Квадратичные и линейные формы

Среди задач выпуклого программирования подробнее других исследованы задачи квадратичного программирования, в которых требуется вычислить вектор Х= хь , Хп), удовлетворяющий линейным равенствам и неравенствам и обращающий в максимум сумму квадратичной и линейной форм [c.104]

Аргумент экспоненты в (5.2.3) представляет собой сумму квадратичной и линейной форм от переменных. .., адг. Для удобства обращения с ними полезно ввести матричные обозначения. [c.68]

А.З. КВАДРАТИЧНЫЕ И ЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ [c.291]

Как функция обобщенных ускорений 9,,. .., я принуждение по Гауссу Z=Z2 + Z,+ Zo, где 2, — квадратичная и линейная формы по обобщенным ускорениям соответственно, а Zo не зависит от обобщенных ускорений. [c.194]

При определении квадратичного и линейного конечного элемента в локальной системе координат для интерполяции искомых функций и установления связи между системами координат использовались одни и те же функции формы. Это видно из соотношений (4.3), (4.4) для квадратичного элемента и (4.20), (4.21) для линейного элемента. Такие конечные элементы и рассмотренные ранее симплекс-элементы являются изопараметрическими элементами. [c.73]

Ограничиваясь теперь рассмотрением натуральных систем и вспоминая, что лагранжиан, как и кинетическая энергия натуральной системы, может быть представлен суммой трех форм — квадратичной L , линейной Li и нулевой степени Lq относительно скоростей q, перепишем равенство (21) так [c.264]

Первый член выражения (19) есть квадратичная форма (т. е. однородная функция второй степени) от обобщенных скоростей, второй — линейная форма от тех же скоростей, с от скоростей совсем не зависит. При этом все коэффициенты Uij, bi и с суть функции координат i7i, 2- времени t. [c.456]

Следовательно, кинетическая энергия Т представима суммой трех функций, однородных относительно обобщенных скоростей. Первое слагаемое То не зависит от обобщенных скоростей, второе— Т есть линейная форма обобщенных скоростей и То — квадратичная форма обобщенных скоростей. [c.130]

Минимизация функционала осуществляется прямым методом — функция, от которой зависит функционал, представляется в виде конечной линейной комбинации координатных функций, удовлетворяющих граничным условиям и принадлежащих полной системе. В указанной линейной комбинации коэффициенты неизвестны. После подстановки этой линейной комбинации в функционал он превращается в функцию коэффициентов. Далее ищется минимум этой функции обычным путем, т. е. приравниваются нулю производные по коэффициентам. Получающиеся при этом уравнения, поскольку функционал является квадратичным, оказываются линейными алгебраическими и в случае свободных колебаний однородными. Условие ненулевого решения отмеченной системы уравнений — равенство нулю ее определителя и представляет собой уравнение частот корнями его являются собственные частоты системы. После отыскания частот обычным путем находятся собственные векторы матрицы системы уравнений. Эти векторы изображают собой формы свободных колебаний. [c.246]

Динамический подход к вычислению формы оптических полос, развитый в десятом параграфе и опирающийся на модельный гамильтониан системы, наоборот, на количественном уровне объясняет электрон-фононную и ви-бронную структуру оптических спектров и ее зависимость от температуры. Однако пока он оставил без ответа вопрос, почему реальная БФЛ имеет полуширину на один-два порядка превышающую так называемую естественную полуширину линии, равную 1/Ti и обусловленную спонтанным испусканием света. Это происходит не потому, что динамический подход уступает в каких-то аспектах стохастическому, а потому, что мы до сих пор ограничивались рассмотрением только НТ-взаимодействия и линейного F -взаимодействия и пренебрегали квадратичным F -взаимодействием, которое и ответственно за уширение БФЛ. Рассматривая в основном ФК и колебательную структуру полос, мы игнорировали это взаимодействие потому, что его влияние на фононную и вибронную структуру реальных спектров мало и им в большинстве случаев действительно можно пренебречь. Однако квадратичное F -взаимодействие играет первостепенную роль в эффекте уширения БФЛ. [c.135]

Теорема об асимптотической устойчивости линейных систем. Пусть для какой-нибудь положительно определенной квадратичной формы и (х, t) с коэффициентами — непрерывными ограниченными функциями времени — нашлась квадратичная положительно определенная форма w (х, t), удовлетворяющая условию [c.302]

Здесь e — тензор, определяемый по вектору и формулами (1.1.2) F — поверхностная сила, заданная на О2 ы — вектор перемещения, заданный на 0. Через Л (а) обозначена удельная потенциальная энергия деформации, задаваемая квадратичной формой (3.2.8) гл. III. Ее производные по компонентам тензора напряжения будут линейными формами этих компонент, определяемыми левыми частями соотношений (3.1.8) гл. III. Они представляют компоненты некоторого тензора, обозначаемого [c.160]

Поскольку область допустимых вариаций компонентного состава была невелика, связь между свойствами и концентрациями компонентов описывалась линейной формой (а не квадратичной, как в первых двух случаях). В качестве основного плана эксперимента была выбрана дробная реплика 2 - [c.124]

Поверхность тела представляется при помощи четырехугольных и треугольных элементов с квадратичным изменением формы и линейным, квадратичным или кубическим изменением перемещения и вектора напряжений относительно внутренней системы координат. Тело разбивается на подобласти производится дискретизация интегрального уравнения для каждой подобласти, и получается система уравнений ленточного типа. Для вычисления интегралов используется квадратурная формула Гаусса, число узлов в которой выбирается на основании верхней оценки для ошибки, определенной по значениям производных от подынтегральных выражений. Масштаб коэффициентов в уравнениях выбирается таким образом, чтобы получить устойчивую при счете систему, разрешимую методом исключения без итерации остатков. Поблочное решение уравнений позволяет рассматривать большие задачи. В программе используется большое число процедур, осуществляющих контроль и автоматическое формирование данных. Результаты решения задачи о фланце трубопровода и характеристики выполнения программы сравниваются с результатами, полученными методом конечных элементов, и экспериментальными результатами. [c.111]

Так как ]) х, ) не зависит от у- и 2-компонент и V = 1, уравнение (5.6) отличается от (3.1) свободным членом /г/2. Если известно частное решение уравнения (5.6), то его общее решение находится как сумма этого частного решения и общего решения (5.1) однородного уравнения. Дифференцируя равенство (5.6), находим, что д]Х /дх удовлетворяет уравнению (3.1) с v=l поскольку общее решение этого уравнения содержит экспоненты (которые воспроизводятся при интегрировании и дифференцировании) и линейную функцию от будем искать частное решение уравнения (5.6) в виде квадратичной функции от л (с коэффициентами, зависящими от I). Нетрудно убедиться, что решения в такой форме существуют и одно из них таково [c.337]

Равенства (19.20), (19.23) и (19.24) показывают, что в общем случае кинетическую энергию материальной системы можно представить суммой квадратичной Т , линейной Тх и нулевой Т форм относительно обобщенных скоростей. [c.448]

Математический аппарат классической механики строится в настоящей книге с самого начала, так что у читателя не предполагается предварительных знаний, выходящих за рамки стандартных курсов анализа (производная, интеграл, дифференциальные уравнения), геометрии (линейное пространство, векторы) и линейной алгебры (линейные операторы, квадратичные формы). [c.9]

Теорема 1.1.1. Пусть V — вещественное векторное пространство на 11 х — симметричная положительно определенная билинейная форма, т. е. а и, и) = а(и, и) и а и, )>0 при ифО. Пусть ц> V—некоторая линейная форма и Р 7 R — квадратичная форма, опре [c.13]

На фиг. 13.3 приведены выражения функций формы для линейного, квадратичного и кубичного элементов в одномерном случае. [c.247]

Функции формы для линейного, квадратичного и кубичного треугольных элементов приведены на фиг. 14.3. Определение этих функций иллюстрируется на следующих примерах. [c.273]

Введем лагранн<евы координаты qi, q2,. . ., Qn, где п — число степеней свободы голономной системы в ее движении относительно системы F ] переменные q таковы, что соотношения между х vi q пе содержат t. В этом случае оказывается определенно-положительной квадратичной формой переменных q, а выран<ение (o)-t) ) — однородной линейной формой переменных q коэффициенты этой линейной формы в общем случае зависят как от t, так и от q. [c.188]

Если в этой формуле определитель матрицы отличен от нуля — начальная скорость неколлинеарна начальному радиусу-вектору,, то, применив обратную матрицу (это не обязательно делать в явном виде), увидим, что os o и sinto суть линейные функции х нус коэффициентами, зависящими от начальных условий. Следовательно, тождество os o/.+sin a)t= 1 даст нам уравнение траектории, которая получится эллипсом (сумма квадратов линейных форм есть положительно определенная квадратичная форма). Легко понять, что центр этого эллипса находится в начале координат. [c.17]

Выражение дипольных корреляторов через средние от хро-нологизированых произведений операторов. Математические методы, использовавшиеся ранее для учета влияния линейного F -взаимодействия на временное поведение дипольных корреляторов, а следовательно, и на форму оптических полос поглощения и флуоресценции не могут быть использованы в случае квадратичного F -взаимодействия. Поэтому применим другой, более общий метод. [c.138]

Существуют различные методы построения криволинейных элементов. На практике наибольшее распространение получил способ отображения первоначально регулярных (прямосторонних) элементов при помощи невырожденного преобразования из локальной (ествст-венкой) системы координат в глобальную. При построении модели прокатки для обеспечения квадратичной аппроксимации скорости и линейной гидростатического давления использовались криволинейные лагранжевы элементы с девятью узлами. Квадратичные функции формы для них в естественной системе координат I, Т1 могут быть получены перемножением соответствующих одномерных функций формы [c.289]

В качестве упругих элементов торцовых уплотнителей, разделяющих две среды, в конструкциях компрессоров часто используются сильфонные элементы. Точное. определение напряженно-деформированного состояния этих элементов позволяет обеспечить герметичность соединения, долговечность и надежность его эксплуатации. Существующие инженерные методики расчета сильфонов применимы лишь в узком диапазоне типоразмеров и не позволяют учесть особенности конструктивной формы и условий эксплуатации. Более того, для расчета толстостенных сильфонов они, как правило, не пригодны, поскольку не позволяют адекватно определить объемное напряженное состояние. По этой причине для расчета сильфонов была применена программа OMPASS, в которой были использованы объемные конечные элементы с переменным числом узлов на ребрах (квадратичные в окружном направлении и линейные по толщине). На рис. 4 в левом нижнем окне приведена расчетная схема сильфона по ГОСТ 21482-76 из стали 12Х18Н10Т с наружным диаметром 105 мм, внутренним - 75 мм, щагом 5,2 мм и толщиной трубки -заготовки 0,25мм. На рис. 4 в верхнем окне дана схема перемещений гофр от сдвиговой нагрузки, а в правом нижнем углу дана изометрическая проекция фрагмента деформированного и исходного сильфона. Расчетная схема включает 15010 узлов (42722 степеней свободы), 2304 объемных элемента. Матрица коэффициентов системы уравнений равновесия состав- [c.164]

Эта формула и представляет собой общее решение задачи определения послеударного состояния произвольной механической системы по известному доударному в случае идеального удара (идеальных связей). Здесь д — доударные скорости, д Ч- Ад — послеударные, е — единичный вектор нормали к связи в точке удара, А — матрица квадратичной формы кинетической энергии, Ь — коэффициенты линейной формы кинетической энергии, возникающие в случае нестационарной параметризации. [c.141]

Применим к функциям процедуру локальной аппроксимации, основанную, например, на методе конечных элементов или методе конечных разностей. В результате функционал 3 нриближенно заменяется функцией относительно узловых скоростей перемещений. Расположим теперь точки дискретной модели в узлах интерполяции и отождествим перемещения узлов континуальной среды с перемещениями точек дискретной среды. Под квадратичной формой П будем понимать функцию, полученную при дискретизации первого, квадратичного, слагаемого в функционале (3) под линейной формой А — линейную функцию, полученую при дискретизации остальных слагаемых. [c.190]

Дальнейшее исследование абсолютных образов находится в тесной связи с вычислением значений произвольных констант, появляющихся в выражении ( X1V). Эти константы являются коэффициентами линейной формы Я, и квадратичной формы v(°), входящих в формулу ( XIV). [c.89]

Выражение ( LXXX) для основной формы содержит, таким образом, кроме двух произвольных функций II т, еще и две формы — линейную форму % и квадратичную V. Произвольность т, однако, ограничена тем [c.124]

Ранее мы показали, что если граница неособого интегрируемого биллиарда содержит кусок геодезической Ь = гб2 <г,Л"> = 0 , то соответствующая квадратичная форма К(М) делится на линейную форму <М, ЛК>. Следовательно, такими 1 еодезическими могут быть только Ь и [c.145]

Учитывая сказанное, ограничимся ниже построением тетраэдральных элементов лишь с линейным полем перемещений и элементов Т48. Первые являются базовыми для всего семейства тетраэдральных элементов элементы более высокого порядка (с квадратичными и кубичными полями перемещений) из этого класса легко формулируются как обобщение этих элементов. Введенные в разд. 8.4 тетраэдральные координаты позволяют построить функции формы для представления любого порядка и приводят к алгебраичес- [c.311]

НПДН для любой граничной точки является единственным и определяется путем решения простейших задач линейного или квадратичного программирования известными методами при условии, что ограничения даны только в форме неравенств. В результате решения находится S , имеющий максимальную проекцию в направлении gradWo(Z ) и удовлетворяющий условиям ДН. При локальной линейной аппроксимации граничной поверхности в окрестности Zn вектор ДН либо касателен к поверхности многообразия, полученного путем пересечения аппроксимирующих гиперплоскостей, либо направлен внутрь допустимой области (рис. П.6, в). Если S становится ортогональным gradWo(Z).), то дальнейшее улучшение Но невозможно. [c.250]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...