Методы минимизации функции качества

Усовершенствованным методом градиента является метод наискорейшего спуска, в котором на каждом шаге производится минимизация функции качества вдоль направления градиента [c.198]

Необ.ходимо определить такие значения Ри, при которых достигаются минимальные значения е,-. Идеальным было бы, когда е = О, однако при I < К это недостижимо. Таким образом, пе обходимо сформулировать функцию качества Ф,. минимизация которой определит оптимальные значения Рп. Весьма распространенным является применение метода наименьших квадратов [2], при этом [c.52]

Для решения поставленной задачи нелинейного программирования существует множество методов [157—159]. Выбор наилучшего среди них является чрезвычайно сложной и труднодостижимой задачей при минимизации широкого класса функций. Эффективность того или иного метода определяется постановкой задачи, сложностью вычисления функции и ее производных, поведением функции и т. д. В качестве критерия сравнения методов в нашем случае целесообразно использовать объем вычислений значений функции качества в процессе решения задачи. Это объясняется тем, что вычисление целевой функции (функции качества) связано с обращением к цифровой модели и занимает основное время при решении задачи. [c.252]

Вообще говоря, последние две группы методов оказываются более эффективными, чем прямые методы (т. е. оптимум достигается здесь за меньшее число шагов), если можно достаточно просто и точно (аналитически или численно) рассчитывать производные. Однако во многих технических задачах, в том числе и в нашем случае, сделать это весьма сложно. Поэтому методы, использующие производные, исключены из рассмотрения. Прямые методы, в свою очередь, делятся на два класса детерминированные методы и методы случайного поиска. Методы случайного поиска [160] отличаются от детерминированных тем, что оптимизируемые параметры в процессе поиска минимума функции качества определяются с элементом случайности. Эти методы эффективны при большом числе переменных и сложных целевых функций (например, при наличии локальных экстремумов). Численные эксперименты показали, что при минимизации функции трех переменных, аппроксимирующей функцию (7.40), с помощью алгоритма случайного поиска с самообучением требуется в среднем в 3—5 раз чаще вычислять целевую функцию в процессе поиска, чем при минимизации детерминированными методами. [c.253]

Решение задачи существенно упрощается, если использовать методы штрафных функций, которые имеют одну общую черту во всех этих методах осуществляется преобразование задачи нелинейного программирования в одну (эквивалентную исходной) задачу без ограничений либо в эквивалентную последовательность задач без ограничений [163]. В процессе минимизации объединенной функции качества Роб (х) к функции Р (х) добавляется штрафная функция, которая способствует тому, чтобы вектор в некоторой степени удовлетворял исходному ограничивающему условию [c.256]

Таким образом, градиентный метод автоматизированной коррекции относится к методам минимизации оценочной функции, при которых эту функцию рассматривают как своеобразную характеристику качества изображения. [c.388]

Одним из решающих этапов в создании механизма, обеспечивающего приближенное воспроизведение заданной функции нескольких переменных, является целесообразный подбор элементарных функций, лежащих в основе аппроксимации. При этом в области задания воспроизводимой функции выбирается большое число точек, образующих достаточно плотную решетку, число измерений которой равно числу аргументов воспроизводимой функции. Затем значения элементарных функций подбираются так, чтобы в узлах решетки достигалась наилучшая в каком-нибудь смысле аппроксимация. В качестве критерия качества аппроксимации часто берется сумма квадратов уклонений (невязок) в узлах решетки, что приводит к методу наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов обладает рядом преимуществ, объясняющих его широкое распространение. Однако во многих случаях решающее значение имеет не среднее квадратичное уклонение, а максимальное по модулю уклонение, минимизация которого приводит уже к задаче чебышевской аппроксимации. [c.151]

Широко известен метод непосредственного сравнения эталонного и текущего изображений, рассматриваемых как двумерные функции яркости (или интенсивности), F x, г/), G x y) соответственно в выражении (5.11), или в дискретном виде — как двумерные дискретные матрицы с минимизацией расстояния р между этими изображениями вида (5.11). При использовании наиболее удобного и часто применяемого метода корреляционного сравнения имеет место условие си = 2 в указанном выражении. В качестве оценки меры близости часто используются значения коэффициента корреляции (нормированного, морфологического), отличающегося различными формами представления. [c.180]

Выбор структуры оператора Яо допускает, конечно, произвол, разумно регулируемый дополнительными физическими соображениями, но практически операторная структура Нд предопределена она выбирается той же, что у соответствующего типа идеальной системы (по той простой причине, что иных задач точно мы решать не умеем). Однако при этом эти свободные состояния берутся с новыми весами, играющими роль нового, эффективного спектра возбуждений (или эффективных полей типа молекулярного), которые определяются наилучшим образом с помощью уравнений минимизации, и учитывающими определенную часть эффектов взаимодействия частиц рассматриваемой системы. В следующем разделе этого параграфа мы в качестве примера используем вариационный метод к исследованию дискретных систем (И. А. Квасников, 1956). Вообще же он может быть применен и при рассмотрении непрерывных систем типа газа и даже в квантовой статистике, например в теории сверхпроводимости, где в качестве вариационных параметров выступают коэффициенты и— -преобразования операторных амплитуд, при этом варьирование по ним фактически означает, что в вариационную проблему включается не только определение наилучшим образом спектра возбуждений системы, но и наилучший поворот для пространства функций, описывающих эти возбуждения над новым основным состоянием системы. [c.692]

Большинство детерминированных методов носит эвристический характер. К ним относятся релаксационный метод, метод конфигураций, метод Розенброка, симплексный метод, метод деформи руемого многогранника и т. д. При минимизации функции качества по методу Пауэлла [161] направления поиска оказываются сопряженными относительно матрицы, аппроксимирующей матрицу Гессе функции Р (х). Использование информации о вторых частных производных функции приводит вблизи точки минимума к квадратичной скорости сходимости. Относительная простота и эффективность метода Пауэлла позволили принять его в качестве основного при поиске минимума функций качества. С использованием цифровой модели индукционного нагревателя непрерывного действия разработана программа оптимизации установок для градиентного нагрева заготовок [162]. Начальный вектор оптимизируемых параметров вводится в начале работы программы. В оптимизирующей процедуре используется относительное изменение параметров. Для этого начальное и конечное заглубление нормируется относительно длины заготовки, а число витков индуктора — относительно начального задания 1 и, т. е. [c.253]

Используя в качестве отправной точки (17.10), рассмотрим некоторые итерационные методы минимизации функции Р (X) = = (X) i (X). Эти методы отличаются выбором К и Гчасть из них относится к методам спуска Р (Х О Р (Х ], а в других используются градиенты (или сопряженные градиенты) функции Р (X). Поскольку в большинстве этих методов фигурируют некоторые аппроксимации градиента g, их обычно называют градиентными методами. [c.303]

Минимизируется функция / (llXjj) в Е с использованием r-1-l вершин деформируемого многогранника, где г=п — т — число степеней свободы целевой функции. Метод минимизации состоит в том, что вершина в у которой / ( Х ) максимально, проектируется через центр тяжести оставшихся вершин в направлении уменьшения / ( Х ). Улучшенные (более низкие) значения целевой функции находятся последовательной заменой точки с максимальным значением / ( Х ) на минимальное. В качестве критерия окончания поиска служил положительно определенный неубывающий функционал Ф [c.109]

Среди детерминированных методов поиска необходимо отметить также ряд методов, не связанных с вычислениями градиента функции качества метод Гаусса — Зей-деля [5.27], метод Пауэлла [5.28, 5.29], метод Розенбро-ка [5.30, 5.31] и др. В этих методах процесс минимизации осуществляется последовательно вдоль п ортогональных направлений, причем для каждой серии поиска может быть выбрана своя ортогональная система векторов. Такая стратегия поиска более инвариантна к положению функции относительно координатных осей и в ряде случаев позволяет более быстрым путем, не производя громоздких вычислений градиентов, находить экстремальные значения функции качества. [c.200]

Для подбора соответствующего полинома можрю применить несколько методов. Наиболее распространенным из них является метод минимизации суммы квадратов отклонений. Этот метод имеет много достоинств, однако, по свидетельству некоторых специалистов, он не лишен недостатков. Используя его для оценки наилучшей степени приближения, они получали тренд-поверхности, различающиеся рельефом. Это позволило утверждать, что применение способа наименьших квадратов без специальных мер может не дать положительных результатов. Причина заключается в том, что полиномы, особенно полиномы высоких степеней, на разных участках поля могут давать разные отклонения от экспериментальной основы, чего не учитывает рассматриваемый метод оценки. Вследствие этого метод наименьших квадратов оказывается непригодным для суждения о качестве аппроксимации на отдельных участках поля, иначе говоря, для оценки равномерности приближения, достигнутой с помощью той или иной аппроксимирующей функции. [c.215]

КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МЕТОД - вариационный сеточный метод, являющийся,в свою очередь, проекционным методом при специальных координатных функциях. Область определения искомой функции в КЭМ разбивают на конечные элементы треугольники, четырехугольники, тетраэдры и т.п. Внутри каждого элемента задаются функции формы,произвольные функции с числом параметров, равным произведению чиспа узлов элемента на число условий в этих узлах. В качестве координатных функций применяют функции, тождественно равные нулю всюду, кроме одного конечного элемента, внутри которого они совпадают с функциями формы. В КЭМ решение дифференциальных уравнений сводится к минимизации функционала, вследствие чего этот метод является вариационным. С другой стороны, КЭМ, является сеточным методом, т.к. исследуемую область разбивают на подобласти, образуя сетку. Повышенная точность схем КЭМ обусловлена добавлением не только узлов, расположенных на границах элементов, но и внутренних узлов. [c.30]

При минимизации градиентным методом функции без учета ограничений в качестве компонент вектора-градиента в (2-26) выступают производные (которые раньше назывались нескор ректп-рованными частными производными). [c.45]

Поставленную в п. а данного параграфа задачу нахождения параметров заданного уравнения регрессии линейного вида (1-232) путем минимизации средней квадратичной погрешности оценки искомой величины (1-237) можно решать также в процессе работы системы контроля на объекте с одновременным периодическим (после каждого опроса величин) уменьшением значений параметров уравнений (1-232) и использованием рассчитанного в каждом периоде работы системы значения у для заданных целей контроля объекта. Для этого могут использоваться рекуррентные алгоритмы восстановления функции, которые каждый период опроса используют в качестве исходной иинформации как текущие значения косвенных показателей, так и текущее значение искомой величины у. Последнее может поступать зашумленное значительной случайной помехой и приходит с запаздыванием, вызванным, например, необходимостью использовать для определения значения у ручные лабораторные методы анализа. Эти рекуррентные алгоритмы не накапливают исходную для расчета параметров информацию, а поэтому требуют небольшогд 178 [c.178]

Мы применили процедуру синтеза, обсуждавшуюся в разд. 9.10, к конструированию нестандартных электростатических линз с низкой сферической аберрацией. В качестве объективной функции был выбран коэффициент добротности СаооаЦи а для минимизации использовался модифицированный метод оптимального контроля. Первые результаты получились многообещающими. [c.551]

В этой главе рассматриваются итеративные методы решения обратных задач скалярной теории дифракции примешетельно к синтезу ДОЭ. Результаты, которые получаются с помощью итеративных методов, являются квазиоптимальными, так как они приводят к достижению локального минимума функционала-критерия или целевой функции. И сами итеративные методы получаются в результате решения вариационной задачи на экстремум целевой функции. В качестве такой фзшкции, как правило, используется среднеквадратичное отклонение заданной амплитуды светового поля в некоторой плоскости пространства от рассчитанной. Иногда вместо амплитуд сравниваются интенсивности, а вместо среднеквадратичного критерия выбираются критерии более высокого порядка. Итеративные методы, используемые в этой главе, можно разделить на две группы параметрические и градиентные. В параметрических алгоритмах один или два параметра, от которых зависит скорость сходимости алгоритма, остаются постоянными в течение нескольких итераций. В градиентных алгоритмах (сопряженного градиента или наискорейшего спуска) оптимальное значение шага вычисляется на каж/д,ой итерации. Кроме известных однопараметрических методов расчета ДОЭ, рассматриваются также двухпараметрические алгоритмы, полученные на основе минимизации функционала-критерия с регулярпзующим слагаемым. [c.49]

При использовании МКЭ расчетная область разбивается на конечное число подобластей, называемых конечными элементами. Для двухмерных задач наиболее часто в качестве конечных элементов используются треугольники и четырехугольники, для трехмерных — тетраэдры и параллелепипеды. В пределах каждого конечного элемента вводятся аппроксимирующие однотипные функции, которые равны нулю всюду, кроме как в соответствующем элементе и непосредственно примыкающих к нему подобластях. Для нахождения значений функций в узлах прилегающих друг к другу элементов составляется система алгебраических уравнений либо методом Ритца, основанным на минимизации функционала, выбираемого в соответствии с физическим смыслом задачи, либо методом Галеркина, в котором минимизируются ошибки решения задачи с помощью приближенной модели. Матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений является сильно разреженной матрицей ленточной структуры, в которой ненулевые элементы располагаются параллельно главной диагонали. Ширина ленты зависит от способа нумерации узлов. Рациональная нумерация позволяет добиться минимальной ширины ленты и повысить эффективность решения системы уравнений. МКЭ стимулировал развитие специальных методов решения систем с сильно разреженными матрицами [79, 80]. [c.97]

После краткого введения в вопросы полноты множеств двоичных элементарных логических функций была рассмотрена слабая полнота систем элементов, составленных из операций сложения и умножения по модулю р, являющемуся простым числом, и называемых арифметикой ССОК. Было бы разумно на базе этих компонентов непосредственно реализовать заданную переключающую функцию, хотя алгоритмы минимизации числа элементов в системе вычислений отсутствуют. Выполнение переключающих функций особенно привлекательно в ССОК благодаря широкому разнообразию методов их оптической реализации. Более того, характерной чертой почти всех оптических методов является возможность параллельной обработки в больших оптических апертурах. Этот факт указывает на огромные возможности параллельных вычислений для оптической многозначной логики. В то время как существуют аналоговые оптические методы для оптически закодированных периодических величин, таких, как фаза и поляризация, в большинстве методик оптического кодирования в качестве метода кодирования и управления модульными величинами используется пространственная координатная модуляция. Модуляция пространственного положения определяет величину динамического диапазона в области пространственных частот. Оптические системы могут достигать больших диапазонов пространственных частот. Можно рассматривать оптические многозначные логические системы как с электрической, так и с оптической адресацией. Большие достижения, полученные в последнее время в области волоконной и интегральной оптики, а также пико- и фемтосекундной оптики, показывают, что в ближайшем будущем могут стать жизненными оптические Многозначные логические системы. [c.139]

Б последнее время широкую известность приобрело одно из направлений диакоптики — метод конечных элементов, которому и посвящена настоящая монография. Этот метод является одним из вариационных методов и часто трактуется как м тод Ритца. Область, занимаемая телом, разбивается на конечные элементы. Чаще всего это треугольники в плоском случае и тетраэдры в пространственном. Внутри каждого элемента задаются некоторые функции формы, позволяющие определить перемещения внутри элемента по перемещениям в узлах, т. е. в местах стыков конечных элементов. За координатные функции принимаются функции, тождественно равные нулю всюду, кроме одного конечного элемента, внутри которого они совпадают с функциями формы. В качестве неизвестных коэффициентов метода Ритца берутся узловые перемещения. После минимизации функционала энергии получается алгебраическая система уравнений (так называемая основная система). Таким образом, ситуация здесь такая же, как и в вариационных разностных методах, в которых для получения разностной системы уравнений применяется один из вариационных принципов. [c.5]

Напомним сначала, как появляется матрица К. Функционал /(у), подлежащий минимизации, имеет в качестве основного члена квадратичное выражение а ь,ь), представляющее собой во многих случаях энергию деформации (или, строго говоря, удвоенную энергию деформации). В методе Ритца V отыскивается в конечномерном подпространстве 5 пробных функций вида (Верхний индекс п в этом разделе будет опускаться, [c.112]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...