Периодическая система с одной степенью свободы

Периодическая система с одной степенью свободы [c.66]

Рассмотрим вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при наличии сил сопротивления, пропорциональных скорости. Уравнение движения для такого случая получим, если в дополнение к силе сопротивления 5 = ад на груз в вертикальном направлении (рис. 528) будет действовать некоторая периодическая сила Р sin pt. Обозначив [c.544]

В рассматриваемом случае, когда парциальные системы одинаковы, их парциальные частоты совпадают и по мере ослабления связи нормальные частоты сколь угодно приближаются друг к другу, а значит, биения могут быть сколь угодно медленными. С другой стороны, если амплитуды обоих нормальных колебаний одинаковы, то амплитуда колебаний каждой массы будет по очереди периодически падать до нуля независимо от того, насколько слаба связь между системами с одной степенью свободы. Следовательно, при сколь угодно слабой связи должна происходить полная перекачка энергии из одной системы в другую и обратно. Но так как при очень слабой связи период биений очень велик, а энергия полностью переходит из одной системы в другую за полпериода биений, то перекачка энергии будет происходить очень медленно. Если потери энергии в связанных системах велики, то колебания в них могут успеть полностью затухнуть за время меньшее, чем полпериода биений. Тогда биения наблюдаться не будут. Напомним, что все сказанное относится к случаю, когда обе парциальные системы одинаковы. Случай неодинаковых парциальных систем рассмотрен в следующем параграфе. [c.638]

Исследуя только системы с одной степенью свободы, мы ограничим свою задачу рассмотрением лишь периодических изменений или, как часто говорят, случаем периодической модуляции параметра. Для выяснения специфических особенностей процессов, вызываемых периодическим параметрическим воздействием, рассмотрим простейшую модель. [c.129]

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы, в случае малого сопротивления и периодической возмущающей силы, имеет следующий вид [c.50]

Рис. 63. Траектория изображающей точки в фазовом пространстве в случае периодического движения системы с одной степенью свободы.

В системах более чем с одной степенью свободы мы ограничимся рассмотрением лишь тех задач, в которых уравнение, определяющее характеристическую функцию W, является уравнением с разделяющимися переменными (по крайней мере, для одной системы канонических переменных). Движение системы мы будем представлять как движение изображающей точки в многомерном фазовом пространстве (q, р). Будем говорить, что это движение является периодическим, если, проектируя изображающую точку на каждую плоскость (qi, / ,), мы получаем периодическое движение в обычном смысле слова (как для системы с одной степенью свободы). Но так как мы рассматриваем случай полного разделения переменных, то эти движения будут независимыми, и их можно легко исследовать. Согласно уравнениям канонического преобразования [c.318]

Периодически повторяющиеся импульсы. Случай часов. Вынужденные (малые) колебания системы с одной степенью свободы определяются (гл. 1, п. 59, и гл. IV, пример 19) уравнением вида [c.518]

Чтобы понять сущность метода Делонэ, целесообразно сначала рассмотреть случай системы с одной степенью свободы. Фазовое пространство такой системы является двумерной плоскостью р, и периодические движения могут быть двух различных типов. [c.371]

Разделение источников вибраций (шумов). Этот важный класс задач состоит в обнаружении источников вибраций и шумов. Одна из них подробно рассмотрена в главе 4, где основное внимание обращено на количественную оценку вкладов источников. Есть, однако, и другие задачи этого класса, где требуется качественно определить главный источник или выявить преобладающий механизм возбуждения вибраций и шумов. В одной из таких задач [143, 155] рассматриваются квазилинейные колебательные системы с одной степенью свободы. По характеристикам выходного сигнала определяется тип источника — автоколебания, случайные или периодические, внешнее или параметрическое возбуждение. Задача решена на основе анализа функций распределения плотности вероятности квадрата амплитуды и фазы сигнала. В качестве информативных признаков, по которым производится распознавание системы, используются характеристики, определяющие вид функции плотности (количество максимумов, степень убывания функции и некоторые другие). Хотя это решение получено для системы с одной степенью свободы, оно может быть основой для анализа механизмов возбуждения вибраций и шумов в более сложных системах, в частности в зубчатом зацеплении. [c.18]

Во многих задачах, например в задаче о настроенном демпфере, присоединенном к поверхности конструкции, колебания в системе с одной степенью свободы возбуждаются не только внешней силой, действующей на массу т, но и путем периодических перемещений опоры, к которой присоединена эта система [c.144]

В системах с одной степенью свободы, фазовым пространством которых является плоскость, возможны периодические колебания. Когда говорят о детерминированности, имеется в виду однозначность, взаимосвязь причины и следствия, а представления о хаосе уподобляют случайному процессу, т.е. хаос отвечает состоянию, при котором изменение во времени состояния системы нельзя ни предсказать, ни воспроизвести [4,6,7]. [c.21]

Рассмотрим теперь поведение решений в окрестности исследованных периодических решений. Наглядной характеристикой автономной системы с одной степенью свободы является ее фазовый портрет. Для неавтономной системы с периодическими коэффициентами аналогичную роль играет стробоскопическая картина, образуемая точками фазовых траекторий в дискретные моменты времени, отличающиеся друг от друга на величину, кратную периоду системы. Сдвиг времени на период определяет преобразование точек фазовой плоскости. Периодическому решению отвечает неподвижная точка такого преобразования. Периодическое решение будет устойчивым, если образ достаточно малой окрестности неподвижной точки остается малым при произвольном числе последовательных преобразований при этом стробоскопическая картина фазовых траекторий, близких к периодическим, дает замкнутые кривые, окружающие неподвижную точку. [c.101]

Периодические решения, о которых идет речь в предложении 1, по аналогии с системами с одной степенью свободы, назовем либрациями. Вращениями естественно назвать периодические решения, траектории которых пе имеют общих точек с границей области возможных движений. Легко сообразить, что в натуральных механических системах периодических решений другого типа нет. [c.141]

Применим результаты п. 1 к неавтономным гамильтоновым системам с одной степенью свободы. Пусть z = х, у) — симплектические координаты, и пусть Н = Ho z) -Ь eHi z, t) +. .. — функция Гамильтона, периодическая по t. Предполагается, что при е = [c.262]

С помощью леммы 1 легко получить условия существования линейного и квадратичного интегралов. При п = 1 из соотношения а 2 = пУ получаем I/ = 0. Следовательно, линейный интеграл сводится к интегралу момента х. При п = 2 из уравнения (3.4.0) получаем соотношение 14 = О, откуда У = /( ), где /( ) — произвольная гладкая 2тг-периодическая функция. Интеграл (3.3) превращается при этом в обычный интеграл энергии автономной системы с одной степенью свободы. [c.381]

Нелинейные системы. Большинство задач теоретической и математической физики приводят к нелинейным уравнениям [85-93]. Консервативные системы с одной степенью свободы всегда интегрируемы. В предыдущих лекциях мы получили решения одномерных нелинейных систем частицы в поле Эккарта (см. лекцию 5) и математического маятника (см. лекцию 14), которые демонстрируют типичные свойства нелинейных колебаний 1) периодическое решение, разложенное в ряд Фурье, содержит бесконечное число гармоник основной частоты, 2) период колебаний зависит от полной энергии. [c.161]

Рассмотрим частный случай. Система с одной степенью свободы. На массу Л/, действует периодическая сила (рве. 13.19). Собственной массой балки пренебрегаем. Из системы уравнений (13.17) получим [c.359]

Ряды Биркгофа (которые получатся если не ограничиваться нормализацией нескольких первых членов ряда Тейлора функции Гамильтона, а идти до бесконечности) — один из примеров формально состоятельной, но на самом деле расходящейся схемы теории возмущений. Если бы эти ряды сходились, то общая колебательная система с одной степенью свободы с периодическими коэффициентами приводилась бы вблизи положения равновесия к автономной нормальной форме и в ней не было бы расщепления сепаратрис (а на самом деле оно есть). [c.363]

Следовательно, для того, чтобы можно было ожидать во всех случаях бесконечного множества периодических движений в окрестности начала координат, мы должны при та > 1 прежде всего наложить условие 1 ф О, аналогичное условию I ф О для системы с одной степенью свободы. [c.171]

Возможность приведения к пфаффовой системе с одной степенью свободы т = Ij вместе с результатами предыдущего параграфа делает с самого начала пес(.ма вероятным, что в окрестности данного периодического дпнженип будет, вообще говоря, бесконечное множество периодических двил .еннй с большим периодом, если только данное периодическое двил илию устойчиво. [c.166]

Вынужденные колебания. Как и в случае системы с одной степенью свободы (гл. I, п. 59), обычно называют вынужденными колебаниями какой-нибудь голономной системы в окрестности конфигурации устойчивого равновесия колебания, определяющиеся совместным деНствие.м консервативных сил, к которым относится состояние равновесия, и добавочных сил, например периодических. [c.372]

Если ц есть число иррациональное, то движение не будет периодическим, а траектория будет располагаться вся внутри прямоугольника (ai х bi, i>2) плоскости ху, оставаясь незамкнутой (рис. 49). Такое движение называют квазипериодическим. Более подробное изучение квазипериодических движений связано с введением так называемых угловых пережнных. Это исследование мы отложим до рассмотрения общего случая п переменных. (В 1.3 был указан один простой пример введения угловой переменной для системы с одной степенью свободы.) [c.307]

Условия существования и устойчивости режимов с двумя поочередными ударами за период, на которых осуществляется эф( )ективпое гашение, располагаются в зарезонансных зонах частот возбуждения системы с гасителем [13]. На рис. 11 приведена амплитудно-частотная характеристика системы с одной степенью свободы, имеющей частоту Мо = с1т, снабженной ударным гасителем плавающего типа и возбуждаемой периодической силой постоянной амплитуды. Гашение колебаний достигается лишь при переходе через собственную частоту демпфируемой системы. В дорезонансной области возможна сильная раскачка системы на частоте й) = = V с/(т + т ). [c.356]

Устойчивость вынужденных колебаний нелинейной системы. При гармоническом возбрхдении механической системы с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы в некотором диапазоне частот решение задачи о вынужденных колебаниях неоднозначно — одному и тому же значению частоты возбуждения соответствуют несколько значений полуразмахов колебаний (см. с. 28), т. е. несколько разных режимов движения. Некоторые из этих режимов неустойчивы. При анализе устойчивости различных режимов коэффициенты уравнений первого приближения оказываются периодическими функциями времени (см. с. 39) для системы с одной степенью свободы уравнения первого приближения обычно приводятся к уравнению типа Хилла (или в частном случае к уравнению Матье), Задача устойчивости периодического режима движения нелинейной системы сводится к оценке свойств решений этого уравнения (см. т. 1). [c.41]

Система с вязким или сухим треиием без позиционной силы (простейшая модель процесса виброперемещения). Некоторые важные закономерности действия вибрации на диссипативные механические системы можно выяснить при рассмотрении системы с одной степенью свободы, описываемой дифференциальным уравнением, которое приведено в п. 7 таблицы. В этом уравнении величины т и имеют смысл масс, 1=1 titt) — заданная 2я-периодическая функция Т — некоторая постоянная сила F (х)—сила сопротивления, зависящая от скорости. Указанное уравнение описывает, например, относительное движение тела массы т по плоскости, совершающей периодические колебания по закону при действии постоянной силы Т и силы сопротивления F (х) в этом случае = т. То же уравнение при т , вообще говоря, отличном от т, описывает движение тела, находящегося на неподвижной плоскости, но подверженного действию заданной периодической силы mjl (о) ) и сил Т W F (х). К изучению этого уравнения сводятся и многие Другие одномерные [c.253]

Прежде чем покончить с общей теорией, желательно еще раз подчеркнуть первостепенное значение гармониче-ского типа колебаний в вопросах динамики. Мы видели, что оно является типичным для системы с одной степенью свободы, лишенной трения, или (в более общей форме) для системы, колеблющейся так, как если бы она обладала только одной степенью свободы, как в случае нормального колебания. Гармоническое колебание является также единственным типом вынужденных колебаний, в точности воспроизводимых, в большем или меньшем масштабе, во всех частях системы. Если сила совершенно произвольного характера действует на какую-либо точку системы, то колебания, вызванные ею в других частях системы, как правило, не похожи ни на эту силу, ни друг на друга только в случае периодической силы, зависящей от времени по гармоническому закону, вынужденные колебания в точности подобны друг другу и происходят син-фазно с действующей силой. Далее, оказывается, что при приближении к критической частоте вынуждающая сила создает вынужденные колебания с резко увеличенной амплитудой только в том случае, когда она санш подчиняется простому гармоническому закону или содержит соответственную гармоническую компоненту. Именно эти обстоятельства помогли Гельмгольцу обосновать свою теорию слуха, к которо мы обратимся впоследствии. [c.74]

Колебательные системы с одной степенью свободы, находящиеся под действием внешних сил, имеют трехмерное фазовое пространство, где третьей координатой является время. В таких системах хаотические колебания возможны даже при периодических внешних воздействиях. Подобные колебания наблк дались как в численных, так и в физических экспериментах. [c.267]

Однако следует учитывать, что аналитическая гамильтонова система может иметь интегралы класса С", но не иметь интегралов из класса " + (мы не исключаем значение г = 0 neripe-рывную функцию назовем интегралом, если она локально непостоянна и принимает постоянные значения на каждой траектории). Покажем это на примере неавтономной гамильтоновой системы с одной степенью свободы с функцией Г амильтона Н = ау + -j- f x,t), где а — вещественный параметр, / — аналитическая 2тг-периодическая функция переменных х и t. Так как Н периодична по X и i, то естественно принять прямое произведение IR х = [у X, t mod 2тг в качестве расширенного фазового пространства. [c.64]

При = О собственные значения матрицы монодромии уравнения (5.17) при отображении за периоды 2тг и 2т равны соответственно Л12 = и /Х12 = Очевидно, что /х12 Ф 1 при о О и Л1,2 Ф если о 1/4 -Ь /гтг, к е Ъ. Из соображений непрерывности ясно, что при о 1/4 -Ь тг и малых О собственные значения /Х1,2 не являются корнями из единицы, и А1 2 ф г (это свойство, в действительности, имеет место для почти всех о и ). Следовательно, по теореме 1, уравнение (5.17) в этих случаях неинтегрируемо в комплексной области. Отметим, что в действительной области это уравнение вполне интегрируемо оно имеет аналитический интеграл Г г, г, I), 2тг-периодический по Ь. Дело в том, что линейной канонической заменой переменных, 2тг-периодической по I, уравнение (5.17) можно привести к линейной автономной гамильтоновой системе с одной степенью свободы тогда в качестве функции Г можно взять функцию Гамильтона автономной системы. [c.367]

Заметим, что в системах с одной степенью свободы наличие у периодического движения участка скольжения гарантирует его асимптотическую устойчивость. Действительно, возмущенная траектория может отличаться от невозмущенной лигиь до первого участка скольжения, а затем они сливаются. В системах с несколькими степенями свободы из наличия участка скольжения следует, что характеристическое уравнение (13) имеет два нулевых корня. Поэтому проверка условий теоремы 2 связана с вычислением остальных 2п — 2 корней. [c.252]

Отображение за период, полученное из системы уравнений Гамильтона с периодическими коэффициентами, является симплектическим. Исследование параметрического резонанса в системах с одной степенью свободы, проведенное в 25, опиралось на анализ поведения собственных чисел сим-лектических преобразований плоскости. [c.197]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...