Соотношения между деформациями и смещениями

При ЭТОМ усилия И моменты выражаются через деформации согласно (4.4) гл. II. Соотношения между деформациями и смещениями можно использовать в такой форме [c.63]

Уравнения (5.51) вместе с уравнениями равновесия и кинематическими соотношениями между деформациями и смещениями теории малых деформаций составляют замкнутую систему уравнений. Можно показать, что эта система принадлежит к Эллиптическому типу, если выполняется условие / (/) > 0. [c.244]

Описанную выше процедуру можно распространить на трехмерный случай, если рассмотреть тройную точку в углу, чтобы представить разрыв усилий. Для граничной задачи с заданными смещениями в угловом узле мы будем иметь три уравнения, содержащие девять неизвестных (в противоположность двум уравнениям с четырьмя неизвестными для обсужденного выше двумерного случая). Из шести требующихся дополнительных соотношений три могут быть получены из условия симметрии тензора напряжений (Oi2 = = 02i, Oi3 = Osi и 023 = Озг), а три остальные следуют из инвариантности следа тензора деформаций и соотношений между деформациями и смещениями на поверхностных элементах, сходящихся в угловом узле. [c.198]

Если учесть симметричность тензора напряжений а также связь между напряжениями и деформациями и соотношения между деформациями и смещениями, то объемный интеграл в (14.43) можно преобразовать к виду [c.399]

Соотношения между деформациями и смещениями Для малых деформаций и смещений имеют место следующие зависимости = Эм/Йх , = ди/ду + Эу/Эх, или в матричной форме [c.18]

Рассмотрим выражение (3.1), а также уравнения пьезоэлектрического состояния (2.76), выражение для связи между напряженностью электрического поля и потенциалом (2.9) и соотношение между деформацией и смещением (1.11). Предположим, что ориентация пластины в прямоугольной системе координат соответствует показанной на рис. 3.1, а ее толщина, ориентированная в направлении оси Хг, равна 2а. Согласно работам [32, 36], разложим механическое смещение и,- и электрическое смещение Dj в степенной ряд по координате дгг [c.65]

Для вывода соотношений между деформациями и перемещениями рассмотрим малое смещение из недеформированного состояния АВСО в деформированное состояние А В С О для бесконечно малого элемента, изображенного на рис. 4.5. В результате деформации имеем для малых (линейных) деформаций [c.113]

Предварительные замечания. Линейное волновое уравнение всегда является в теории упругих волн приближенным уравнением закон Гука ( 1)—приближенный закон при выводе волнового уравнения для газов и жидкостей ( 4) мы заменяли истинное нелинейное соотношение между давлением и деформацией линейным при выводе волнового уравнения струн мы заменяли истинное нелинейное соотношение между силой и смещением линейным соотношением. Но в действительности в акустике наблюдаются при не очень малых деформациях нелинейные явления. Особенно большое не только теоретическое, но и практическое значение имеют нелинейные явления в газах. Их рассмотрением мы здесь ограничимся, [c.230]

Приведем, следуя [124], соотношения. между введенными выше аналитическими функциями, имеющие место на плоскости 2 = 0. Заметим, что в этом случае 6 = 0i = 02 = /х. Для их вывода буде.м использовать краевое условие (10.6), а также соотношения (5.53) и (5.54) гл. III и соотношения, связывающие деформации и напряжения со смещениями. Вводится одна функция [c.448]

Гибкие роторы. Если расстояние между опорами ротора зпа чительно больше его диаметра, то при определении допустимых дисбалансов следует принимать во внимание деформации изгиба ротора или его вала. Для установления основных соотношений между деформациями изгиба и величинами дисбаланса рассмотрим простейший случай вертикального вала, на котором укреплен диске массой т (рис. 96). Центр масс S диска смещен от оси вала на величину е. Массой вала пренебрегаем. При вращении вала с угловой скоростью й центробежная сила диска вызывает изгиб вала. Обозначим через у прогиб вала в сечении, где укреплен диск. Тогда центробежная сила инерции получит значение [c.327]

Как было показано мною (1948 г.), это явление можно описать,, не делая никаких предположений относительно механизма, объясняющего соотношения между напряжениями и деформациями. Если бы мы предположили, что реактивные силы или напряжения возникают вследствие изменения расстояния между материальными точками тела, а не между плоскостями, то из рис. XXI. 2 видно, что в направлении смещения не было бы никакого растяжения, а в перпендикулярном ему направлении происходило бы сжатие. В то время, как после деформации расстояние между точками на линиях ас и bd остается неизменным, расстояние между точками линий аЪ и d уменьшается. Можно показать, что при обычных выражениях для зависимостей упругости между напряжениями и деформациями все зависит от того, как определить деформацию в зависимости от этого можно получить или растяжение, или сжатие. Однако нельзя допустить, чтобы наше определение деформации приводило к противоречию с экспериментальными результатами. Поэтому в обычном функциональном представлении зависимостей напряжение — деформация имеется некоторый недостаток. Я показал, как можно исправить положение, учитывая вторые степени тензоров (1948 г.) [c.353]

В качестве дополнительного контроля соотношения между скоростью и деформацией я находил также с помощью оптической техники определения смещений, которая была создана мною в конце [c.250]

Перейдем теперь к формулировке некоторых важных принципов, касающихся энергии деформации и составляющих основы расчета конструкций. Представим себе, что на конструкцию действует п нагрузок Ри Р ,. .. у Рп и что эти нагрузки вызывают соответствующие перемещения 61, ба,. . б . Как и в предыдущих рассуждениях, очевидно, что величины Рид представляют силы и соответствующие им перемещения в обобщенном смысле таким образом, сюда могут входить сосредоточенная сила и смещение, сосредоточенный момент и поворот, две силы и относительное смещение, два сосредоточенных изгибающих момента и относительный поворот. Ясно также, что конструкция может обладать нелинейным поведением, а это означает, что соотношение между силой и соответст- [c.491]

Характер погрешностей, возникающих вследствие тепловых деформации, зависит от скорости деформаций, характера технологической операции и времени, затрачиваемого на ее выполнение, и других факторов. Так, если на станке, имеющем рассматриваемую компоновку, производится расточка, а соотношение скорости деформаций и времени выполнения операций таково, что за время выполнения операций шпиндель получает заметные смещения, то тепловые деформации внесут погрешности в расстояния между осями обработанных отверстий, при этом оси отверстий, обработанных позднее, будут наклонены к оси 2 под углом ф = Ф1 + Фз- [c.171]

Построение матрицы жесткости для этого элемента осуществляется обычным способом. Поля перемещений (10.15) дифференцируются согласно соотношениям между перемещениями и деформациями (10.2). Приходим к формулам преобразования узловых смещений в деформации [c.317]

Итак, в отличие от предыдущих уравнений теории деформации, вид дифференциальных соотношений между компонентами деформации и смещения зависит от выбранных криволинейных ортогональных координат. [c.31]

Формула (24.7) представляет собой закон Гука для деформации растяжения-сжатия в дифференциальной форме, который устанавливает локальное соотношение между напряжением и деформацией, связывая значения напряжения и производной смещения по координате в одной и той же точке среды. [c.83]

Что касается бегущей волны деформаций, то при отражении от закрепленного конца стержня она не изменяет фазы (так же, как не изменяется знак деформации для отдельного импульса). Соотношение между фазами падающей и отраженной волн для д ормаций будет не таким, как для смещений и скоростей, вследствие чего узлы деформаций получатся не в тех местах, где узлы смещений. Можно было бы, складывая падающую и отраженную волны деформаций, как это было сделано для волны смещений, найти места узлов и пучностей деформаций. Но и без этих расчетов можно сказать, что на закрепленном конце стержня должна получиться пучность деформации, так как в этом месте падающая и отраженная волны деформаций совпадают по фазе. [c.685]

Из приведенных данных следует, что погрешность лежит в пределах 2%. Обратимся еще к решению (8.26) гл. III. Ввиду указанного расположения полярной системы координат получаем, что постоянные S и D равны нулю, а между постоянными А и С должно иметь место соотношение (8.31) гл. III. При использованных в расчетах значениях a = /i,K и Я = 0,545 получаем V2 = 1,8666 и 1 = —0,6675. Таким образом, все смещения, деформации и напряжения в окрестности угловой линии оказывается ВОЗМОЖНЫМ выразить через одну постоянную, допустим, С. Приведем представления для деформаций ер и ев при 0 = 0, исходя из (8.26) гл. III и (2.37) гл. II. Имеем [c.584]

Картина распространения усталостной трещины в тонких плоских образцах при повторном растяжении существенно усложняется. В тонких образцах трещина вначале распространяется по. плоскости, нормальной к приложенному переменному растягивающему напряжению. По мере ее роста увеличивается и примыкающая пластическая зона. При критическом размере зоны, зависящем от толщины пластины, плоскость излома меняет свое направление и располагается под углом 45° к поверхности, при этом существенно возрастает скорость роста трещины. Этот тип распространения усталостной трещины можно считать скорее типом П1 антиплоской деформации (см. гл. П, раздел 11 и гл. V, раздел 4), чем плоского напряженного состояния. Он наблюдается в тех случаях, когда упругий продольный изгиб пластины вызывает боковые относительные смещения верхней и нижней частей образца, непосредственно примыкающих к трещине. Обратная пластическая деформация концентрируется в узкой полосе скольжения по плоскости, наклоненной под углом 45°. Соотношения между смещением вершины трещины п Авр численно отличаются от таковых в условиях плоского напряженного состояния или плоской деформации. [c.242]

Если рассмотреть смещение узла А в процессе деформации системы (рис. 22, б), то можно установить соотношение между относительными деформациями центрального 1 (bi) и крайних стержней 2 (Ej) в виде 8i = 2б2. (3.11) [c.65]

Вектор вращения. Вектором смещения и (л , 1) каждой точки х рассматриваемой сплошной среды в любой момент времени I вполне определяется картина деформации. Но материальную среду естественно представить не как сплошную, представляющую множество математических точек трехмерного евклидова пространства, а как совокупность материальных частиц. Таким представлением мы уже пользовались выше, при введении напряжений и при выводе основных для теории упругости соотношений между напряжениями в точке. Тогда элементарный объем среды мы рассматривали как твердое (жесткое) тело и применяли к нему законы статики. [c.16]

Обозначая три компонента смещения при пластической деформации через и, V, 731) и применяя формулы (3.83) и (3.86), мы получим для пластической деформации следующие соотношения между величинами (14.111) и (14.112) [c.392]

Угол сетки у является наибольшим острым углом между направлением синусоидальной канавки (осью симметрии канавки) и осью абсцисс плоскости развертки цилиндра. Этот угол зависит от соотношения скоростей возвратно-поступательного движения инструмента и вращательного движения заготовки и в значительной степени определяет характер пластической деформации — направление смещения металла выступов неровностей исходной поверхности под сферой инструмента и его деформирующее воздействие, так как чем больше величина угла х, под которым шар пересекает выступы неровностей, тем меньше сопротивление пластическому деформированию металла. [c.12]

Картина деформаций схематически показана на рис. 7.4, в. Прежде совпадающие по вертикали (на рис. 7.4, в) точки В вблизи середины нахлестки и точки С на ее концах смещаются на неодинаковые отрезки и е , причем концевые смещения оказываются значительно большими (е 1), поэтому максимальные напряжения в соединяющем слое возникают у обоих концов нахлестки. Чем больше длина нахлестки (соединения), тем больше разница между средними напряжениями по длине нахлестки и максимальными на концах. Исходя из этого, ограничивают длину соединения некоторой оптимальной величиной, определяемой соотношением податливостей соединяемых и соединяющих элементов, [c.84]

Назначение датчика — преобразовывать смещение упругого рабочего элемента динамометра в величину, удобную для отсчета. Датчик может измерять перемещение (механические, гидравлические, оптические датчики), либо величину зазора между перемещающейся и неподвижной частями (пневматические, емкостные, индуктивные датчики), либо, наконец, непосредственно упругую деформацию рабочего элемента (проволочные тензодатчики). Во всех случаях, однако, датчик выполняет роль измерителя линейного перемещения, и его основная характеристика — чувствительность — определяется соотношением между уровнем сигнала на выходе датчика и величиной перемещения, вызвавшего этот сигнал. Чувствительность датчика зависит от его размеров, конструкции и т. п. и даже для одного типа датчика может изменяться в широких пределах. [c.19]

В этом случае смещение края фланца может быть найдено по формуле (181). Если дополнительно принять, что в промежутке от Гг до г2 заготовка утоняется, причем минимальная толщина при р = Ti определяется соотношением = Sq (1 — ifi ), соответствующим деформации до предела прочности при плоском деформированном состоянии, а при р = /"г толщина равна Sq, то увеличение поверхности заготовки в зазоре между пуансоном и матрицей (от г до Га) может быть приближенно оценено коэффициентом, 2s 2 [c.188]

Подставляя выражения (6.26) в соотношения между деформациями и смещениями и используя зависимость между напряжениями и деформациями, получаем псевдонапряжения [c.168]

Подставляя уравнение (12.30) в (12.26) и используя соотношения между деформациями и смещениями (12.27), мы получим основные дифференциальные уравнения упругопластического течения (см. работы Линя [25, 26], а также Сведлоу и Круза [27]) [c.341]

Мы можем представить себе воображлемое упругое тело, для которого объемные силы и граничные условия при задании усилий модифицированы согласно уравнениям (12.32) и (12.33). Поле смещений, полученное из решения уравнения (12.32), будет поэтому верным для реального упругопластического тела. Напряжения, соответствующие этому полю смещений, должны определяться соотношениями между напряжениями и деформациями, присущими теории упругости в упругих областях и упругопластической теории в упругопластических областях. [c.342]

Межкристаллитная деформация, как сказано ранее, выра-Л Гается в относительном смещении зерен одного относительно другого. При этом на соотношение между внутрикристаллитной и межкристаллитной деформациями поликристалла оказывает влияние различие свойств металла внутри зерен и по их границам. На границе зерен существует переходный слой, в котором закономерность расположения атомов резко нарушается. Отсутствие закономерного расположения атомов в пограничных слоях зерен является следствием взаимодействия атомов смежных зерен, неправильности их формы и взаимного надавливания зерен при кристаллизации из расплава. Кроме того, при затвердевании расплава по границам зерен скапливаются нерастворимые примеси. Таким образом, пограничные слои зерен отличаются от внутренних слоев физико-химическими свойствами. Отсутствие правильности строения металла в пограничных межзеренных слоях приводит к тому, что атомы в этих слоях не находятся в положениях, соответствующих минимуму потенциальной энергии. Отсюда следует, что их подвижность может быть больше, чем во внутренних слоях зерен, а их относительное перемещение (происходящее не по каким-либо определенным плоскостям) может требовать относительно меньших касательных напряжений. Однако возможность относительного смещения атомов в пограничных слоях не всегда больше, чем для внутренних слоев, в которых скольжение осуществляется перемещением дислокации. [c.35]

При решении задач методом конечных элементов надо иметь в виду одно обстоятельство, касающееся связи между деформациями и перемещениями выделение движения тела как твердого целого. Выражения для деформаций не содержат такого движения, однако оно фигурирует в перемещениях. Следовательно, при определении деформаций путем дифференцирования перемещений из искомых соотношений исключается движение тела как твердого целого. Например, для линейного элемента горизонтальное смещение точки может быть задано выражением (рис. 4.6) и=й1- -агХ, из которого следует, что гх=йи1йх=а . [c.114]

Одних только уравнений движения сплошной среды в напряжениях и уравнений несжимаемости недостаточно для нахождения поля скоростей (или поля смещений). Для определенности задачи необходимо еще охарактеризовать соотношение между компонентами тензора скоростей деформации (или тензора деформации или, в общем случае, некоторого кинематического тензора, построенного с помощью этих тензоров) и компонентами тензора напряжений, причем эти соотношения должны обладать некоторыми свойствами, определяемыми тензорностью величин. Связь между напряжениями, деформациями и их производными по времени называется уравнением (функцией) реологического состояния. Важным частным случаем уравнения состояния является уравнение течения, которое определяет собой зависимость между скоростями деформаций и напряжениями. Ниже рассматриваются, во-первых, задачи в условиях простого напряженного состояния, когда существует лишь одна составляющая тензора напряжений и соответствующая ей составляющая тензора скоростей деформаций, во-вторых (за исключением, когда это особо не оговаривается), только те случаи, когда скорость деформации — непрерывная однозначная 12 [c.12]

Все остальные соотношения теории оболочек (уравнения равновесия, неразрывности, связи между компонентами деформации и обобш,енными смещениями) остаются без изменений. [c.203]

Свободная открытая) осадка сплошного стержня (см. операцию Ai, гл. /, табл. /). Сжатие металла между элементами штампа сопровождается свободным радиальным течением, заторможенным только контактным трением. Фасоииое поперечное сечение по мере осадки приближается к кругу. Уменьшение бочкообразности и необходимый профиль боковой поверхности могут быть достигнуты применением пуансонов в виде усеченного конуса. Огсутствие жесткого направления элементов штампа вдоль оси заготовии, отклонение от перпендикулярности торцов заготовки к главной оси, нарушение соотношения между высотой Н и диаметром D заготовки до штамповки [(НЮ) 2] вызывают относительное смещение торцов, искривление волокна и главной оси заготовки и отклонение формы от номинальной поверхности заготовки в целом. Отклонение от симметричности обусловливает резкое снижение продольной устойчивости заготовки и повышение поперечных сил, действующих на пуансон при выдавливании полости. В наружных боковых слоях, особенно в средней части высоты заготовки, возникают растягивающие тангенциальные напряжения, снижающие деформируемость заготовки и качество детали (разрыхляется металл, могут образоваться макро- и микротрещины). Область применения. Калибровка по высоте, получение параллельных торцов заготовки при деформации 6 0,18. Уменьшение отношения HlD. Плоскостная калибровка заготовок. Удаление окалины с горячекатаных заготовок. [c.99]

Имеет значение решение задач определения критического времени на основе уравнений, более точно учитывающих физическую нелинейность задачи, чем уравнения, полученные на основе линеаризации физических соотношений с использованием варьированного уравнения состояния. Нелинейный характер соотношений между скоростями деформаций ползучести и напряжениями приводит к нелинейному распределению напряжений по толщине оболочки. Возникающие в связи с этим трудности можно преодолеть приближенными приемами расчета, анализ которых проводился в [88]. Эффективный вариационный метод был предложен Сандерсом, Мак-Комбом. и Шлехте [292]. Законы распределения напряжений и смещений по толщине могут задаваться независимо, варьируются скорости напряжений и смещений. Ту же вариационную теорему рассматривал Пиан [281] для закона установившейся ползучести. На основб вариационного уравнения при задании того или иного закона распределения напряжений и смещений по толщине легко выводятся уравнения неустановившейся ползучести оболочек [59, 60, 90]. [c.274]

Приведенные в гл. 20 т. 1 уравнения равновесия оболочки, а также соотношения между компонентами смещения и деформациями срединной повер (ности и краевые условия [см. формулы (14), (30), (31)] не связаны со свойствами материала, поэтому в случае неупругой оболочки они остаются в силе без изменений. Если упрочнение материала описывается уравнениями де рмационной теории (см. гл. 3 т. 1), то приведенные в гл. 20 т. 1 [формулы (38)] зависимости между усилиями Л а, Т, моментами Ма, Н и деформациями срединной поверхности (ва, 8д, у, Хц, Ир, т) заменяют следующими [1, 19] [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...