Преобразования вполне канонически

Из заключения п. 10 следует, что в совокупности определенных там преобразований вполне каноническими будут только преобразования, удовлетворяющие тождеству (19) при Яц = 0, т. е. тождеству [c.257]

Потенциал полного притяжения 320 Преломленный луч 416 Преобразование вполне каноническое 257, 258, 261, 265 -- — бинарное 260 [c.548]

Вполне канонические преобразования. Если функция V явно не зависит от t, то преобразование (20), примененное к какой-нибудь канонической системе, не только сохранит ее типичный вид, но и оставит неизменной ее характеристическую функцию, в том смысле, что преобразованная каноническая система будет иметь характеристической функцией преобразованную из первоначальной функции Н. [c.257]

Преобразование, обладающее этим двойным свойством, называется вполне каноническим. [c.257]

Легко убедиться, что к этому классу (вполне) канонических преобразований мы придем всякий раз, когда будем искать преобразование (18), не зависящее от и удовлетворяющее общему тождеству (19). Действительно, если общее тождество (19) напишем в виде [c.257]

Еще более частным случаем вполне канонических преобразований являются так называемые однородные преобразования, т. е. обратимые и не зависящие от t преобразования п пар р, q ъ к, /., удовлетворяющие дифференциальному тождеству [c.258]

Линейные вполне канонические преобразования. Если функция V п. 11 не зависит от if и линейна относительно своих 2л аргументов и Z, то и соответствующее вполне каноническое преобразование будет линейным (и однородным). В общем случае, если предположить, что уравнения (20) разрешены относительно новых переменных т , у., эти последние будут выражаться (линейно) через 2п первоначальных переменных р, д. [c.259]

Особого рассмотрения заслуживают те вполне канонические преобразования, при помощи которых вместо п переменных одного из первоначальных рядов, например q, вводятся п наперед заданных их линейных однородных независимых комбинаций с постоянными коэффициентами [c.259]

Способ предыдущего пункта приводит к однозначному определению таких п линейных относительно р форм, тоже с постоянными коэффициентами (которые должны быть приняты за новые переменные те), чтобы полученное преобразование было (вполне) каноническим. Для этого достаточно разрешить уравнения (25) относительно q и затем применить равенства (24). [c.259]

Вполне канонические бинарные преобразования. В случае вполне канонического преобразования, производимого только над двумя сопряженными переменными р, q, тождество (19 ), принимающее здесь вид [c.260]

Если как первоначальные переменные р, q, так и преобразованные переменные it, х мы будем истолковывать как декартовы ортогональные координаты на плоскости, то увидим, что вполне канонические бинарные преобразования представляют собой так называемые эквивалентные преобразования, т. е. преобразования плоскости, оставляющие неизменными площади. В дальнейшем (п. 16) мы увидим, что и вполне канонические преобразования с 2я переменными тоже будут эквивалентными в том смысле, что в фазовом пространстве в котором р, q истолковываются как прямоугольные декартовы координаты, сохраняется неизменным объем ограниченных фигур 2л [c.260]

Другое бинарное вполне каноническое преобразование, еще более элементарное, состоит в умножении одной из двух сопряженных переменных на произвольную постоянную я и в одновременном делении на п другой. Ясно, что для такого преобразования определитель Якоби будет равен 1. [c.261]

Уравнения вполне канонического преобразования в разрешенном ВИДЕ. Скобки Лагранжа. Вернемся теперь к общим рассуждениям [c.261]

Но мы предположили, что преобразование является вполне каноническим, так что если будем предполагать выполненными условия (31), то из соотношения (32) следует [c.264]

Заметим, что выражение (32), полученное в предыдущем пункте для произведения по столбцам определителей D и D, если примем во внимание равенства (31), показывает, что для вполне канонического преобразования матрицы этих определителей являются взаимно обрат- [c.264]

Поэтому заключаем, что равенства (31 ) в новой форме дают необходимые и достаточные условия для того, чтобы преобразование (28) было вполне каноническим. [c.265]

КаноничЕСКИЕ преобразования и преобразования прикосновения. Хотя это и не имеет прямого интереса для последующего изложения, все же не бесполезно отметить, кстати, внутреннюю связь между вполне каноническими преобразованиями и теми преобразованиями, которые в геометрии носят название преобразований прикосновения. [c.265]

Таким образом, мы приходим к, заключению, что вполне канонические преобразования при присоединении уравнения С == 2 — Q р ] д) оказываются тождественными с преобразованиями прикосновения типа (35). Если, в частности, Q сводится к постоянной, то дифференциальное тождество (19 ) принимает вид (19") (п. 12), и мы получаем так называемые однородные преобразования прикосновения. Эти преобразования находят важное применение в оптике, как мы покажем это в упражнениях. [c.268]

В аналогичном смысле общие канонические преобразования являются не чем иным, как преобразованиями прикосновения (35), в которые в виде параметра входит I как противоположный крайний случай, вполне канонические преобразования частного вида, к которым мы пришли в конце п. 12, заранее произвольно задавая обратимое и не зависящее от t преобразование между q к у., сводятся к расширенным точечным преобразованиям. [c.268]

Заслуживает внимания то обстоятельство, что с теоретической точки зрения рассмотренный в п. 53 случай оказывается только более общим случаем Рауса, разобранным в предыдущем пункте. Действительно, как это доказывается в теории преобразований прикосновения, инвариантные соотношения (105), находящиеся в инволюции, можно всегда привести надлежащим (вполне) каноническим преобразованием переменных р, q к простейшему виду [c.326]

Доказать, что это преобразование является вполне каноническим, поскольку из предыдущих формул следует [c.365]

Начнем со случая, где новая функция Гамильтона равна и>Р (см. 7). Составим дифференциальное уравнение (5.127) и найдем производящую функцию. Преобразование в этом случае унивалентное и вполне каноническое, поэтому уравнение (5.127) примет вид [c.320]

Докажем, что рассмотренное преобразование является вполне каноническим. Так как. И = И, то на основа НИИ выражения (5.43) можно записать [c.143]

Следовательно, рассмотренное преобразование является вполне каноническим. [c.145]

Сначала может показаться, что каноническое преобразование устанавливается способом, равносильным выбору произвольной постоянной интегрирования. Более подробное исследование показывает, что это утверждение неверно. Если все р , д[ и р1 указаны предварительно, то произвола в выборе Р нет это есть вполне определенная функция, зависящая от уравнений преобразования то обстоятельство, что эти последние можно вывести из нее, не должно вызывать удивления. Отсюда возникает неверное толкование, так как легче исходить из заданной функции Р и вывести уравнения преобразования, чем осуществить обратный процесс. [c.90]

Можно было бы попытаться аналогичным образом при помощи еще одного канонического преобразования q j p j р уничтожить члены четвертой степени Н 1 в функции Гамильтона Н". Это, однако, не удастся сделать, и в новой функции Гамильтона останутся некоторые члены четвертой степени, имеющие вполне определенную структуру. [c.401]

Эта система является вполне интегрируемой, я переход от переменных к и л к данным рассеяния соответствующего оператора Ь является канонич. преобразованием к переменным типа действие — угол. Фазовое пространство параметризуется канонически сопряжёнными переменными трёх типов [c.525]

Докажем, что рассмотренное преобразование является вполне каноническим. Так как Н = Н, то на основа-ПИИ выражения (5.43) моясио записать [c.143]

Прямая проверка предыдущих результатов. Результаты, относящиеся к характеристической функции Н, не зависящей от t, были выведены в предыдущем пункте как следствия из результатов, полученных в п. 35 при более общем предцоложении, что функция Н зависит явно от t мы пришли к правилу для определения общего решения канонической системы, вводя только полный интеграл W (с гессианом, не равным нулю) уравнения Н = Е, в которое t не входит. Представляет интерес найти снова эти результаты прямым путем, аналогичным тому, который был использован в п. 35 для общего случая, т. е. обращаясь к каноническому преобразованию, которое в этом случае не будет зависеть от f и потому будет вполне каноническим. [c.305]

Если в формулах (50) п. 26 гл. III представим себе, что вместо классических эллиптических элементов а, е, i. О, <и вместе с I введены другие пять элементов из таблицы (138), то будем иметь вполне каноническое преобразование между переменными х, у, z, X, у, Z (декартовы координаты и проекции скорости точки Р) и новыми эллиптическими элементами (138). Аналогично тому, что было сказано в п. 26 гл. III, это преобразование можно рассматривать независимо от предположения, что движение является кепле-ровым. В этом случае каждому состоянию движения х, у, г, х, [c.354]

Так как преобразование между первоначальными переменными и переменными (138) является вполне каноническим, то преобразованные уравнения будут также каноническими, а новая характеристическая функция получится просто путем выражения первоначальной функции Н через кеплеровы переменные. Так как на основании формул (140) имеем [c.357]

Преобразование уиивалентное, вполне каноническое с производя щей функцией [c.312]

В следующем параграфе будет спсте.матически развита теория для задач такого типа, основанная на использовании переменных действие — угол, введенных в предыдущей главе. Могут спросить, в какой степени необходимо — если не касаться непосредственной связи вопроса с кван-товомехапической теорией возмущений — бросать в бой тяжелую артиллерию канонических преобразований в самом деле, многие авторы полагают, что любой прямой метод вполне успешно решает ту же самую задачу. На это можно возразить, обратив внимание на то, что каноническая теория возмущений была в ходу задолго до появления квантовой механики но самым убедительным аргументом является, пожалуй, то, что во лшогих случаях, как можно убедиться, прямые методы оказываются либо более неудобными, либо они ведут просто к ошибочным результатам нередко случается, что они одповре-меппо и неудобны, и ошибочны. [c.184]

К преобразованиям позиционного или фазового пространства. Например, если при п = 2 заменить прямоугольные координаты X, у полярными г, ф, то вполне возможно, что ф окажется циклической координатой, хотя х ж у такими не являются (см. 211). Поэтому, хотя из изложенного в 117 следует, что любая динамическая систеа1а может быть приведена с помощью соответствующего канонического преобразования к нормальной форме (12) — (13) ИЗ, когда все координаты становятся циклическими, главная проблема состоит, как было замечено в конце 113, именно в нахождении такого пребразования. [c.177]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...