Уравнение линейной регрессии

При математической обработке результатов экспериментов в целях получения обобщенной зависимости Рг = [ (и, 5, t можно воспользоваться уравнением линейной регрессии, причем, поскольку точное определение интересующих нас величин невозможно (полученные из опыта результаты являются случайными), то заменяем их оценками [83, 87]. [c.50]

Как нетрудно показать, это же правило получается при подстановке в исходное неравенство x N вместо л его значения, определенного по уравнению линейной регрессии. [c.254]

Коэффициент корреляции нашел широкое применение в практике, но он не является универсальным показателем корреляционных связей, так как способен характеризовать только линейные связи, т. е. выражаемые уравнением линейной регрессии (см. гл. IX). При наличии нелинейной зависимости между варьирующими признаками применяют другие показатели связи, [c.211]

В этом уравнении линейной регрессии о —свободный член, а параметр Ь определяет наклон линии регрессии по отношению к осям прямоугольных координат. В аналитической геометрии этот параметр называют угловым коэффициентом, в биометрии — коэффициентом регрессии. Наглядное представление об этом параметре и о у положении линий регрессии [c.256]

Уравнение линейной регрессии можно выразить в виде отклонений членов ряда от их средних [c.265]

Отсюда параметры уравнения линейной регрессии, выраженной в виде отклонений членов ряда от их средних величин, оказываются следующими [c.266]

Важной задачей в области регрессионного анализа является выбор уравнения, которое бы наилучшим образом описывало исследуемую закономерность. Обычно эту задачу решают следующим образом. Эмпирический ряд регрессии или динамики, для которого подыскивают наилучшее корреляционное уравнение, изображают в виде точечного графика в системе прямоугольных координат. Если эмпирические точки располагаются на одной прямой или могут быть аппроксимированы прямой линией, зависимость между переменными величинами описывают уравнением линейной регрессии. Труднее выбрать наилучшее уравнение регрессии при наличии нелинейной связи между переменными величинами. В таких случаях подходящее уравнение подбирают на основании сравнения эмпирического графика с известными образцами кривых. Немаловажное значение при выборе уравнения регрессии имеют личный опыт и профессиональные знания исследователя. Иногда форма связи между переменными У и X сама по себе подсказывает выбор наилучшего уравнения регрессии. Примером может служить лактационная кривая или кривая, от- [c.303]

Дисперсионный анализ применим не только к оценке рядов регрессии, но и рядов динамики, которые рассматривают как односторонние регрессии. Например, на рис. 29 показано, что на протяжении 9-летнего периода оценки знаний студентов по курсу дарвинизма варьировали. Возникает вопрос правильно ли выбрано уравнение линейной регрессии для описания этого ряда Читателю предлагается ответить на этот вопрос самостоятельно. Нужные данные содержатся в табл. 118. [c.306]

Поместим начало координат в центр интервала выравнивания. Тогда параметр а этой прямой есть средняя арифметическая из т значений интервала сглаживания. При этом параметр Ь характеризует прирост тренда на прямой (48). Действительно, из нормальных уравнений линейной регрессии [c.55]

На практике наиболее часто встречается случай линейной регрессии, уравнение которой записывается в виде [c.300]

Эта зависимость представлена в виде уравнения парной линейной регрессии, где влияние всех характеристик самолета на показатель ремонтопригодности выражено через один доминирующий фактор—его массу. По зависимости (57) с определенной точностью можно предсказать ремонтопригодность создаваемого изделия. Конечно, такая зависимость позволяет лишь грубо предсказывать значение показателя ремонтопригодности. [c.143]

Система нормальных уравнений для линейной регрессии имеет вид [c.36]

После определения параметров у (х) путем обратных преобразований получают уравнение кривой регрессии и (п). Аналогичным путем строят границы доверительной области для теоретической кривой регрессии. С целью подтверждения правильности выбора вида функциональной зависимости и от V производят проверку гипотезы линейности регрессии у (х) путем вычисления корреляционных отношений и составления условий (5.54) и (5.55) или с помощью дисперсионного отношения (5.73). [c.136]

Рассмотренные выше методы могут быть распространены на случаи нахождения грубых ошибок в данных, аппроксимированных уравнениями линейной или нелинейной регрессии. Идентификация аномальных ошибок производится на основе анализа остатков (невязок) А. Аномальная ошибка имеет место, если при исходном нормальном распределении помех статистика 17 г ==1 Аг /д/ больше Хап, где га/2 —верхняя граница [(1 — а)/2-квантиль] стандартного нормального распределения, о,г —диагональные элементы ковариационной матрицы V остатков А. Для линейного случая [модель (2.496)] с учетом (1.82) матрица V имеет вид [c.131]

Автоматическая градуировка анализаторов. В подавляющем больщинстве случаев градуировка осуществляется по эталонным (образцовым, градуировочным и т. п.) веществам (или смесям) и сводится к определению коэффициентов чувствительности в уравнении (модели) прибора. При этом используются модели простой линейной регрессии (наиболее часто соответствует линейному градуировочному графику) [c.140]

Для нескольких i/вх и для двух микросхем в ФНЧ проведены серии экспериментов, по которым найдены линейные уравнения приближенной регрессии крутизны 5 вида S = a- -bt°, где — температура окружающей среды дисперсии параметра S зависимости типа S=f t°, i/вых) для одних и тех же микросхем, также имеющие вероятностный характер. Установлено, что дрейф в основном зависит от качества ФНЧ (он имеет коэффициент усиления Кус=21, а остальные каскады работают с Кус = 0,3-Ы), температурные отклонения выходного напряжения при воздействии на ШИМ — 9% АИМ— 18% (от базового отклонения при влиянии на ФНЧ) при изменении температуры-f20- -f50° . [c.94]

В зависимости от вида уравнения регрессии различают линейную регрессию, выражаемую прямой линией, и криволинейную регрессию, выражаемую какой-либо параболической или логарифмической кривой. Простейшим и достаточно изученным является случай линейной регрессии. В этом случае для выявления степени влияния одной величины на другую на одном графике строятся линия регрессии у иа X п линия регрессии х на у (фиг. 19). [c.693]

Для оптимального выбора наиболее информативных уровней атмосферы использован метод многомерного регрессионного предсказания [24, 26], в основу которого положено уравнение множественной линейной регрессии вида [c.67]

Пример 2. В табл. 96 содержатся данные о корреляционной зависимости между массой тела гамадрилов-матерей А" и массой тела их новорожденных детенышей У. Воспользуемся этими данными и найдем эмпирическое уравнение регрессии У по X. Здесь аргументом, или независимой переменной, служит масса тела матерей, а зависимой переменной — масса тела новорожденных детенышей. В табл. 96 приведены нужные значения /г=20 2у = 14,06 2д =237,4 2x =167,919 и Еа 2=2861,60. Определим параметры линейной регрессии У по Х [c.259]

Множественная линейная регрессия. Зависимость между несколькими переменными величинами принято выражать уравнением множественной регрессии, которая может быть линейной и нелинейной. В простейшем виде множественная линейная регрессия выражается уравнением с двумя независимыми переменными величинами х, г) [c.266]

Затем отыскиваем коэффициенты уравнения (3) по методу последовательных приближений. Задаемся т=1 и определяем линейную регрессию от одного параметра из получившегося уравнения [c.23]

Коэффициент Ьо называют свободным членом уравнения регрессии коэффициенты Ь — линейными эффектами коэффициенты Ьц — квадратичными эффектами б ,- — эффектами парного взаимодействия. Коэффициенты уравнения (5.24) определяются методом наименьших квадратов с учетом среднеквадратичных погрешностей зависимой и независимой переменных. Для случая, когда независимые переменные определены точно, этот метод рассмотрен в 5.2. С более сложными случаями можно ознакомиться в специальной литературе, например [3, 6]. [c.108]

Полный факторный эксперимент содержит слишком большое число опытов (Л/=3, 3 =27 N=4, 3 = 81 N=5, 3"=243). Сократить число опытов можно, если воспользоваться так называемыми композиционными или последовательными планами, предложенными Боксом и Уилсоном. Ядро> таких планов составляет ПФЭ 2 при N<5 или дробная реплика от него при Согласно этим планам, если линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным, необходимо добавить 2 N звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства ( а, О,. .., 0), (0, а,..., 0),. ... .., (0, о,.... а), где а — расстояние от центра плана до звездной точки — звездное плечо, и увеличить число экспериментов в центре плана Ко- Такие планы называются центральными, ибо все опыты расположены симметрично вокруг основного уровня эксперимента, и композиционными, т. е. последовательно строящимися, а сокращено ЦКП. [c.127]

Поскольку результаты испытания во всем интервале напряжений могут быть описаны единой формулой, при определении долговечности для одного какого-то уровня напряжений можно не ограничиваться результатами испытаний образцов только на этом уровне, а учитывать результаты испытаний всех образцов во всем интервале напряжений. Это позволяет более экономно испытывать образцы и подвергать их совместной статистической обработке методом корреляционного анализа с составлением линейного корреляционного уравнения. Уравнение кривой усталости в координатах Ig iV — Ig а (линия регрессии) с помощью этого метода определяется так [c.55]

Уравнение регрессии в программе решается методом наименьших квадратов, но этот метод достаточно просто реализуется только в том случае, если уравнение регрессии имеет линейную форму относительно оцениваемых параметров [c.156]

Примечательна связь, которая существует между прямыми линиями среднеквадратичной регрессии (2.31) и так называемыми наилучшими линейными оценками сигналов. Задача о нахождении наилучшей линейной оценки сигнала %i t) сигналом 2 t) ставится следующим образом найти значения коэффициентов линейной аппроксимации (г) = ai + bib(Oi которые обращают в минимум средний квадрат отклонения [ i(f) —ai — bi 2(0] -Так же ставится и задача о нахождении наилучшей линейной оценки сигнала г(0 с помощью сигнала h t). Приравнивая нулю производные от среднеквадратичного отклонения и решая получающуюся при этом систему уравнений, можно убедиться, что значения коэффициентов оказываются в точности равными соответствующим значениям коэффициентов прямых среднеквадратичной регрессии = i u/ rf, а, = p,j — i(X2. То же имеет место и для коэффициентов наилучшей линейной оценки сигнала hit) с помощью h t). [c.67]

Фасетка транскристаллитного скола, являясь следом (отпечатком) элементарной микротрещины транскристаллитного скола в структурном элементе, выявляет средне- и высокоугловые границы. На рис. 2.25 по экспериментальным данным для ряда сталей показана связь размера фасетки транскристаллитного скола с размером пакета реек мартенсита и бейнита d , выявленного металлографическим способом. При построении зависимости использовали соответствующие характеристики структуры и хрупкого излома для улучшенных сталей 12ГН2МФАЮ (отпуск при 680 °С), 10ХН1М (отпуск при 680 °С), закаленной никелевой стали 0Н6, а также для ряда других конструк-циоШых сталей [20-22]. С помощью МНК (метода наименьших квадратов) установлено, что с ф связана с уравнением линейной регрессии вида йф = 0,83 d (с вероятностью 99%). Подобная связь сохраняется для средне- и высокоотпущенных сталей, в которых при отпуске интенсивно развиваются процессы карбидообразования и полигонизации. [c.49]

Пример 24. Зависимость между массой тела у и возрастом детенышей макак-резусов в первый год их жизни описываетсг уравнением линейной регрессии = 1,20-Ю,1104 х—х). Опреде ЛИМ ошибку для этого уравнения. Необходимые данные содег жатся в табл. 117. Расчет величины И у1—ух) приведена табл. 134. [c.300]

Решая такую задачу, следует иметь в виду, что использование уравнений линейной регрессии допустимо лишь в тех случаях, когда исходные данные распределяются нормально или же их распределение не очень сильно отклоняется от нормальной кривой. Если же генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, распределяется по другому закону, применять уравнение линейной регрессии к нормативным оценкам варьирующих объектов нельзя. В таких случаях более подходящими будут иепараметрические оценки, в частности перцентильные, о которых шла речь выше. [c.303]

Оценка параметров уравнения линии регрессии дала в нашем случае а = 4,87 Ь = - 6,22, X = 1,68. Уравнение эмпирической линии регрессии имеет вид / = 15,14 — 6,23 X, а соответствующее ему семейство усталостных кривых показано на рис. 13. Линейность кривой регрессии проверяли путем вычисления критерия Фишера, при этом дисперсия внутри системы S, =0,9999 и дисперсия вокруг эмпирической линии регресии S] = 0,4095. Дисперсионное отношение их f = 0,9999/0,4095 = 2,44 [c.37]

Простая экспоненциальная регрессия. При сглаживании кривой типа у = метод наименьших квадратов приводит к системе уравнений, которую трудно решить. Для приближенного решения уравнение логарифмируется log i/ = loga + х log p. Пусть ш = log г/, Л = log а, В = log р тогда уравнение принп-мает вид а = Л + Вх. Такое уравнение рассматривалось в случае простой линейной регрессии. Решение уравнения w — А + -f- Вх неидентично решению уравнения у = аР". Однако для большинства задач данное приближение вполне приемлемо. [c.202]

Во многих случаях представляется возможным путем простых преобразований представить уравнение кривой регрессии как линейное соотношение между преобра-.чованными величина,ми, к которым применим изложенный аппарат линейного корреляционного и регрессионного анализа. [c.135]

Например, обработка результатов совместных измерений к геометрических параметров серийной партии п деталей часто сводится к решению линейной модели — уравнения множественной линейной регрессии — относительно любой из к перемеи1)ых [c.339]

Определение параметров линейной регрессии. Известно, что сумма квадратов отклонений вариант Х1 от их средней х есть величина наименьшая, т. е. 2( 4—хУ=хахп (см. гл. П1). Эта теорема составляет основу метода наименьших квадратов (см. ниже). В отношении линейной регрессии [см. формулу (176)] требованию этой теоремы удовлетворяет некоторая система уравнений, называемых нормальными-. [c.258]

Подставляя известные величины в формулы (189) и (190), определяем параметры линейной регрессии а = 14,40/12= 1,20 6=15,790/143,00=0,1104. Отсюда эмпирическое уравнение лассы тела У по возрасту X детенышей макак-резусов [c.269]

Наиболее близок к традиционно используемым методам парной корреляции и регрессии раздел, включающий в себя множественную корреляцию и регрессию, который кратко рассмотрен в настоящем пособии. Уравнение множественной регрессии можно рассматривать как линейную конструкцию типа ( ), позволяющую находить на базе большого набора исходных признаков х такую новую переменную, которая была бы максимально скоррелирована с (т+1)-м признаком Хт - - Эта корреляция называется множественной. По значениям коэффициентов с/, которые в данном случае являются коэффициентами множественной регресг сии, можно из всего набора т признаков х выделить только п из них, которые обнаруживают наибольшие значения этих коэффициентов. По уменьшенному набору признаков х можно построить новое уравнение регрессии, основанное на меньшем числе переменных, которое будет более компактным. [c.314]

Коэффициенты Ьа, Ь,, 2 и 6з найдем методом планирования эксперимента. Прологарифмировав (6.10), получим линейное уравнение регрессии, где в качестве факторов служат Xi = lnRes Хг=1пЯ и Хз=1п2. Запишем его в кодированных значениях факторов Xj (6.4), учтем также их возможное взаимное [c.122]

Такой сокращенный план — половина ПФЭ 2 — носит название полуреплики от ПФЭ 2 . Пользуясь таким планированием, можно определить свободный член и три коэффициента уравнения регрессии при линейных членах. [c.124]

Результаты эксперимента представлены С1 едующим линейным уравнением регрессии [c.18]

Кроме того, применение метода ортогонализации юзволяет решать задачу построения математической лодели объекта поэтапно. На первом этапе строится /равнение регрессии, линейное относительно рассматриваемых факторов. Если такое линейное уравнение адекватно прогнозируемому объекту, то задачу по-атроения математической модели объекта можно считать решенной. Если уравнение регрессии неадекватно, го необходимо перейти к следующему этапу, на котором в уравнение регрессии включаются новые переменные типа х] и ХгХ/. Если коэффициенты регрессии при новых переменных оказываются незначимыми и переход к квадратичному уравнению незначительно уменьшает остаточную дисперсию, то это означает, что в уравнение регрессии не включен фактор, который оказывает существенное влияние на свойства объекта. Поэтому третий этап заключается в нахождении новых факторов, существенно влияющих на развитие прогнозируемого объекта, и включении их в уравнение регрессии. [c.181]

Можно предположить, что износостойкость наплавки при угле атаки абразивных частиц, близком к 90°, должна определяться способностью ее поверхностных участков противостоять внедрению абразивных частиц. Критерием такой способности может явиться твердость поверхностных участков наплавок. Поэтому представляет интерес выяснение зависимости относительной износостойкости е от макротвердости HV. Корреляционный анализ полученных данных позволил установить наличие зависимости е от HV имеет место линейная корреляционная связь между е и HV. Теоретическая линия регрессии выражается уравнением [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...