Фазовая плоскость и фазовые траектории

Из всего сказанного выше относительно свойств фазовой плоскости и фазовых кривых, нанесенных на ней, для линейных систем следует, что фазовая плоскость, по сути дела, является своеобразным векторным полем, свойство которого характеризуют не только направление касательной к данной интегральной кривой в любой точке этой плоскости, но и направления движения по фазовой траектории нашей изображающей точки, определяющей ход процесса, и, следовательно, и свойства звена. Фазовая плоскость, следовательно, не есть чисто геометрическое понятие, а является областью, настолько пропитанной векторами, что всюду, за исключением особых точек, эти векторы заставляют двигаться в определенном направлении и с определенной скоростью нашу изображающую точку наподобие того, как струи воды в быстринах увлекают за собой щепку. Наблюдая такие области в этих быстринах, где имеются вихревые движения, мы можем заметить, что эти щепки иногда описывают замкнутую, иногда разомкнутую траектории и иногда, будучи подхвачен струей, уносятся из данной области дальше. [c.225]

ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ И ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ [c.147]

Мы здесь не будем излагать дальнейшего материала по методам качественного рассмотрения динамических систем с помощью фазовой плоскости и по более подробному рассмотрению возможных типов особых точек и фазовых траекторий консервативных систем. Все это можно найти в [1 —3]. Приведенные здесь основные сведения и определения следует рассматривать лишь как напоминание об основах метода фазовой плоскости, которым (с соответствующими пояснениями) мы в ряде случаев будем пользоваться в дальнейшем. [c.22]

ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ. Число п называется числом степеней свободы гамильтоновой системы порядка 2п независимо от природы функции Н. Пусть /1=1. Тогда уровни функции Н(р, q)=h на фазовой плоскости состоят из траекторий решений системы уравнений Гамильтона и образуют так называемый фазовый портрет системы. При его графическом изображении принято рисовать положения равновесия и несколько характерных фазовых кривых. В случае натуральной системы [c.231]

В каждый момент времени состояние системы характеризуется перемещением х и скоростью у на фазовой плоскости этому состоянию соответствует изображающая точка, имеющая координаты X, у.. С течением времени изображающая точка будет перемещаться по фазовой плоскости, описывая фазовую траекторию. [c.22]

Для движений ротационного типа также справедливо соотношение (12), причем постоянная действия вводится согласно первому из выражений (11). Если отождествить величины и + 2л и в связи с этим рассматривать не фазовую плоскость, а фазовый цилиндр (q, р), то фазовые траектории периодических ротаций будут также замкнутыми. [c.142]

Построение полной фазовой траектории сводится к построению шаблонов для каждого листа фазовой плоскости и к сшиванию интегральной кривой на границах листов. Сшивание состоит в совмещении обвода шаблона, действующего на следующем листе, с конечной точкой предыдущего участка фазовой траектории. [c.29]

Пусть, например, кривая у = ц>(х) (рис. 21.18) делит фазовую плоскость иа две области, в каждой из которых фазовые траектории определяются соответствующими линейными дифференциальными уравнениями. Пусть начальные условия задачи соответствуют точке Ро с координатами Хд, Уо на фазовой плоскости в области А. [c.526]

Вместо того чтобы анализировать отдельные решения, изучим характер векторного поля на фазовой плоскости [3]. Фазовый портрет рассматриваемого движения изображен на рис. 14. Параметром служит величина В. Две стационарные точки — седло (О, 0) и центр (2, 0) — соответствуют равномерному по углу ф стоку и источнику жидкости в начале координат. Случай медленных движений, когда 1 7 <1, 1С <1, г/ 2-Ь С/8 4-[//2, соответствует окрестности стационарной точки (2, 0). В случае, когда ограничивающие стенки отсутствуют, физический смысл имеют только периодические решения, отвечающие замкнутым траекториям на рис. 14. Они расположены между стационарной точкой (2, 0) и сепаратрисой [c.66]

Полученные результаты позволяют описать особенности поведения траектории X ( , I, ) случайного процесса I ( ) на фазовой плоскости ( , ) и показывают достаточно простую связь между характеристиками выбросов одномерного случайного процесса ( ) и соответствующими характеристиками двумерного векторного процесса ( ), (0 . [c.294]

Плоскость переменных s и называется фазовой плоскостью. Семейство фазовых траекторий образует фазовый портрет колебательной системы. Анализ фазового портрета дает хотя и не полную, но обширную информацию о колебательной системе. К построению такого портрета прибегают тогда, когда не удается решить аналитически уравнение, описывающее сложные колебания. В первую очередь это относится к нелинейным колебаниям, анализ которых затруднен из-за отсутствия точных решений нелинейных уравнений. [c.15]

Мы исследовали характер фазовой плоскости и обнаружили, что периодическим движениям, происходящим в системе, на фазовой плоскости соответствуют замкнутые траектории представляющей точки — в нашем случае эллипсы, по которым двигается изображающая точка с не обращающейся в нуль фазовой скоростью (рис. 12), совершая [c.40]

Допустим теперь, что нам не известен характер движений в системе, но каким-либо образом стал известен характер фазовых траекторий и величины фазовых скоростей. Можем ли мы, пользуясь этим знанием, делать высказывания, касающиеся отображаемых этими кривыми движений Как мы увидим дальше, общий характер движения, качественные его черты, выявляются уже в характере фазовых траекторий. Фазовая плоскость, разбитая на траектории, дает легко обозримый портрет динамической системы она дает возможность сразу, одним взглядом охватить всю совокупность движений, могущих возникнуть при всевозможных начальных условиях. [c.40]

Этих сведений достаточно для разбиения фазовой плоскости на фазовые траектории. Это разбиение схематически изображено на рис. 259, а (для рЯ/ ( /)< 1) и на рис. 259,6 (для рК/ ( /) 1). [c.351]

Для приближенных уравнений (10.17) точки граничной поверхности у являются сложными особыми точками для них один корень характеристического уравнения (10.18) равен нулю, а остальные корни имеют отрицательные действительные части. В основном случае (в случае первой степени негрубости ) эти точки аналогичны особым точкам типа седло-узел на фазовой плоскости и из каждой из них (или, точнее, из сколь угодно малой окрестности каждой из них) выходит единственная траектория уравнений (10.17). [c.755]

Построим предельное (для 1 разбиение фазовой плоскости и, I на траектории системы (10.33). Прежде всего проведем линию Р [c.788]

Для рассмотрения колебаний схемы при достаточно малых построим разбиение фазовой плоскости и, I на траектории в пре- [c.790]

Фазовая плоскость и многолистная фазовая поверхность являются частным случаем фазового пространства, в котором определяется состояние системы, описываемой дифференциальным уравнением третьего и выше порядков. Если порядок уравнения равен п, то в какой-либо момент времени состояние системы полностью определено х , Хд,. .., Хп величинами, которые являются обобщенными координатами системы и их производными по времени. Изменение состояния системы характеризуется по-прежнему фазовой траекторией, получаемой при движении изображающей точки в п-мерном пространстве. [c.157]

Особые траектории разделяют фазовую плоскость на конечное число ячеек, поскольку из аналитичности правых частей системы (3.1) вытекает, что число особых траекторий конечно. Граница каждой ячейки состоит из особых траекторий, причем точки одной и той же траектории могут быть граничными для нескольких ячеек. Все ячейки заполнены неособыми траекториями, поведение которых одинаково. Если все траектории, принадлежащие одной и той же ячейке, не замкнуты, то они имеют одни и те же предельные множества. Если же внутри какой-нибудь ячейки существует хотя бы одна замкнутая траектория, то все траектории этой ячейки замкнуты, одна лежит внутри другой и между любыми двумя траекториями этой ячейки не могут лежать точки, не принадлежащие этой ячейке. Основной топологической характеристикой, отличающей одну ячейку от другой, является ее связность. [c.42]

Итак, если известны все состояния равновесия, предельные циклы и их характер, а также расположение сепаратрис, то это позволяет полностью установить топологическую структуру всех ячеек и их взаимное расположение, т. е. полностью выяснить структуру разбиения фазовой плоскости на траектории. [c.43]

Из всего многообразия динамических систем второго порядка полезно выделить системы, в которых может осуществляться периодическое изменение состояния системы. На фазовой плоскости периодическому движению соответствует замкнутая траектория. Если эта замкнутая траектория является одной из континуума вложенных одна в другую кривых, то мы имеем дело с консервативной системой. В такой системе период и амплитуда периодических колебаний зависят от начальных условий, а сама система является негрубой. [c.46]

Если замкнутая траектория на фазовой плоскости является изолированно , она называется предельным циклом. Наличие устойчивого предельного цикла на фазовой плоскости говорит о том, что в системе возможно установление незатухающих периодических колебаний, амплитуда и период которых в определенных пределах не зависят от начальных условий и определяются лишь значениями параметров системы. Такие периодические движения А. А. Андронов назвал автоколебаниями, а системы, в которых возможны такие процессы, — автоколебательными [ 1 ]. В отличие от вынужденных или параметрических колебаний, возникновение автоколебаний не связано с действием периодической внешней силы или с периодическим изменением параметров системы. Автоколебания возникают за счет непериодических источников энергии и обусловлены внутренними связями и взаимодействиями в самой системе. Одним из признаков автоколебательной системы может служить присутствие так называемой обратной связи, которая управляет расходом энергии непериодического источника. Из всего сказанного непосредственно следует, что математическая модель автоколебательной системы должна быть грубой и существенно нелинейной. [c.46]

Число различных областей и взаимное расположение кривых (3.10) и (3.12) на плоскости t/gXo зависят от значений параметров I и Случай разбиения плоскости параметров уо, Хд, изображенный на рис. 3.8, заведомо осуществляется при значениях К, р, удовлетворяющих неравенству р Рассмотрим этот случай подробнее и выясним, какие из особых траекторий, кроме состояний равновесия, могут быть на фазовой плоскости ху при различных значениях параметров Хд, (/ . [c.57]

Проведем на фазовой плоскости через неособые точки отрезок без контакта АВ, т. е. такой отрезок прямой или дуги некоторой гладкой кривой, в каждой точке которого фазовые траектории системы (4.2) пересекают его, нигде не касаясь. Рассмотрим фазовую траекторию Г, проходящую через некоторую точку М отрезка АВ, где М отлична от точек А или В. Пусть в момент времени / = О изображающая точка, движущаяся на траектории Г согласно уравнениям (4.2), совпадает с точкой М. Если при дальнейшем движении изображающей точки вдоль фазовой кривой Г она будет вновь и вновь пересекать отрезок без контакта АВ, то говорят, что точка М имеет последующие. Тогда на основании теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных условий все точки на отрезке АВ, достаточно близкие к точке М, также имеют последующие. Пусть S и S — координаты точки /И и ее последующей (рис. 4.1). Согласно сказанному выше, будет существовать функциональная зависимость [c.71]

С этой целью рассмотрим сначала простейший случай двумерного фазового пространства. Пусть фазовая плоскость разделяется некоторой прямой 5 на две области Di и Dj, в каждой из которых правые части соответствующих диф( )еренциальных уравнений (4.15) являются гладкими функциями фазовых переменных. Среди всех возможных типов поведения фазовых траекторий в окрестности прямой 5 рассмотрим лишь три основных случая, которые показаны на рис. 4.9. В первом случае (рис. 4.9, с) при [c.81]

При л = о рассматриваемая динамическая система будет линейной консервативной и фазовые траектории на плоскости qq представляют собой вложенные друг в друга концентрические окружности с центром в начале координат, являющимся состоянием равновесия, В этом случае решением уравнения (5.3) служит [c.120]

Таким образом, на плоскости иу фазовыми траекториями служит семейство логарифмических спиралей с асимптотической точкой в начале координат. На плоскости ху фазовые траектории также представляют собою спирали, скручивающиеся к началу кЬординат (рис. 2.18). Двигаясь по любой из этих фазовых траекторий, изображающая точка асимптотически (при t-> +00) приближается к началу координат, где находится особая точка — устойчивий фокус. Точка X = О, у = Q представляет собою отдельную фазовую траекторию, соответствующую асимптотически устойчивому состоянию равновесия осциллятора. [c.39]

Повторяя последовательно подобное исследование по этапам, можно получить выражение для изменения if и во времени. На фазовой плоскости соответствующий фазовый портрет системы имеет вид, изображенный на рис. 2.22. Фазовые траектории будут представлять отрезки спиралей, соединенные отрезками прямой 4 = — д1щЯС в точках 1 = 4. соответствующих началам и концам этапов Ф = onst. Таким образом, мы видим, что при учете гистерезисных явлений должно происходить более быстрое уменьшение амплитуды свободных колебаний исследуемого контура. Это обусловлено тем, что существование гистерезисной петли приводит к потерям в материале сердечника за счет работы на его перемагничивание, вызванным взаимодействием элементарных областей намагничения с остальной массой вещества сердечника, и в конечном счете —к переходу магнитной энергии в тепловую за счет работы, расходуемой на переориентацию указанных областей, или доменов. [c.69]

Следует отметит1>, что дельта-метод имеет преимущество перед методом изоклин при решении задачи Коши на фазовой плоскости и по- строении соответствующей фазовой траектории. В дельта-методе фазовую траекторию строят непосредственно по заданным начальным значениям, а в методе изоклин для построения такой траектории нужно изобразить в некоторой области фазовой плоскости поле направлений. [c.50]

Траектория, очевидно, является проекцией этой интегральной кривой на плоскость (х, у). Из леммы 4 следует, что в траекторию нроектируются те и только те интегральные кривые пространства которые получаются из одной такой кривой (и, следовательно, друг из друга) сдвигом на произвольный отрезок вдоль оси I. Таким образом, устанавливается естественное соответствие между траекториями динамической системы на фазовой плоскости и интегральными кривыми в пространстве При этом могут представиться следующие случаи в зависимости от характера траектории Ь [c.30]

Рис. 24.2. Зависимости скорости изменения и в точечной системе от к в случае беспорогового (/1) и порогового (/2) распространения фронта волны (если /(к) имеет пять (и более) нулей, в системе (24.2) могут возбуждаться несколько устойсивых волн с разными амплитудами) (а) и траектории на фазовой плоскости и для /(к) = — onst(гi — и1) и — и2) и — из) (б)

Если X и у — обычные декартовы координаты на фазовой плоскости, то фазовые траектории суть прямые линии. На фазовой плоскости мы имеем континуум убегающих движений. Если же х и у — ортогональные криволинейные координаты на торе (например, х — азимут меридиональной плоскости, а у — полярный угол с вершиной на оси тора), то фазовые траектории для той же системы дифференциальных уравнений образуют либо континуум замкнутых кривых (если а ш Ь соизмеримы), т. е. континуум периодических решений, либо континуум траекторий, всюду плотно заполняющих поверхность тора (если а к Ь не. соизмеримы), т. е. континуум так называемых квазипериодических решений. Этот пример показывает значение природы фазового пространства, его связности, для картины поведения фазовь1Х траекторий. Общие законы поведения, определяемые одним и тем же уравнением интегральных кривых, будут различны в случае плоскости и тора. [c.288]

В другом случае на изолированных конечных участках будут замкнутые фазовые траектории, соответствующие периодическим движениям, либо замкнутые кривые особого типа — кривые с самопересечением (в точках Б и С) — сепаратрисы. Точк самопересечения соответствуют изолированным максимумам потенциальной энергии и являются особыми точками типа седла, изображающими неустойчивые равновесные состояния. Сепаратрисы разделяют области фазовой плоскости с фазовыми траекториями различного типа. Сами по себе они не являются кривыми, изображающими реальные движения. Последние всегда отклоняются от сепаратрис или в сторону замкнутых траекторий, заключенных в звеньях сепаратрисы, или же наружу в сторону убе- [c.480]

Миллер [67 ] специально изучал источники субоптимальности в действиях оператора в аналогичной задаче, используя критерий оптимального быстродействия. Были использованы различные отображения одномерное, обычная фазовая плоскость, фазовая плоскость с заданной оптимальной линией переключения и фазовая плоскость с предсказанной траекторией. Он обнаружил, что действия человека по времени очень близки к оптимальным, но при наличии ожидавшейся малой составляющей остатка или изменчивости, Миллер смог предсказать точность определения место- [c.267]

Отметим, что периодическим колебаниям на фазовой плоскости соответствуют замкнутые фазовые траектории, и наоборот, Вид фазовых 1раекторий характеризует усюйчивосзь или неустойчивость положения равновесия, достаточную малость колебаний и т. д. [c.433]

Во многих задачах не представляется возможным получить функцию последования, записанную в явном виде (4.3). В таком случае прибегают к параметрической форме этой записи, что часто облегчает не только нахождение функции последования, но и ее исследование. Пусть, например, фазовая плоскость ху рассматриваемой динамической системы разбивается прямой L, определяемой уравнением у = —kx, на две области I н И (рис. 4.3), в каждой из которых уравнения движения (4.2) различны, но линейны. Обозначим через х,, х абсциссы точек пересечения прямой у — —kx с некоторой фазовой траекторией, по которой изображающая точка движется в области I, [c.73]

Следовательно, вне линии Q = О (в области быстрых движений) при L, достаточно малом, фазовые траектории близки к прямым и = onst. При L О фазовая плоскость вне линии Q = О заполнена вертикальными прямолинейными траекториями, соответствующим-и скачкообразному изменению тока. Это значит, что для всех начальных условий (вне линии Q = 0) имеют место скачки тока i через неоновую лампу при неизменяющемся напряжении и на конденсаторе. Медленные движения при L -> О происходят только на том участке линии Q = О, где < О (1J3 (г) > 0), [c.234]

Поверхности SpW S q могут быть простого вида, но могут быть и очень сложного. Как будет видно из дальнейшего, они играют важную роль в структуре разбиения фазового пространства на траектории. Особую роль при этом играют поверхности S i и S i размерности я — 1 на единицу меньшей размерности фазового пространства. Эти поверхности разделяют фазовые траектории на потоки траекторий с разным поведением. В этом смысле они подобны сепара-трисным кривым седел на фазовой плоскости. Поэтому им может быть присвоено наименование сепаратрисных поверхностей. [c.247]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...