Второе и высшие приближения

Подставив искомое решение в заданное уравнение с преобразованиями, несколько более сложными, но аналогичными тем, которые указаны в известной книге Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского, придем к ряду уравнений первого, второго и высших приближений. Опуская все выкладки, приведем лишь результаты решения уравнения (31), соответствующие первому приближению. [c.80]

В общем виде решение последних уравнений сложно. Однако если в первом приближении возможно пренебречь величинами высших производных h (Л) и (Л) по Л, начиная с некоторой ii-й, то решение уравнения в первом приближении легко записывается в конечной форме. Учет высших производных можно отнести к последующему шагу — отысканию второго и высших приближений. Указанное выше допущение основано на том предположении, что п - 1)-я и более высокие производные имеют порядок е (или более высоких степеней е). Такое предположение оправдано, так как обычно h A) и (Л) изображаются в виде плавных кривых на рассматриваемых конечных участках изменения Л. [c.81]

Описанная методика будет верна для второго и высших приближений, если правые части Р уравнений (1.29) при г 2 удовлетворяют условию 1 определения 1.1. [c.240]

Второе и высшие приближения могут быть получены повторением процесса мы, однако, ограничимся первым приближением. Таким образом, выражение [c.152]

Второе и высшие приближения [c.216]

Дробный факторный эксперимент. Во многих практических задачах взаимодействия второго и высших порядков отсутствуют или пренебрежимо малы. Кроме того, на первых этапах исследования часто нужно получить в первом приближении лишь линейную аппроксимацию изучаемого уравнения связи при минимальном числе экспериментов. Поэтому использовать полный факторный эксперимент для определения коэффициентов лишь при линейных членах и парных произведениях неэффективно из-за реализации [c.123]

Иную картину можно наблюдать при /> /2, когда квадрупольное взаимодействие достаточно сильно и возмущение первого порядка не описывает явление с достаточной точностью, а во втором и высших порядках прослеживается зависимость расщепления от угла 0 (для порошков центральная составляющая линии поглощения т—112-угп——1/2 сильно размыта и ее регистрация затруднена). Для описания расщепления спектра включающего в себя 21 составляющих, вводится понятие константы квадрупольного взаимодействия e Qq h и определяется ориентация главных осей и степень осевой симметрии тензора градиента электрического поля в местах расположения ядер. Частота перехода на соседний магнитный уровень в первом приближении теории возмущений, развитой Паундом [18], равна [c.177]

Подставим в уравнения (2) и (3) значения проекций скорости и скорости звука, согласно совокупности равенств (9), и пренебрежем произведениями возмущений и их производных по координатам, как малыми второго и высших порядков. В этом приближении будем иметь [c.212]

Если на эту систему наложить напряжения от постоянного изгибающего момента Mq (считая его положительным при изгибе балки выпуклостью вниз), то мы получим для полных напряжений следующие приближенные формулы, считая, что отношение rjl достаточно мало для того, чтобы мы могли пренебречь членами в (5.152) — (5.154), содержащими его во второй и высших степенях [c.386]

Если при решении той или иной задачи можно ограничиться линейным приближением (взаимодействие второго и высших порядков отсутствуют или пренебрежимо малы), то полный факторный эксперимент 2 также оказывается недостаточно эффективным, особенно при большом к. При линейном росте числа независимых переменных число опытов для полного факторного эксперимента 506 [c.506]

Применяя рассуждения, аналогичные тем, которые ранее были использованы для решения задач об одномерном распространении малых возмущений в газе ( 26), подставим в уравнения (2) и (3) значения проекций скорости и скорости звука, согласно совокупности равенств (9), и пренебрежем произведениями возмущений и их производных по координатам, как малыми второго и высших порядков. В этом приближении будем иметь [c.279]

При малых скоростях и все эти выражения можно разложить в ряд по малому параметру и/с. Пренебрегая величинами второго и высшего порядка малости относительно и/с и замечая, что t < А = из (6.119) — (6.122) имеем h — hP [А = [А g = [a u t = t . Таким образом, в данном приближении мы получили уравнения нерелятивистской механики континуума в полном Соответствии с общим требованием для релятивистского обобщения нерелятивистских теорий. [c.138]

Повидимому, определению границ частоты в опытах Кольрауша сильно способствовала приближенная разрывность импульсов. В самом деле, вспомним, что рассматриваемые внутренние вибраторы— не только такие, период которых располагается вблизи интервала между ударами, но и такие, периоды которых представляют приближенно делители этого количества. Для вибраторов с частотой в октаву число импульсов практически удваивается, для дуодецимы утраивается и т. д. — точно так же, как в оптике разрешаюш,ая сила решетки с ограниченным числом линий увеличивается для спектров второго и высших порядков. [c.436]

Теория явления дифракции света на ультразвуке была подробно рассмотрена Рытовым [282]. Случай, который ближе всего подходит к условию рассеяния света, соответствует слабому звуковому полю (бриллюэновское приближение). Требование малой интенсивности акустического поля физически означает, что интенсивности второго и высших порядков дифракционных максимумов малы не только по сравнению с интенсивностью нулевого максимума, но и по сравнению с интенсивностью первого дифракционного максимума. Это условие приближает нас к соответствующим условиям рассеяния света и легко осуществляется и контролируется на опыте. [c.203]

Первые два члена, деленные на a /g, дают приближенную формулу для действия W, выведенную в [3]. При уравновешивании вала как твердого тела и устранении первой формы они компенсируют соответствующие члены исходной неуравновешенности. Третий член (сумма) характеризует влияние с учетом скоростного множителя высших гармоник прогиба. В том, что до 4 оно относительно невелико, можно убедиться сравнением второго и третьего членов. Например, для Vi = 3 даже при = = 0,07 модуль второго члена равен 0,315, а модуль третьего меньше, чем [c.80]

На рис. 1.6 приведены осциллограммы, иллюстрирующие деформацию огибающей коротких импульсов, распространяющихся вблизи узких резонансов в атомных парах [22J. В эксперименте использовались хорошо сформированные короткие импульсы, перестраиваемые по частоте (рис. 1.6а). Видно, что при приближении частоты импульса к резонансной роль дисперсии среды возрастает при длительностях То 10 с отчетливо проявляются эффекты не только второго, но и высших порядков. На рис. 1.66, е амплитуды наибольших пиков в выходных импульсах соответственно в 1,3 и 1,5 раза больше, чем амплитуда входного импульса [22J. [c.36]

Заметим, что в частном случае для линейного закона движения границы оно совпадает с известным (см. [5.5, 5.7], а также 5.5). При таком подходе легко строятся решения во втором и более высших приближениях (см., например, 3.8). [c.225]

Принципиально метод последовательных приближений пригоден и для отыскания третьей и высших частот собственных колебаний. Нужно лишь каждый раз задаваться функцией смещений, ортогональной ко всем предыдущим собственным функциям. Практически, однако, для частот выше второй этот метод не применяется вследствие сложности выкладок и медленной сходимости. [c.355]

Но при этом следует иметь в виду еще одно обстоятельство. В случае если данный функционал обладает экстремальными свойствами, то предложенные приближенные прямые методы дадут приближенное уравнение или численные данные, определяющие искомую экстремаль. Однако остается невыясненным, будет ли этот экстремум максимум или минимум заданного функционала, так как найденная экстремаль еще ничего не говорит об этом. Во-вторых (что, пожалуй, еще важнее), вполне возможен случай, когда заданный функционал имеет первую вариацию, равную нулю (что и доставляет нам определенную экстремаль / (д )], а экстремума все-тахи не имеет. Вполне строгое с математической точки зрения обоснование и требует исследования второй вариации функционала, как требуется исследование второй (или высших) производной в дифференциальной задаче. Для реальных же случаев применения вариационных методов в задачах вариационного характера при исследовании динамических систем можно избежать этих относительно тяжелых моментов исследования. Обычно решение вопроса о том, имеет ли экстремум характер максимума или минимума, решается легко самим существом задачи, а второе условие достаточности может потребовать после нахождения экстремали дополнительных подсчетов обратного характера, т. е. вычисления значений функционала по найденному виду у (х) в интересующей нас области х, как значений практически реализуемых, и некоторых изменений параметров найденной функции. [c.244]

Настоящая глава посвящена в основном элементарному рассмотрению спонтанного нелинейного эффекта — двухфотонного излучения нагретого вещества [184],- В 5,1 обсуждается связь многофотонных переходов и высших моментов поля, В 5,2 эти моменты с помощью теории возмущений выражаются через равновесные моменты вещества, что позволило в 5,3 оценить третий момент поля, излучаемого нецентросимметричным веществом. В 5.4 с помощью кинетического уравнения и эффективного двухфотонного гамильтониана выводится приближенный нелинейный ОЗК, дающий связь между вторыми и четвертыми моментами теплового излучения (ТИ) и кубической матрицей рассеяния (МР) излучателя. В конце 5.4 рассмотрен ОЗК для случая, когда одновременно разрешены одно- и двухфотонные переходы (при этом третий момент ТИ выражается через квадратичную МР), [c.149]

Кроме двух указанных, известны и другие приближенные методы решения задач об изгибе и кручении стержней. С одной стороны, имеются разновидности вариационных методов, а с другой стороны, разработан ряд методов, которые нельзя назвать вариационными. К числу последних относятся так называемые методы малого параметра, сущность которых заключается в следующем. Если, например, один размер сечения значительно превышает другой или модули (или коэффициенты упругости aij) значительно отличаются друг от друга, то вводится малый параметр, характеризующий это различие. Неизвестная функция (г]) или Ф) разыскивается в виде ряда, расположенного по степеням малого параметра в процессе решения задачи высшие степени параметра, начиная, например, со второй, отбрасываются, как величины высшего порядка малости. [c.330]

Перейдем к построению высших приближений. Операторы (см. 2) - это дифференциальные операторы по и V не выше второго порядка с полиномиальными по V коэффициентами. Пусть = К/, тогда , где Г,iv) - некото- [c.59]

Из равенства (2.4.38) видно, что при значениях т, близких к с , коэффициенте, становится неограниченным, и разложение (2.4.37) нарушается. Можно показать, что при т = с высшие приближения более сингулярны, чем второй член. [c.58]

В приложениях, в основном, используются первое и иногда второе приближения. Высшие приближения в конкретных задачах обычно не [c.217]

При создании этих моделей были достигнуты определенные успехи [3], однако обострились известные трудности и противоречия. Помимо того что уравнения высших приближений метода Чепмена - Энскога очень сложны, имеются и принципиальные "дефекты" [3]. Во-первых, в силу высокого порядка систем уравнений сохранения необходимы дополнительные граничные условия. Соответствующая теория не разработана, при численном решении применяются качественные соображения. Во-вторых, эти уравнения обладают ложными (посторонними) решениями, необходимость исключения которых усиливает требования к постановке задачи. В-третьих, данные уравнения неустойчивы к коротковолновым (Кп 1) возмущениям. При расчете стационарных задач методом установления для подавления неустойчивости вводились специально подобранные демпфирующие слагаемые более высокого порядка по Кп (см. [1-3]). Однако это усложняет проблему граничных условий, так как повышается порядок эмпирически полученных уравнений. [c.187]

Штрих означает производную . Здесь Р ж Q — заданные функции Z. Это дифференциальное уравнение второго порядка — фундаментальное в электронной оптике им в основном и определяется образование изображения в электронном микроскопе ). Чтобы исследовать аберрации, нужно привлечь приближения высших порядков ). [c.113]

Во-вторых, встречаются случаи, когда, интересуясь невозмущенной системой, мы просто пренебрегаем влиянием составных частей этой системы. В качестве примера можно привести движение Луны вокруг Земли. В первом приближении можно считать как Луну, так и Землю точечными частицами, движущимися по орбитам, определяемым исключительно силами тяготения, действующими между двумя точечными массами. Но это решение безусловно должно быть скорректировано как на влияние Солнца на орбиту Луны, так и на тот факт, что Земля отнюдь не является абсолютно твердым телом, а напротив, в высшей степени подвержена деформациям, поскольку она покрыта океаном, испытывающим приливы и отливы. Мы не станем вдаваться здесь в эту тему — она более подходит для курса небесной механики. [c.183]

К. э. нельзя учесть в рамках обычной теории возмущений второе приближение для энергии электронного газа приводит к логарифмически расходящимся выра>кениям, т. к. влияние кулоновского взаимодействия вследствие его дальнодействия нельзя считать малым. Расходимость остаётся и в более высоких приближениях. Для вычисления второго и высших приближений для энергии электронного газа, т. е. для вычисления К. з., необходимо пользоваться усовершенствованной формо11 теории возмущений. [c.467]

Заметим, что ввиду допущения о малости перемещения, мы не делаем никакого различия между начальным, т. е. ненагруженпым, положением тела и конечным, т. е. получившимся после перемещения. В строительной механике стержневых систем, а также в теории малых колебаний это допущение является обычным оно, кроме того, соответствует решению в первом приближении в тех случаях, когда учитывается нелинейность, связанная с учетом влияния составляющих перемещений второго и высших порядков малости. [c.247]

Выражение (6.7) определяет операцию выделения вибрацион-hjdIX функций из уравнений (6.4), (6.5) путем перехода от простого усреднения за период ко второму или высшим приближениям. При этом предполагаем, что время корреляции функции гр (/) значительно меньше периода собственных колебаний системы. Функции Сд и определяем усреднением функций G и Н по Ф функции Ga и Яз определяют невибрационные члены соответственно в выражениях [c.235]

Более подробно исследование этого уравнения для тел простейшей геометрической формы (пластина, цилиндр, шар) было проведено Е. С. Платуновым [70], который решение уравнения (2.38) методом последовательного приближения строит в несколько этапов. На первом из них уравнение решается в нулевом приближении при отброшенных поправочных членах. Второй этап дает решение в первом приближении. Для этого в уравнении сохраняются поправки первого порядка малости, а поправки второго и высших порядков малости отбрасываются, после чего уравнение линеаризуется путем приближенного преобразования оставшихся поправочных членов в свободный член уравнения через найденное уже решение в нулевом приближении. Третий этап дает решение во втором приближении. На этом этапе сохраняются поправки первого и второго порядков малости и по аналогии с предыдущим этапом приближенно преобразуются в новый свободный член уравнения. При этом для преобразования поправок первого порядка малости у же используется решение первого приближения, а для поправок второго порядка—решение нулевого приближения. Каждый последующий этап приближения проводится по изложенной схеме и дает решение более высокой точности. [c.69]

Методы синтеза плоских механизмов применительно к отдельным конкретным механизмам с низшими парами, разрабатывались у нас и за рубежом еще во второй половине XIX в. и в первые Ae HXHnetnH XX в. Немецкие ученые в основном развивали геометрические методы синтеза, основанные на идеях выдающегося немецкого ученого Л. Бурместера. Советские ученые уделяли большое внимание аналитическим методам синтеза, истоки которьсх в работах П. Л. Чебышева. В качестве основного математического аппарата была использована теория приближения функций, при этом наибольшее развитие получили методы интерполирования функций, наилучшего приближения и квадратического приближения. Развиты были также методы, использующие тригонометрические ряды. При решении задач синтеза плоских механизмов с низшими парами использовались и комбинированные приемы, сочетающие метод геометрических мест синтеза с методами, основанными на использовании теории приближения функций. Разработанные советскими учеными методы приближенного синтеза механизмов в 60-х годах были расиространепы и на некоторые виды механизмов, образованных не только низшими, но и высшими парами, например рычажно-зубчатые, рычажно-кулачковые и др. [c.28]

Линейная теория обтекания тел сверхзвуковым потоком оказалась эффективным средством в решении ряда важных задач, выдвигавшихся практикой, хотя и могла быть использована лишь для анализа течений около тонких тел 330 и при малых углах атаки. Эта теория, основанная на предположении малости возмущений, не позволяла исследовать такие свойства действительного ното-ка, как образование ударных волн, непостоянство скорости звука в потоке, перенос возмущений с местной скоростью звука и т. д. Чтобы учесть влияние хотя бы одного из этих факторов, необходимо пользоваться точными нелинейными уравнениями газовой динамики, а при приближенном решении таких уравнений применять высшие приближения. Некоторые нелинейные задачи сверхзвуковой аэродинамики рассмотрены Ф. И. ФранклемиР. Н. Алексеевой (1934), А. Буземаном (1935), построившим приближение второго порядка для распределения давлений по поверхности тела, К. Фрид-рихсом (1948), распространившим метод Буземана на случай сверхзвукового обтекания профиля со скачками уплотнения. [c.330]

Трусделл, 1962) было высказано предположение, что во втором приближении матрица несимметрична (другими словами, по мнению Трусделла соотношения Стефана-Максвелла (2.3.29) не носят универсального термодинамического характера, а являются математическим феноменом, присущим лишь первому приближению теории Чепмена-Энскога). Позднее, в работе Макенфус, 1973) предпринималась попытка получить соотношения (2.3.28) из кинетической теории газов в любом приближении, но был сделан неверный вывод о том, что поправочные множители к бинарным коэффициентам диффузии (учитывающие высшие приближения при разложении возмущенных функций распределения отдельных компонентов в ряды по полиномам Сонина-Лаггера) зависят только от числа приближений теории Чепмена-Энскога и числа N (количество компонентов в системе), но не зависят от самих взаимодействующих компонентов кроме того не был получен явный вид этой поправки. Обобщенные соотношения Стефана-Максвелла и формулы для поправок к бинарным коэффициентам диффузии в любом приближении коэффициентов молекулярного переноса были выведены для частично ионизованных смесей впервые в работе Колесниченко, 1979) (в которой был рассмотрен предельный случай нулевого магнитного поля) и в работах Колесниченко, 1982 Колесниченко, Маров, 1982) (с учетом сильного магнитного поля, вносящего анизотропию в коэффициенты переноса). Там же была показана симметрия коэффициентов сопротивления в полном согласии с соответствующим результатом термодинамики необратимых процессов Колесниченко, Тирский, 1976). [c.99]

Эти и другие явления, присущие всем высшим приближениям, начиная с третьего, требуют для своего рассмотрения одновременного использования методов нелинейной акустики и теории ударных волн [58, 97]. Поэтому если второе приближение иногда называют приближением квазипростых волн [17], то все более высокие уместно было бы называть газодинамическими приближениями. [c.178]

Как независимо разъяснили Кадомцев (1964) и Крейчнан (1964в), непригодность приближения прямых взаимодействий для описания статистического режима мелкомасштабных компонент развитой турбулентности объясняется невозможностью в рамках этого приближения корректным образом учесть перенос мелкомасштабных неоднородностей крупномасштабными компонентами поля скорости и отделить этот перенос от деформации мелкомасштабных неоднородностей, определяющей их эволюцию. Тот жё недостаток сохраняется и в предложенном Крейчнаном (1961) втором приближении метода стохастических моделей (в котором первым является приближение прямых взаимодействий ) это высшее приближение кое в чем улучшает исходное приближение прямых взаимодействий , но и оно приводит к неверной [c.376]

Тем же путем можно построить высшие приближения. Ли и Шеппард [1966] получили второе приближение. [c.103]

В предыдущих параграфах было показано, что метод растянутых координат является мощным средством для построения равномерно пригодных разложений в различных физических задачах. Однако, несмотря на успех при исследовании гиперболических дифференциальных уравнений для волн, распространяющихся в одном или в двух направлениях, этот метод не может быть применен для построения равномерно пригодных разложений эллиптических дифференциальных уравнений. Хотя Лайтхилл [1951] и получил равномерно пригодное разложение до второго порядка для обтекания несжимаемой жидкостью тонкого кругового крыла, Фокс [1953] нашла высшие приближения, которые не являются равномерно пригодными. Она доказала также, что для обтекания тонкого крыла сжимаемым газом не может быть получено равномерно пригодного разложения даже второго порядка. В связи с этим Лайтхилл [1961] в более поздней статье рекомендовал применять его метод только для гиперболических дифференциальных уравнений. Несмотря на это, Вальо-Лорен [1962] успешно применил этот метод в сочетании с методом интегральных соотношений в задаче о тупом теле (смешанная краевая задача). Более того, Эмануэль [1966] и Куйкен [1970] успешно применили этот метод к параболическим задачам, связанным с исследованием нестационарного турбулентного потока при диффузии и химических реакциях, а также потока вдоль наклонной поверхности, вызванного сильным впрыскиванием жидкости. [c.113]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...