Ряды Ли как каноническое преобразование

Решение уравнений (10), (11) можно найти в результате ряда канонических преобразований (КП). Произведем вначале КП х, у, Рх, [c.510]

В настоящем разделе мы наметим способ, с помощью которого можно ввести определенную совокупность коллективных переменных для описания плазмонов, а затем, производя ряд канонических преобразований, перейти к представлению, в котором (в рамках применимости КРА) плазмоны представляют собой независимые элементарные возбуждения системы взаимодействующих электронов [10]. [c.141]

Особого рассмотрения заслуживают те вполне канонические преобразования, при помощи которых вместо п переменных одного из первоначальных рядов, например q, вводятся п наперед заданных их линейных однородных независимых комбинаций с постоянными коэффициентами [c.259]

Если в промежутке изменения t, в котором сохраняют свое значение эти уравнения (76 ). мы фиксируем какой-нибудь момент (отличный от ц), который обозначим через t и назовем конечным моментом, то/уравнения (76 ) при таких значениях ш t определят, по крайней Мере, в некоторой области одно-однозначное соответствие между координатами р , начальной фазы к р, q конечной фазы. Это соответствие, как мы только что видели, образует каноническое преобразование между двумя рядами переменных. [c.300]

Приближенное решение исходных уравнений получится из равенств (56) при помощи формул указанного выше канонического преобразования Биркгофа, выражающих старые переменные через новые. Несложно проверить, что в рассматриваемом случае чисто мнимых корней характеристического уравнения линеаризованной системы уравнений движения величины Л/г к = 1, 2,..., п) также будут чисто мнимыми, Л/г = гП/г (/с = 1, 2,..., п), и, следовательно, старые переменные будут рядами синусов и косинусов аргументов, кратных П/г . [c.402]

Существуют ли и другие инварианты при канонических преобразованиях Пуанкаре указал на ряд интегральных инвариантов. Можно показать, что интеграл [c.846]

Описанные исходные предпосылки позволили доказать, что последовательность канонических преобразований (и, следовательно, ряды (263), представляющие решение гамильтоновой системы (1)) сходится, если начальные условия (х , G n- [c.247]

Иногда полезно взглянуть на обсуждавшееся выше каноническое преобразование с немного иной точки зрения, В самом деле, посредством разложения в ряд нетрудно доказать, что [c.30]

В. И. Арнольд . Преодолев значительные математические трудности, характерные для исследований сходимости рядов, встречающихся в задаче трех и многих тел, путем применения процесса последовательных канонических преобразований и исключения частот, соответствующих быстро убывающим малым делителям, они построили строгую теорию возмущений [c.115]

Теорема 1 (Дж. Биркгоф). Если аь. .., а независимы над полем рациональных чисел, то существует формальное каноническое преобразование х,у г], задаваемое формальными степенными рядами [c.126]

Пусть А1,...,Л2п — собственные значения линеаризованной канонической системы с гамильтонианом Яг. Можно считать, что Хп+к = —Хк (1 < /г < п). Рассмотрим случай, когда числа Ах,..., Л чисто мнимы и независимы над полем рациональных чисел, т. е. сумма тхАх -Ь. .. -Ь гтг А с целыми тп равна нулю только если все т,- — нули. При этом предположении Биркгоф нашел формальное каноническое преобразование, приводящее систему (1.1) к нормальной форме. В частности, уравнения Гамильтона (1.1) имеют п интегралов в виде формальных степенных рядов по х,у, попарно находящихся в инволюции (см. 11 гл. II). [c.309]

Задачи построения полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби и общего интеграла канонической системы, как доказывается в теории дифференциальных уравнений, математически эквивалентны. Степень трудности их, вообще говоря, одинакова. Однако может быть отмечен ряд частных случаев, когда уравнение Гамильтона — Якоби может оказаться более податливым, чем каноническая система. Об этом говорится в п. 10.14. Более важно то обстоятельство, что решение (10), получаемое с помощью теоремы Якоби, является каноническим преобразованием, а это, как мы увидим в главе 11, значительно упрощает форму уравнений возмущенного движения. [c.537]

Это позволяет изучать поведение системы в течение больших интервалов времени для близких к равновесию начальных условий. Однако этого недостаточно, чтобы определить, будет ли положение равновесия устойчивым по Ляпунову (из-за того, что на бесконечном отрезке времени влияние отброшенного остаточного члена ряда Тейлора может разрушить устойчивость). Такая устойчивость вытекала бы из точного приведения к аналогичной нормальной форме, без пренебрежения остаточными членами. Однако можно доказать, что это точное приведение, вообще говоря, невозможно, а формальные ряды для канонических преобразований, приводящих систему к нормальной форме, в действительности в общем случае расходятся. [c.352]

Замечание. Введем в множестве 3(ё новую топологию рассматривая в качестве окрестностей ряда с коэффициентами Нн. все сходящиеся степенные ряды с коэффициентами удовлетворяющими неравенствам 1Ак,—Лк, 1<в при 1 1-Ь + 5 Л для некоторых е>0 и N 3. Можно показать, что относительно топологии множество гамильтонианов со сходящимися преобразованиями Биркгофа всюду плотно в Действительно, если в формальных степенных рядах, задающих преобразование Биркгофа, мы отбросим члены степени больше Ы, а затем подправим коэффициенты ряда данного гамильтониана при старших членах, то получим сходящееся каноническое преобразование, приводящее модифицированный таким способом гамильтониан к нормальной форме. Отметим, что топология конечно, много слабее топологии [c.255]

Для доказательства представим искомое каноническое преобразование (3) с помощью производящей функции v x, г]), которая вводится как формальный степенной ряд вида [c.270]

Валентность канонического преобразования (7.4) равна 21. Новый гамильтониан равен 2Ш, где Н есть функция Гамильтона (6.5), выраженная через рц по формулам (7.4). Разлагая еще (а) в ряд в окрестности Оо, получим [c.47]

Для волновых функций, удовлетворяющ их (40.2), значения энергии гамильтониана Н при введенных дополнительных переменных будут совпадать со значениями энергии для Н . Путем ряда канонических преобразований можно перейтн от переменных Р , определенных выше, к переменным, представляющим колебания плазмы. [c.765]

Сходимость канонического преобразования. Каноническое преобразование S (39.4) можно рассматривать как введение новой системы функций Блоха, которые зависят от координат, описывающих колебания, Н новой системы колебательных координат, которые зависят от координат электрона. Разложение (39.2) нового гамильтониана в степенной ряд до S будет быстро сходиться, если в S пренебречь небольшим числом членов, а именно членами, у которых знаменатели, содержащие энергию, viaflH. Мы покажем, что опущенные члены не вносят заметного вклада в матричные элементы и в частоты колебаний и Между тем как раз эти члены существенны для сверхпроводимости. Анализируя этот вопрос, Фрелих [139] предложил опустить эти члены в каноническом преобразовании и рассматривать их отдельно. Мы будем придерживаться здесь той же точки зрения. [c.768]

Резюме. Общая форма произвольного канонического преобразования связана с производящей функцией, которая определяет собой это преобразование. Любая функция переменных qi и Q,- может быть выбрана в качестве производящей функции для соответствующего канонического преобразования. В дополнение к этой функции а priori может быть задан ряд определенных соотношений между qi и Q,-. В этом случае мы получаем обусловленное каноническое преобразование. Число заданных заранее условий может меняться от одного до п. Формулы канонического преобразования имеют ту особенность, что они не задают преобразование в явном виде. Вместо выражений для новых переменных через старые либо наоборот — старых через новые мы имеем некоторое смешанное представление. Старые и новые импульсы выражаются через старые и новые позиционные координаты. [c.240]

Резюме. Делоне предложил замечательный метод изучения систем с разделяющимися переменными, удовлетворяющих дополнительному условию, согласно которому линии тока на разделившихся фазовых плоскостях (7, pii) — замкнутые кривые. Он ввел каноническое преобразование, позиционными координатами которого являются переменные действия Jk, определенные как площади, ограниченные линиями тока. Для движения, осуществляющегося в действительности, Jk являются константами, а сопряженные импульсы, взятые с обратным знаком,— угловые переменные со — линейно меняются со временем /. Частные производные Е по У,- дают п новых констант, являющихся частотами движения v,-. Каждое qk может быть записано в виде кратного ряда Фурье, содержащего все частоты V,- и все их гармоники. Поэтому такие системы называются многопериодными. [c.291]

В последние десятилетия разработаны новые способы применения канонических преобразований в теории возмущений, например метод Депри-Хори. С алгоритмической точки зрения он выгодно отличается от изложенных классических методов. Например, его применение не требует одной из самых громоздких процедур — обращения рядов, а формулы метода задаются рекуррентно, и необходимые преобразования могут быть достаточно просто реализованы на вычислительной машине . [c.403]

Мы только что акцентировали внимание на том, что каноническая теория возмущений для случая, когда степеней свободы больше, чем одна, ведет к расходящимся рядам. Иногда удобно для решения уравнений движения (мы приведем пример в следующем параграфе) использовать старые переменные wi и которые, конечно, остаются канонически сопряженными переменными и для возмущенной системы, поскольку они получаются из и С1к каноническими преобразованиями. Это особенно удобно, когда мы имеем дело с вырожденной системой. Простейший случай вырождения мы встретили в гл. 6, где некоторые v/ оказались просто одинаковыми. В задаче Кеплера оказалось даже, что Vj=V2=V3. В этом случае можно вместо величин J, определяемых соотношениями (6.224) — (6.226), использовать любую их линейную комбинацию и, в частности, умноженные на 2л величины а , и а , введенные нами в 6.1. Если обозначить умноженные на 2л величины а , и з через J , Ji и Уз", а канонически сопряженные переменные — через W , inii и w i , то мы придем к невозмущенной системе, для которой [c.197]

Прямой метод Ляпунова и каноническое преобразование системы дифференциальных уравнений. Учение Ляпунова об устойчивости движения, в том числе и его второй (ирямой) метод,, подробно изложено в ряде монографий [1, 8, 69, 74, 77, 113]. Ниже дается краткое изложение второго метода без его подробных доказательств в объеме, необходимом для рассмотрения задачи об устойчивости движения описываемого гидропривода объемного управления. [c.531]

Принциниальпым является вопрос о сходимости последовательности канонических нреобразований. В классической постановке (применительно к рядам, представляющим решение, а пе к последовательностям преобразований) этот вопрос рассматривался Пуанкаре [12], который получил отрицательный результат. Другие авторы фактически уточняли результаты Пуанкаре. В метрической концепции оказалось возможным доказать сходимость последовательности канонических преобразований. Основные результаты в этом направлении получили В. И. Арнольд 86] для гамильтоновых систем и Ю. Мозер [121] для уравнений -В частных производных эллиптического вида. Пе имея возможности излагать в полном объеме теоремы указанных авторов, рассмотрим два существенных момента в вопросе о сходимости канонических нреобразований (259). [c.245]

Уиттекер, Черри и Биркгоф получили впоследствии (1916-1927 гг.) аналогичные результаты для гамильтоновых систем в окрестности положений равновесия и периодических траекторий. Они показали, что в общем случае существует каноническое преобразование, задаваемое формальными степенными рядами, после которого уравнение Г амильтона просто интегрируется. Г амильто-новы системы со сходящимся преобразованием Биркгофа иногда называются интегрируемыми по Биркгофу. В этом случае также существует полный набор независимых коммутирующих интегралов специального вида. [c.15]

Первое издание книги опубликовано издательством Московского университета в 1988 г. Во втором издании книги приведены решения 160 новых задач. Включена новая глава 11 Релятивистская механика . Теперь сборник содержит решения 560 задач, иллюстрируюш их приложения методов теоретической механики к исследованию широкого круга проблем. Представлены задачи по всем разделам классической механики динамика частицы во внешнем поле и тел переменной массы, динамика системы частиц, уравнения Лагранжа, линейные и нелинейные колебания, динамика твердого тела, электромеханика, уравнения Гамильтона и канонические преобразования. Задачи по электромеханике рассмотрены в рамках лагранжева формализма. Включены также 42 задачи по релятивистской динамике, которые отсутствуют в известных сборниках задач по механике. Ряд задач, представляюш их различные аспекты одной проблемы, представлен в нескольких разделах сборника. Значительно расширен раздел, включаюш ий множество задач, иллюстрируюш их применение новых методов интегрирования систем нелинейных уравнений обш его вида, представленных в гамильтоновой форме. [c.5]

Ковариантная теория возмущений в классической электродинамике. Существенную часть курсов классической электродинамики составляют разделы, посвященные вычислению радиационных процессов, к которым относятся излучение частиц, движущихся во внешних полях, рассеяние частиц и рассеяние электромагнитных волн. Можно заметить, что все расчеты основываются на использовании потенциала Лиенара-Вихерта, представляющего собой решение уравнения для 4-потенциала в приближении заданного 4-тока [12, 38, 153, 247, 248]. Поэтому отсутствует анализ индуцированных процессов и эффектов высших порядков. С другой стороны, гамильтонов формализм позволяет получить решение уравнений на основе теории канонических преобразований, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В частности, в рамках канонической теории возмущений, изложенной в лекции 28, можно вычислить любую экспериментально измеряемую динамическую характеристику процесса в релятивистской ковариантной форме. Кроме упрощения всех вычислений, теория является универсальной в том смысле, что эволюция динамических переменных, обусловленная взаимодействием частиц и поля, определяется единым образом в терминах запаздывающих функций Грина. Результат вычислений, как и в фейнмановской теории возмущений в квантовой электродинамики, имеет форму ряда по степеням е , каждый член которого связан с соответствующим спонтанным или индуцированным процессом [6]. [c.380]

Основная идея работ советской школы заключалась в применении вместо рядов, расположенных по степеням малых возмущающих масс (которые являлись основным математическим аппаратом классической небесной механики), процесса последовательных канонических преобразований, которые в той же форме применялись еще С. Ньюкомом и А. Пуанкаре но при этом в каждом приближении исключается множество частот, соответствующих тем малым делителям, которые стремятся к нулю слишком быстро (множество исключенных частот мало вместе с возмущающей массой). Эта методика, указанная впервые А. Н. Колмогоровым (1954), была затем строго обоснована В. И. Арнольдом и прил1е-нена им для доказательства устойчивости (в смысле Лагранжа) модельной системы материальных точек с отрицательной энергией типа Солнечной системы. [c.357]

Таким образом, необходимый для расчета однофононного комбинационного рассеяния света гамильтониан в представлении вторичного квантования описывается формулами (6.84), (6.86), (6.87) и (6.89). Ясно, что нам следует описать процесс, при котором происходит переход из состояния Т,- в состояние через промежуточные состояния Непосредственная проверка совокупностей операторов, входящих в (6.86) и (6.89), показывает, что для интересующего нас процесса требуется, чтобы совокупность операторов ЖеяШеьШек, действуя на давала функцию Тг. Это, очевидно, процесс третьего порядка. Вычисление членов ряда теории возмущений третьего порядка можно выполнить в компактной форме, произведя каноническое преобразование [49]. Рассмотрим для этого не зависящее от времени уравнение Шредингера для полной системы излучение 4- вещество [c.85]

Половинная 5-матрица определяется рядами теории возмущений по постоянной взаимодействия X и приводит к явным выражениям для динамических величин определенного вида, оказывающихся конечными полиномами по Я, в точно решаемых случаях. Аналогичная ситуация имеет место и в классической области, где роль унитарной S-матрицы выполняет функция, осуществляющая соответствующее каноническое преобразование Беклунда. Данное утверждение применимо как к одномерным, так и к двумерным моделям. [c.7]

В настоящем параграфе методы теории возмущений применяются для построения явных выражений для рещений точно интегрируемых динамических систем. При этом важно подчеркнуть, что речь идет не о каких-либо приближенных результатах, а о точных выражениях, возникающих в результате суммирования рядов теории возмущений, которое для рассматриваемых систем удается довести до конца. Тем самым, преобразование Беклунда, осуществляющее связь нелинейной и соответствующей линеаризованной систем, приобретает явную формулировку. Им является каноническое преобразование, связывающее рещения некоторой нелинейной динамической системы с рещениями системы, возникающей из исходной при нулевом значении постоянной взаимодействия . (В простейшем случае в роли нелинейной и линеаризованной указанным образом систем выступают уравнения Лиувилля и Лапласа соответственно.) [c.177]

Для простоты изложения все методы рассматриваются лишь в первом порядке по е, а канонические преобразования выполняются с помощью зависящей от смешанного набора переменных производящей функции. Эти методы можно перенести и на более высокие порядки [34], но последовательное распутывание старых и новых переменных становится алгебраически сложным, а соответствующие ряды оказываются громоздкими. Однако высшие приближения часто необходимы, как, например, в задаче Хенона и Хейлеса, где первый порядок теории возмущений дает неверный результат даже в предельном случае очень низкой энергии. В 2.5 мы знакомим читателя с теорией преобразований Ли, которая пришла на смену старым способам получения классических рядов в высоких порядках по 8. Методы Ли иллюстрируются на примерах задач с одной степенью свободы и вычисления адиабатических инвариантов высших порядков. [c.84]

Если константа связи превышает единицу, приближение ч. II, 50 нарушается. Можно, правда, еще учесть более высокие члены ряда теории возмущений, но лучше перестроить гамильтониан с помощыо канонического преобразования. Это было сделано Ли, Лоу и Пайпсом и усовершенствовано впоследствии другими авторами (см. задачу 4.2). Наиболее важные из найденных результатов за- [c.60]

Метод использования канонических переменных дает возможность действовать систематически посредством ряда последоватольпых канонических преобразований. Фактически это было проделано Делонэ для основно1"1 задачи теории Луны. Решение Делонэ представляет собой наиболее совершенное аналитическое решение этой проблемы. Прин-цппы его метода объясняются в гл. ХУП. [c.288]

Цель этого параграфа состоит в том, чтобы с помощью канонического преобразования в виде степенных рядов установить для заданной системы (1) нормальную форму [1]. Для этого переведем сначала, как и в 13, в нормальную форму линейные члены правых частей уравнений (1), следовательно, квадратичные члены Н. Новые неременные обозначим через х , Ук и положим = х , = Ук к = 1, , п) [c.269]

Для рассмотрения условий вещественности примем во внимание, что Н г) = Н г ш) является действительным степенным рядом относительно №1,. .., гп2п- Далее, матрицы , и Т = являются сим-нлектическими. Каноническое преобразование (3) можно сокращенно записать в виде = вектор-столбец с 2п составляющими 6, % ( = 1, п). Тогда [c.272]

С номош ью сходяш егося канонического преобразования го = д -С,) заданная функция Гамильтона Н нреврагцается в стененпой ряд Н = = + С но ( 1,. .., (2т причем С начинается с членов степени + 1, а Р является многочленом степени I, который зависит только от произведений = < к к = 1,. .., п). Пусть все собственные значения чисто мнимые. Тогда для действительных решений г кЩ = к к О [к = 1,. .., п). Полагая [c.275]

Дадим теперь пример такого сходящегося степенного ряда для Н, чтобы интеграл ых = ххух +... расходился в частности, тогда получится, что систему Гамильтона, образованную с этой функцией Н, нельзя перевести сходящимся каноническим преобразованием в нормальную форму. Для этого положим гг = 2, Л1 = г, Лг = гр с действительным иррациональным числом р, так что условие линейной независимости Л1, Л2 выполнено. Положим затем [c.278]

Глава 11 содержит изложение основ метода Депри — Хори в теории возмущений гамильтоновых систем. В настоящее время на русском языке нет еще достаточно подробного описания этого метода. Разработанный сравнительно недавно [113, 142], он имеет значительные преимущества перед широко известными классическими методами, такими как, например, преобразование Биркгофа [7] или метод Цейпеля [9]. Практическое построение канонических преобразований в методе Депри — Хори основано на использовании рядов Ли и преобразовании Ли. Для ясности изложения [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...