие) 295— 299 — Расчет 298 [c.999]

Если поперечная нагрузка действует совместно с осевой силой сжатия на концах, то вопрос об устойчивости ( 198) не возникает, так как стержень под действием приложенного изгибающего момента будет прогибаться при всех значениях силы сжатия. Выше мы исследовали концевые силы и моменты. Теперь исследуем влияние распределенной нагрузки и сосредоточенных в некоторых точках длины стержня сил. Будем рассматривать просто опертые стержни постоянной жесткости при изгибе. [c.268]

При малых прогибах можно с достаточной точностью принимать, что направление вектора крутящего момента совпадает с осью недеформированного стержня и, следовательно, этот вектор не имеет составляющей, перпендикулярной к названной оси. Иными словами, в указанном случае можно считать, что крутящие моменты не влияют на величину изгибающих моментов в поперечных сечениях стержня. Влиянием обусловленных кручением искривлений этих сечений на величину нормальных напряжений при изгибе, как указывалось выше ( 34), также можно пренебрегать, если не рассматривать изучаемые в дальнейшем стержни, сечения которых относятся к особым типам (тонкостенные стержни). Таким образом, для стержней большой жесткости при изгибе, не относящихся к тонкостенным, вполне приемлемым является допущение, что кручение не влияет на их напряженное состояние, обусловленное изгибом. На основании [c.260]

С перемещением связано понятие жесткости механической системы. Ограничения на перемещения являются условием жесткости, которое чаще всего связано с функциональным предназначением стержня. Для стержней, которые работают при изгибе, может быть наложено ограничение или на максимальный прогиб, или на максимальный угол поворота сечения, или на перемещение одного из сечений, или на угол поворота одного из сечений, или на их комбинацию [c.440]

Поперечными колебаниями называют колебания изгиба, при которых основные компоненты перемещений (в данном случае прогибы) направлены перпендикулярно к оси стержня. Напряженное состояние при поперечных колебаниях, очевидно, такое же, как и при статическом изгибе балок. Поэтому поперечные колебания иначе можно назвать изгибными колебаниями. [c.531]

Большая сила Т может в некоторых случаях появиться и в результате самого изгиба, даже если нет никаких специально приложенных растягивающих сил. Рассмотрим стержень, оба конца которого заделаны или закреплены на шарнирах в неподвижных опорах, так что не могут испытывать продольного смещения. Тогда прогиб стержня неизбежно сопровождается его удлинением, что и приводит к появлению в нем силы Т. Легко оценить величину прогиба, при котором эта сила делается существенной. Длина L - - ts,L изогнутого стержня равна интегралу [c.113]

Стержень (кругового сечения) бесконечной длины лежит на упругом основании, т. е. при изгибе на него действует сила К == —пропорциональная прогибу. Определить форму, принимаемую стержнем при действии на него сосредоточенной силы /. [c.117]

Продольный изгиб опасен тем, что при нем происходит очень сильное нарастание прогибов при незначительном росте сжимающей силы. Прогибы и нагрузки связаны между собой нелинейной зависимостью, поэтому быстрое нарастание прогибов вызывает быстрое нарастание напряжений от изгиба и, как следствие, разрушение стержня. [c.292]

Деформация изгиба (рис. 6) заключается в искривлении оси прямого стержня или в изменении кривизны кривого стержня. Происходящее при этом перемещение какой-либо точки оси стержня выражается вектором, начало которого совмещено с первоначальным положением точки, а конец — с положением той же точки в деформированном стержне. В прямых стержнях перемещения точек, направленные перпендикулярно к начальному положению оси, называют прогибами и обозначают буквой w. При изгибе происходит также поворот сечений стержня вокруг осей, лежащих в плоскостях сечений. Углы поворота сечений относительно их начальных положений обозначаются буквой 0. На изгиб работают, например, оси железнодорожных вагонов, листовые рессоры, зубья шестерен, спицы колес, балки междуэтажных перекрытий, рычаги и многие другие детали. [c.18]

Заметим, что нагрузка р хз) не обязательно должна лежать в плоскости x-iXi, она может действовать в параллельной плоскости. Величины прогибов и нормальных напряжений при изгибе от этого не меняются, как будет видно из приводимого ниже вывода. Однако касательные напряжения зависят от положения плоскости действия сил, они могут потребовать для своего уравновешивания приложения к торцам балки крутящих моментов. Если ось х-2. есть ось симметрии сечения, то, очевидно, крутящий момент не потребуется, если нагрузка лежит в плоскости Хг, Хз, нагрузка в любой параллельной плоскости будет вызывать кручение. Однако, если ось есть главная центральная ось сечения, по не ось симметрии, и нагрузка лежит в плоскости Хг, Хз, изгиб, как правило, будет сопровождаться кручением чтобы кручения пе было, ось х должна проходить не через центр сечения, а через некоторую точку, называемую центром изгиба. Элементарная теория, позволяющая найти центр изгиба для тонкостенных стержней открытого профиля, была изложена в 3.7, распространение ее на стержни произвольного сечения служит предметом теории изгиба Сен-Венана, которая в этой книге излагаться не будет. [c.387]

Кривая прогибов оси стержня при изгибе 295 Кривизна при изгибе балки распределенной нагрузкой 67 Круг Мора 38 [c.573]

Вопрос о влиянии деформации сдвига при изгибе на величину прогибов и тесно с этим связанные вопросы о влиянии сдвигов на кривизну оси балки и об учете потенциальной энергии стеснения депланации поперечного сечения стержня, вызванной сдвигом, обсуждался в рамках элементарной теории в ряде работ в некоторых из них предприняты попытки оценки результатов при помощи аппарата теории упругости. [c.502]

Поясним теперь еще раз, почему критическая сила Я в теории, рассматривавшейся во всех предыдущих параграфах (где использовано приближенное дифференциальное уравнение изгиба стержня), могла быть определена без отыскания параметра, характеризующего величину прогиба при выпучивании (параметр, который оставался неопределенным). Рассмотрим кривую, характеризующую зависимость между Р и соответствующим максимальным прогибом п = уо. Эта кривая изображена на рис. 18.46. [c.364]

Анализ приведенных данных позволяет сделать следующее заключение. При одних и тех же напряжениях в стержнях трубчатые связи имеют большие прогибы, чем проволочные, что объясняется их меньшей жесткостью. Косвенно это подтверждается тем, что частоты колебаний пакетов с этими связями, как и следовало ожидать, ниже, чем у пакетов с проволочными. С увеличением числа связей это уменьшение заметнее. Несмотря на это, напряжения в связях при их изгибе приблизительно одинаковы для обоих разновидностей пакетов, поскольку больший прогиб в трубчатой связи компенсируется меньшим значением отношения жесткости связей к жесткости стержня ( св) при несколько меньших значениях момента сопротивления (37). В силу этого разгрузка стержней со связями при их изгибе практически одинакова для пакета с трубчатыми и с проволочными связями. [c.59]

Отметим, что при изгибе балки точки ее оси получают также осевые перемещения и. Однако в большинстве случаев они значительно меньше прогибов и ими можно пренебречь. Исключение составляют так называемые гибкие стержни, допускающие значительное искривление оси (рис. 9.2). В реальных конструкциях прогибы балок значительно меньше длины пролета. Отношение наибольшего прогиба (стрелы прогиба) / к длине пролета I устанавливается нормами проектирования строительных конструкций в следующих пределах [c.183]

СТРЕЛА ПРОГИБА — величина линейного перемещения точек балки или стержня в месте их наибольшего искривления под действием изгибающей нагрузки С. п. характеризует деформацию при изгибе, зависит от величины и характера приложения изгибающей нагрузки, расстояния между опорами и устройства опор, от формы и размеров сечения балки или стержня. С. п. может быть определена расчетом или экспериментально (с помощью часовых индикаторов, катетометров и т. п.). [c.277]

Вторая производная , в пределах точности уравнения (1), определяет кривизну деформированной оси стержня, следовательно, выражение в левой части (32) является мерой упругой энергии, запасенной в стержне вследствие возникшего прогиба ). Концы стержня при изгибе сближаются на величину [c.583]

EJ — жесткость стержня при изгибе в плоскости xij qjg — масса, приходящаяся на единицу длины стержня. Общее выражение для прогиба в нормальных координатах представится в таком виде [c.160]

Точность этой формулы зависит от величины а . (В случае растягивающих сил величина эта может быть значительно больше 1. На практике а обыкновенно не превосходит десяти.) В случае сосредоточенной силы посредине погрешность при вычислении прогиба по формуле (19) будет около 1,2% для а =1 и около 2,2% для а =2. С возрастанием погрешность возрастает и формула (19) дает лишь грубое приближение. При удалении изгибающей силы от середины точность формулы (19) изменяется и в крайнем случае, при изгибе парой сил, приложенной на конце, погрешность достигнет 2,5% для а =1 и 4,3% для а =2. Заметим, что большие значения а получаются лишь в случае весьма гибких стержней. К таким стержням обыкновенно не прилагают сосредоточенных нагрузок. При действии равномерно распределенной нагрузки точность приближенной формулы (19) значительно большая. При а =1 погрешность около 0,3%, при а =2 погрешность 0,7% и при а =10 погрешность приблизительно 1,7%. В случае параболического распределения сплошной нагрузки точность ( рмулы (19) еще большая. [c.188]

Все обстоятельства изгиба стержней с заделанными концами можно получить, пользуясь решениями для стержней с опертыми концами, если иметь формулы для углов поворота концов и для прогиба при действии на сжатый или растянутый стержень изгибающей пары сил, приложенной на конце. [c.198]

На практике нередко приходится иметь дело с изгибом слегка искривленных стержней. Иногда начальный изгиб является результатом неизбежной неточности изготовления, и тогда форма кривой для нас неизвестна, мы можем иметь лишь некоторые данные относительно величины наибольших начальных прогибов, иногда же начальное искривление задается и имеет вполне определенную форму. Если начальное искривление оси стержня выполнено по дуге круга радиуса г, то, обозначая радиальные перемещения точек оси бруска при изгибе через и, получим в случае малых значений и уравнение [c.284]

В тех случаях, когда изменения кривизны оси бруска при изгибе того же порядка, как и начальная кривизна 1/г, второй член в левой части уравнения (1) мал по сравнению с первым и им можно пренебречь. Мы приходим, таким образом, к известному дифференциальному уравнению для изогнутой оси прямого стержня и можем прогибы слегка искривленного стержня вычислять по формулам, выведенным для прямых стержней. Заключение это справедливо лишь до тех пор, пока изгиб бруска происходит под действием только поперечных нагрузок. Влияние продольной силы в случае прямого и в случае слегка искривленного стержня будет различно, и это влияние мы постараемся оценить, пользуясь выражением для искривлений в форме тригонометрического ряда. Этот прием в применении к прямым стержням оказывается весьма удобным ), он дает возможность установить весьма простые формулы для оценки влияния продольной силы на прогиб и на величину наибольшего момента. Возьмем стержень с опертыми концами и расположим ко- [c.284]

Если концы стержня при изгибе свободно могут скользить по оси х и никаких продольных сил не приложено, то, очевидно, прогибы Ух слегка искривленного стержня ничем не будут отличаться от соответствующих прогибов стержня с идеально прямой осью. Иной результат мы получим, если перейдем к исследованию изгиба в случае действия не только поперечных нагрузок, но и продольных сил. Действие этих сил, как мы уже видели, зависит от искривления оси стержня, и потому начальная кривизна в задачах такого рода будет играть существенную роль. Исследование этих вопросов, конечно, можно выполнить путем интегрирования основного уравнения (а), но мы быстрее придем к цели, если воспользуемся представлением уравнения изогнутой оси стержня в форме тригонометрического ряда Начальное искривление оси стержня всегда можно представить в такой форме [c.231]

Сравнивая это с результатом, полученным нами раньше для прямых стержней [см. формулу (66)], заключаем, что первая сумма полученного выражения (74) представляет собой прогиб прямого стержня. Второй суммой оценивается влияние кривизны. Дополнительный прогиб, обусловленный начальным искривлением, совершенно не зависит от поперечной нагрузки, и мы его можем вычислить без всяких затруднений, если только заданы коэффициенты Ь , Ъ . Пользуясь сложением действий поперечных нагрузок, мы при помощи выражения (74) легко найдем прогибы при любой поперечной нагрузке. Возьмем, например, изгиб равномерно распределенной нагрузкой стержня, имеющего начальное искривление по параболе. Чтобы представить это искривление в виде тригонометрического ряда, поступим так. Возьмем случай изгиба прямого стержня двумя равными и прямо противоположными парами сил, приложенными по концам. На основании формулы (63) уравнение искривленной оси представится так [c.232]

В элементарной теории изгиба пластинок эта плоскость играет такую же роль, как нейтральный слой при изгибе балок. Линия пересечения срединной плоскости с ограничивающей цилиндрической поверхностью пластинки представляет собой контур пластинки. При исследовании изгиба пластинок условимся координатную плоскость ху располагать в срединной плоскости пластинки. Ось z будем направлять так, чтобы получалась правовинтовая координатная система (х, у, г). Толщину пластинки обозначим через к и прогибы срединной поверхности пластинки в направлении оси 2 — через ю. Исследование изгиба пластинок начнем с простейших задач 1) с изгиба пластинки по цилиндрической поверхности и 2) чистого изгиба. Для решения задачи в этих двух частных случаях можно воспользоваться, как мы увидим ниже, результатами, полученными при исследовании изгиба стержней. [c.365]

Важное заключение, которое можно сделать на основе рис. 10.2, состоит в том, что нагрузка не пропорциональна вызываемым ею прогибам. Потому несмотря на то, что прогибы малы, а материал остается линейно упругим, способом наложения воспользоваться нельзя. Причину подобного заключения легко понять, учитывая, что силы, показанные на рис. ЮЛ, статически эквивалентны центрально приложенным силам Р и моментам Ре, приложенным на концах стержня. Если приложены только моменты Ре, то они вызовут появление прогибов, которые можно найти обычным способом, как при изгибе балки (см. гл. 6). В подобном случае наличие малых прогибов не будет изменять действие нагрузок, а изгибаюш.ие моменты можно вычислить, не рассматривая прогибы. Однако, когда на стержень действует осевая нагрузка, прогибы, вызываемые моментами Ре, будут создавать осевые силы, которые в свою очередь оказывают изгибаюш.ее действие в дополнение к сжатию. Это изгибающее действие осевой силы вызовет дополнительные прогибы, которые в свою очередь будут влиять на изгибающие моменты. Таким образом, изгибающие моменты нельзя найти независимо от прогибов, и между осевой нагрузкой и прогибами имеет место нелинейное соотношение. [c.390]

В работе С. А. Тумаркина [81] рассматривается изгиб естественно закрученного стержня поперечными силами. В другой работе [82] того же автора дай пример применения теории к определению прогибов при изгибе лопасти [c.861]

Таким образом, при изгибе стержней, концы которых закреплены, можно пользоваться уравнениями равновесия в виде (20,4), только если прогиб мал по сравнению с толщиной стержня. Если же б не мало по сравнению с h (но, конечно, по-прежнему S < L), то надо пользоваться уравнениями (20,14). Прл атом сила Т в этих уравнениях заранее неизвестна. При их решении надо сначала рассматривать Т как заданный параметр,, а затем по голученному решению определить Т согласно формуле (20,16), чем и определится связь Т с ариложен ными к стержню изгиба-кщими силами. [c.114]

К — коэффициент жесткости пружины, — коэффициент жесткости эквивалентной пружины, Яв — коэффициент крутильной жесткости вала, т — масса груза, J — момент инерции диска относительно оси вращения, — момент инерции эквивалентного диска относительно оси вращения, д — ускорение свободного падения, — статический прогиб упругого звена под действием силы веса, Е — модуль упругости первого рода упругого звена, О — модуль упругости второго рода упругого звена, 2 — жесткость балки при изгибе, — площадь поперечного сечения стержня, ддцна стержня. [c.102]

В результате испытаний получают диаграммы приложенных нагрузок и перемещений Р = Р (и) и Р = Р (/), где у — удлинение стержней при растяжении / — прогиб балок при изгибе. Возможны четыре основных вида таких диаграмм, схематически показанных на рис. 6.4. К виду I относятся зависимости с одним максимумом, находящимся в пределах 5 %-ной зоны а (см. рис. 6.4, а). К виду II относятся диаграммы с двумя максимумами, причем первый из этих максимумов находится в пределах указанной 5 %-ной зоны и соответствует моменту докритиче-GKoro роста трещины (см. рис. 6.4, б) к виду III — с одним максимумом, находящимся за пределами 5 %-ной зонй, в которых не удается зафиксировать момент докритического роста трещины (см. рис. 6.4, в) к виду IV — с двумя максимумами, причем оба максимума находятся вне 5 %-ной зоны и первый максимум соответствует зафиксированному моменту докритического роста трещины (см. рис. 6.4, г). [c.55]

Начало исследований в области больших упругих прогибов стержней и арок ЛЛО положено известными работами Л. Эйлера, который дал теорию расчета больших перемещений (эластики) при изгибе в своей плоскости криволинейных стержней с нерастяжимой осью. С тех пор подобным задачам с учетом и без учета растяжимости оси было посвящено большое количество исследований. Достаточно полный их обзор дали Д.Да Деппо и Р. Шмидт [507]. [c.106]

Для идеального продольно сжатого упругого стержня, если сжимающая сила не превышает критического зйлерова значения стержень будет возвращаться в первоначальную прямолинейную форму, если ему задать малый прогиб в виде sin (па /0 и затем отпустить состояние стержня, предшествовавшее заданию в нем перемещений, опишем как условие устойчивого равновесия. Если силу Р можно было бы довести до значения, намного превышающего критическое, не допуская выпучивания, а затем стержню задали бы некоторое смещение и снова отпустили, toi он стал бы неограниченно изгибаться дальше, т. е. выпучиваться , говорят, что это было условие неустойчивого равновесия. Если нагрузка Р в точности равна критическому значению и стержню-придаются прогибы небольшой величины, а затем его отпускают, то стерн ень останется в состоянии равновесия в изогнутом положении будем говорить, это есть условие нейтрального равновесия при малых перемещениях. [c.81]

Дело в том, что, как показывает сопоставление теоретических и экспериментальных данных (см. [42]), ни точка ПВО (критерий Работнова — Шестерикова), ни даже точка ПБ1 (критерий Кур-шина) не отвечают реально наблюдаемому моменту выпучивадия стержней при ползучести. Этот момент оказывается более поздним, чем характерное время для указанных точек. Это обстоятельство, а также опыт использования других (см. [4]) условных критериев устойчивости при ползучести привели к формированию мнения о неэффективности любых попыток связать в этих условиях явление выпучивания с тем или иным аспектом проблемы устойчивости. В результате — ориентировка на расчет по типу продольного изгиба, который получил название метода начальных несовершенств. Он состоит в анализе развития с течением времени начальных неправильностей конструкции, отличающих ее от идеальной (например, рост прогибов начально искривленного сжатого стержня). Естественно, что при этом эффект выпучивания теряет смысл явления качественного порядка. Проблема становится чисто количественной и сводится к определению времени, в течение которого заданные неправильности остаются в пределах назначенных допусков. [c.37]

Концепции инициирования трещины. Определение условий, при которых будет инициироваться неустойчивая трещина, служит основанием для расчета конструкций на сопротивление хрупкому разрушению. Анализ кривой зависимости нагрузка — прогиб стержня с надрезом при медленном изгибе или ударном нагружении (Фернихауф и Хоу, 1964 г.) проводят для определения разницы между энергиями инициирования и распространения хрупкой трещины. Как упоминалось ранее, трудности возникают при количественной оценке поведения материала в процессе испытаний образцов небольших размеров. [c.224]

В качестве приложения приближенного уравнения (21) рассмотрим такой числовой пример. Стержень длиной 22 см имеет жесткость 6=0,185-10 кг-см и изгибается равномерно распределенной нагрузкой q кг-см. Найти величину наибольшего прогиба f и величину продольного растягивающего напряжения t при различных значениях д, если при изгибе концевые сечения стержня могут свободно поворачиваться, но совершенно не могут сближаться. Взятые здесь числа соответствуют примеру, разобранному в статье И. Г. Бубнова ). Значения fo вычисляем по формуле 5 ql l384 В. Пользуясь ими, находим из уравнения (21) ряд соответствующих значений а . Продольная растягивающая сила получается умножением эйлеровой нагрузки на а . Для получения наибольшего прогиба / нужно значения /о делить на соответствующие значения 1+а Результаты вычислений приведены в таблице А. Последние два столбца таблицы [c.190]

Для составления второго выражения нам нужно найти сближение концов стержня А и В при изгибе. В случае малых начальных искривлений и малых прогибов мы можем принять косинус угла между касательной к оси стержня и осью х, равным 1—V2 dyjdxy. [c.286]

Имея кривую изгиба бесконечнодлинного стержня под действием силы Р, приложенной в начале координат, легко найти прогиб точки, соответствующей началу координат, при действии любой системы сосредоточенных сил. На основании теоремы о взаимности перемещений заключаем, что кривая, представленная на рис. 2, есть линия влияния для прогиба стержня в начале координат. Следовательно, прогиб при действии системы сосредоточенных сил представится формулой [c.327]

У стержня, ось которого имеет некоторое начальное отклонение от прямой (начальный прогиб), при продольном изгибе постоянной силой в условиях неограниченной ползучести за счет нелинейной зависимости скоростей ползучести от напряжений скорость роста прогиба (или прогиб) в некоторый момент времени станет сколь угодно большой. Критическое время можно определить как экспериментальным, так и расчетным путем. Очевидно, что эта задача не есть задача устойчивости. Это задача выпучивания стержня в условиях ползучести ( reep bu kling). [c.262]

Для сжатых стержней критическое время определяется решением задачи о продольно-поперечном изгибе стержня с начальным прогибом при ртелинейной ползучести. Техника регпе-ния таких задач, рассматриваемых в большом числе работ,., к настоящему времени разработана достаточно хорошо. [c.265]

Гораздо большее влияние на степень точности приближенного уравнения (206) имеет величина трех прогибов w, которые получает пластинка. Условие малости прогибов ограничивает область применения полученного выше приближенного уравнения к исследованию изшба пластинок в значительно большей степени, чем, например, при рассмотрении изгиба призматических стержней. Приближенная теория для призматических стержней дает удовлетворительные результаты даже в тех случаях, когда прогибы в несколько раз превосходят поперечные размеры стержня. Но в случае пластинок приближенное уравнение можно с уверенностью применять лишь тогда, когда прогибы пластинки малы по сравнению с ее толшдной. Причиной такой разницы между тонкими стержнями и тонкими пластинками является то обстоятельство, что искривление пластинки без деформаций в срединной плоскости возможно лишь в исключительных случаях, когда срединная плоскость обращается при изгибе в развертываемую поверхность Во всех других случаях изгиб сопровождается появлением деформаций в срединной поверхности. Деформации эти растут с прогибом и могут достигать значений такого же порядка, что и те деформации, которые учитываются приближенным решением. Эти обстоятельства легко объяснимы при рассмотрении простейшей задачи, которой является изгиб круглой пластинки парами сил, равномерно распределенными по контуру. Приближенное решение 200) соответствует в этом случае изгибу пластинки по шаровой поверхности. Пусть R — радиус этой поверхности, а — радиус пластинки и линия АОВ [c.383]

При критической нагрузке стержень переходит к новой криволинейной форме равновесия, что связано с появлением качественно новых деформаций, Сжимающая сила вызывает дополнительно изгибающие моменты, линейная зависимость между нагрузками и деформациями нарушается наблюдается сильное нарастание прогибов при малом увеличении, сжимающей силы. Это явление называется продольным изгибом. Переход а критическое состояние, как правило, сопровождается потерей несу-щейГспособности стержня и называется потерей устойчивости. Для обеспечения устойчивости заданного деформированного состояния в конструкциях <и сооружениях допускаются нагрузки, составляющие лишь часть критических. Отношение критической нагрузки к ее допускаемой величине называется коэффициентом запаса [c.181]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...