Случайные поля Случайные функции

В теории турбулентности приходится иметь дело со случайными полями — случайными функциями и М) от точки М четырехмерного пространства — времени. Моментами /С-го порядка такого поля называются средние значения произведений К значений поля [c.184]

Взаимные корреляционные функции пространственно-временного случайного поля. Моментные функции порядка г центрированного поля и (х, ) = и (х, f) — (U (х, t)) называют центральными моментными функциями, а моментные функции второго порядка — корреляционными функциями. Совокупность корреляционных функций Kjh (х, t X, f) образует тензорное поле удвоенного числа переменных X, t, х, t. [c.278]

При анализе случайных полей удобнее иметь дело с дискретным набором переменных, чем с непрерывным. Поэтому мы попытаемся описать поле в некотором объеме пространства с помощью дискретного набора ортогональных собственных функций. В качестве таких функций выберем систему векторных функций и (г) , удовлетворяющих волновым уравнениям [c.9]

Если и х) = и х1, Х2, Хз) — векторное изотропное случайное поле, то величины й1(х,. О, 0) и И2(лг1, 0. 0), очевидно, будут представлять собой однородные поля на прямой а 2 = а з = 0 (т. е. стационарные процессы от переменного л 1). а функции (г) и В г) будут корреляционными функциями этих полей на прямой. Отсюда вытекает, что одномерные преобразования Фурье функций [c.43]

Метод спекл-интерферометрии основан нз регистрации на одну и ту же фотопластинку двух изображений объекта в различных состояниях (например, исходном и деформированном) при освещении его лазерным светом. Как известно, изображение поверхности диффузных объектов в лазерном свете представляет собой своеобразную пятнистую структуру, состоящую из множества хаотически расположенных бликов (спеклов). Возникновение спекл-эффекта обусловлено усреднением диффузно-когерентных волновых полей в плоскости изображения, причем возникающая при этом интер( реи-ционная структура модулируется микрорельефом поверхности, представляющим собой случайную функцию координат. [c.79]

Численное решение уравнения (6) имеет две стороны. Во-первых, нужно построить поле s (x) с заданными статистическими свойствами. Во-вторых, следует выяснить, достаточна ли мощность имеющихся вычислительных машин для того, чтобы решить полученное для такого поля уравнение. До настоящего времени обе стороны вопроса являлись источником огромных препятствий для численных решений, однако в будущем наиболее труднопреодолимой задачей станет определение статистических функций. Мощность вычислительных машин возрастает ежегодно между тем в области построения случайных полей, имеющих заданные статистические свойства, сделано очень мало. [c.257]

Построение случайного поля с заданной функцией еще сложнее, поскольку здесь в нашем распоряжении нет такого простого метода, как суперпозиция гармонических функций с определенными амплитудами. Нам не известен ни один способ аналитического построения случайного поля с заранее заданной функцией / 3g, кроме трудоемких попыток построить гармоническое поле, которое соответствует фурье-преобразова-нию функции Фурье-преобразование функции R задается выражением [c.258]

Метод построения полей с заданными корреляционными функциями явился бы в некотором смысле идеальным решением проблемы, так как он позволил бы конструировать неоднородные материалы, описываемые любым заранее заданным классом случайных функций. Однако, поскольку этот подход практически неосуществим, мы неизбежно приходим к исследованию частных моделей, в которых задана процедура построе- [c.258]

Исследуются статистические характеристики вибрационного и акустического полей, возбуждаемых в пластине случайными полями. Показано, что дисперсия фазовой скорости изгибных волн и влияние акустической среды приводят к запаздыванию максимумов корреляционных функций. [c.115]

Принципиально возможен еще один подход к теоретической характеристике случайного процесса с непрерывными значениями параметра t (случайной функции с непрерывными значениями аргумента), если- представить себе все возможные разновидности единичного хода процесса (все возможные разновидности единичной непрерывной функции), совокупность которых и образует случайную функцию. Такие единичные разновидности можно назвать теоретическими вариантами процесса. Рассматривая множество всех возможных теоретических вариантов как поле вероятностей , можно для каждого из них установить вероятность (при конечном числе возможных вариантов) или плотность вероятностей (при бесконечном множестве возможных вариантов). Последние и будут тогда теоретическими характеристиками вероятностного процесса (случайной функции). Практическое использование такого рода характеристик возможно только при ограниченном числе возможных теоретических вариантов и при сравнительно простых аналитических выражениях или графических представлениях их. [c.207]

Случайные функции U (/) времени t называют случайными процессами. Область изменения аргумента t, как правило, совпадает с действительной прямой Г = = (—оо, оо). При рассмотрении задач с начальными данными будем в качестве этой области брать полупрямую Т = (О, оо). Случайные функции U (х) координат х = = (Xi.....х ) евклидова пространства называют случайными полями. Случайные функции времени i и координат х называют либо пространственно-временными случайными процессами, либо пространственно-временными случайными полями. Далее будем называть эти функции случайными полями. Совокупность случайных функций Ui (i),. .., U (f) называют п-мерным случайным процессом или векторным случайным процессом в пространстве R". Если в контексте встречаются векторные или тензорные величины, то во избежание недоразумений рекомендуется применять первый термин. Реализации (выборочные значения) случайных функций будем обозна- [c.268]

Моментные функции случайного поля. Рассмотрим ft-мерное векторное пространственно-временное случайное поле U (х, f) (рис. 2). Система моментных функций порядка г (г = 2,. ..) поля U (х, t) образуется путем перемножения реализаций его компонентов при различных значениях координат х и времени t и осреднения по множеству реализаций [c.278]

Здесь <ра (х) — некоторая полная система детерминистических вектор-функций коэффициенты (О — случайные функции времени t. Случайное поле U (х, () задается полной системой совместных плотностей вероятности или полной системой моментных функций для процессов (/ (/). Система моментных функций поля U (х, t) с использованием разложения (40) находится по формулам [c.278]

Стационарные пространственно-временные случайные поля. Здесь и ниже ограничимся рассмотрением скалярного поля Поле U (х, i), t е. (—оо. оэ) называется стационарным, если его вероятностные характеристики не меняются во времени. Моментные функции порядка / > 1 зависят от разностей t — t, f — t и не зависят от выбора начального момента наблюдения. Стационарное пространственно-временное поле и (х, t) называют эргодическим, если одна его достаточно продолжительная реализация содержит всю информацию о вероятностных свойствах поля. В этом случае моментные функции определяют путем осреднения соответствующих произведений сначала по времени, а затем по множеству реализаций. [c.278]

Однородные пространственно-временные случайные поля. Поле /У (х, (), заданное во всем пространстве R , называют однородным, если его вероятностные характеристики инвариантны относительно сдвигов системы координат. Моментные функции порядка г > 1 зависят от разностей координат р = х — х, р" = х" — х и т. д Если однородное поле является эргодическим, то осреднение по множеству реализаций может быть заменено осреднением по всему пространству. [c.279]

Однородные и изотропные случайные иоля. Однородное случайное поле называют изотропным, если его вероятностные характеристики инвариантны относительно сдвигов, вращений и отражений системы координат во всем пространстве Корреляционная функция однородного и изотропного поля зависит только от модуля вектора р = х —х I, а спектральная плотность — только от модуля волнового вектора /г = I к 1. Корреляционная функция и спектральная плотность однородного [c.279]

Методы моделирования случайных процессов и полей. Метод статистического моделирования (метод Монте-Карло) [18, 41, 53, 138] применительно к моделированию на ЭВМ случайных процессов и полей заключается в решении задачи воспроизведения дискретных последовательностей, имитирующих непрерывные случайные функции с заданными вероятностными характеристиками. [c.280]

Стохастические краевые задачи в теории колебаний. Рассмотрим методы решения стохастических краевых задач для случайных полей и (х, t) — функций времени t и координат X, заданных в области х е I/ пространства R". Операторная форма записи уравнений имеет вид [c.310]

Случай однородных и стационарных пространственно-временных полей. В случае, когда нагрузка f (х, t) и вибрационное поле и х, I) являются центрированными однородными и стационарными случайными функциями, их можно представить в виде интегральных канонических разложений [c.314]

Применение теории надежности к распределенным упругим системам. Общие принципы теории надежности могут быть распространены на распределенные системы [12], в которых векторами качества будут некоторые функции координат и времени (пространственно-временные случайные поля), а пространство V будет функциональным. Приближенные оценки (18) и (19) функции надежности справедливы и в этом случае, если число выбросов N (t) трактовать определенным образом. Например, пусть V (х, () — скалярное поле, и условие качества задается в виде v (х, () < [c.326]

X е Q. Тогда N (t) равно числу выбросов поля v (х, f) за уровень в пространственно-временном цилиндре = Q X [О, (]. В свою очередь, математическое ожидание числа выбросов может быть выражено через математические ожидания числа критических точек поля V (х, ) в Q . Существует подход к оценке надежности распределенных систем, основанный на представлении вектора качества в виде ряда по некоторым координатным функциям с коэффициентами — случайными функциями времени. В результате оценка функции надежности сводится к вычислению среднего числа выбросов из области в конечномерном пространстве. [c.326]

При изготовлении звеньев механизма ошибки ограничиваются полем допуска, связанным с выражением для дисперсии известным соотношением [2, 4, 13]. С другой стороны, корреляционная функция случайной функции при равных значениях ее аргумента равна ее дисперсии. Поэтому правые части корреляционных функций (5.5.6) и (5.5.7), выраженные через параметры, характеризующие поля допусков на скалярные ошибки и на модули плоских векторных ошибок, могут быть преобразованы следующим образом [c.473]

Для другого примера возьмем приборы, установленные на упругой пластине. Пусть пластина совершает случайные колебания в направлении, ортогональном ее плоскости. Вибрационное поле характеризуется функцией прогиба пластины w(x, t) и абсолютными перемещениями приборов Uj(t) (у = 1,2,...). Аналогично условиям в предыдущем примере наложим ограничения на виброперегрузки каждого прибора и на перемещения приборов относительно пластины. Допустимая область Q задается системой неравенств [c.42]

Если в однородном и изотропиом случайном поле выделить какую-либо прямую линию и значения поля рассматривать лишь на этой прямой, то в результате получим случайную функцию одного переменного х. К ней можно применить все результаты, относяш,иеся к стационарным случайным функциям. В частности, можно записать разложение корреляционной функции в интеграл Фурье [c.37]

Отсюда ожидаемая величина скорости, приобретаемой твердой частицей в результате смещения в полоячение у при условии, что э.лемент жидкости находится в полоя енни х, есть не что иное, как лагранжева скорость жидкости [V (О, )]х, умноженная на эйлеров коэффициент корреляции (у х) [230]. Поскольку уравнение (2.96) касается только свойств вторых моментов гидродинамических полей случайных переменных, то приемлемы допущения о гауссовом распределении [168]. Турбу.тентное поле течения Ячидкости считается изотропным, поэтому коэффициент корреляции является функцией только радиального расстояния от элемента жидкости в положении х. Кроме того, случайные переменные считаются стационарными. [c.70]

Описание статистической структуры векторного случайного поля во многом аналогично описанию скалярного поля. Можпо было бы ввести корреляционные или структурные функции для каждой из компонент векторного поля. Однако такие корреляционные функции не позволят описывать связь между различными компонентами поля и необходимо рассмотреть также взаимные корреляции между различными компонентами. Таким обра- [c.56]

Основное место в настоящей главе будет занимать вопрос о при-нении к случайным функциям одного или нескольких переменных е. к случайным процессам и случайным полям) методов гармони-ского анализа. Известно, что гармонический анализ, т. е. пред-1вление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье, ень широко используется в математической физике. При этом, нако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда фье возможно лишь для периодических функций, а в виде инте-ала Фурье лишь для функций, достаточно быстро убывающих на сконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и периодические, незатухающие на бесконечности функции, которые, эого говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье, этой точки зрения случайные функции оказываются даже имеющими ределенные преимущества перед обычными (не случайными) функ-ями. Дело в том, что для любых стационарных случайных оцессов и однородных случайных полей, для которых по саму их определению никакого затухания на бесконечности быть не [c.7]

Это представление стационарных случайных процессов и однородных случайных полей в виде суперпозиции гармонических колебаний или плоских волн является простейшим частным случаем возможного при весьма широких условиях представления случайной функции в виде суперпозиции компонент фиксированного фуикциоиального вида со случайными взаимно, некоррелированными коэффициентами (см., например, Яглом (1962, 1063). Ламли (1967)). Для случайных функций, определенных на Конечном интервале или в конечной пространственной области, такое обобщенное спектральное представление имеет вид разложения по специальной счетной системе ортогональных функций для функций в неограниченных областях оно записывается в виде интегрального разложения по континуальной системе функций, совпадающей с системой одномерных или многомерных гармоник лишь в случае стационарных процессов и однородных полей. [c.8]

Переходя к моментам высших порядков однородных случайных полей, заметим, что во всех реальных случаях специальные комбинации этих моментов, называемые семиинвариантами, быстро стремятся к нулю при неограниченном возрастании любого йз своих аргументов и, следовательно, представимы в виде интегралов Фурье (см. часть 1, п. 4.2). Однако в случае се 1иин-вариант0в выше второго порядка точные условия, которым должны удовлетворять их преобразования Фурье, неизвестны. Тоэтому мы уже не можем сказать, какие именно функции могут являться старшими семиинвариантами (или моментами) однородного поля, а какие не могут. Тем не менее мы выпишем здесь представления в виде интегралов Фурье некоторых простых комбинаций двух- и трехточечных моментов четырехмерного однородного поля и, (л). 2 (л). %(- ). б (д ))= о(д ), (д ) с (д )= =д(д )= 0, которые нам будут полезны впоследствии [c.24]

Для гауссовского случайного поля корреляционная функция втс poro порядка довольно просто связана с корреляционной функцие первого порядка [c.134]

Рассмотренные модели не являются исчерпываюш.ими, но охватывают ряд важных сторон механизма функционирования невосстанавливаемых систем. В этих моделях предполагается, что входящие в них случайные величины, случайные функции и поля могут быть найдены непосредственно расчетным путем или из опыта. Однако это предположение не всегда выполняется и тогда приходится прибегать к гипотезам о характере напряженного состояния [25]. Рассмотрим некоторые из этих гипотез. [c.67]

Время свободного пробега представляет собой время релаксации, т. е. время возвращения системы электронов на неравновесного состояния (например, при включении внешнего поля) в равновесное. Чисто физически понятно, что будет существовать разброс по величине свободного пробега, а потому не оовсем ясно, что необходимо понимать, когда говорят о дрейфовой окорости. Длины свободного пробега, времена овободного пробега будем рассматривать далее как случайные величины. Поиск функции распределения времен овободного пробега будем осуществлять, следуя правилам 1) вероятность испытания электроном столкновения в интервале времени (11 пропорциональна величине интервала (11 2) вероятность столкновения в единицу времени не должна зависеть от времени. [c.129]

MjN часть пуассоновских точек причисляется к одному материалу, а 1 — — к другому. Наконец, чтобы решить, к какому материалу можно причислить все остальные точки, принимается, что материал в произвольной точке — тот же, что и в ближайшей пуассоно вской точке. Всю процедуру можно выполнить на ЭВМ, построив таким образом случайное поле е (х), по которому можно определить все функции [c.259]

Теорема о сопряженных распределениях времени безотказной работы производственно-технической системы и выходного параметра качества изготовленного в ней изделия. Если 1) признаком отказа точности системы служит переход регламентированным квантелем Хр стационарного в широком смысле мгновенного распределения любого выходного параметра качества как случайной функции времени X (t) за границу установленного для него поля допуска, т. е. признак отказа, например, есть [c.189]

Для рассматриваемой модели оказывается затруднительным построение формул суммирования погрешностей деталей из-за нелинейности исходного уравнения (11.219). Эта нелинейность возникает вследствие того, что текущий размер детали выражает суммарно и погрешность размеров, и погрешность формы, и не-прямолинёйность геометрического места центров поперечных сечений. Между тем существует практическая потребность в определении формул такого рода и, в частности, для расчета математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения, практически предельного поля рассеивания и т. п. Для преодоления этого затруднения может быть использован метод статистических испытаний (Монте-Карло), который является весьма перспективным при моделировании, анализе и расчете точности нелинейных технологических процессов. Для упрощенного решения этой задачи можно ограничиться расчетом вероятностных характеристик двух более простых случайных функций, получаемых из исходной формулы (11.219) путем приравнивания нулю либо выражения Wp os ( — -j-nip , либо г + [c.438]

Случайные процессы. Одним из осн. разделов В. т. является теория случайных процессов и полол, важность к-рой обусловлена огромным кол-вом её приложений. Случайным процессом паз. однонарамет-рич. семейство случайных величин X (f), В большинстве приложений параметр t является временем, и термин случайный процесс относится именно к этому случаю когда одномерный параметр i не имеет смысла времени, часто говорят о случайной функции, а в случае многомерного t — о случайном поло. Если параметр t целочисленный, то случайный процесс наз. с л у ч а й-к о й последовательностью или временным р л д о м. Случайный процесс, как и случайную величину, можно охарактеризовать ого распределением для этого достаточно задать его конечномерные распределения, т, е. совокупность совместных распределений случайных величин X (ij), X. t ) для всевозможных j, ij, и п. Для случайных процессов, как и для случайных величин, доказано большое кол-во предельных теорем (иногда их паз, функциональными продельными теоремами). [c.261]

Методы скользящего суммирования для моделирования случайных полей. Алгоритмы этого типа связаны с преобразованием однородного дельта-коррелирсванного Ноля I (х) в поле с заданной корреляционной функцией К. (р). Это преобразование имеет вид [c.283]

Пример. Рассмотрим приборы, установленные на упругой пластине. Пусть пластина совершает случайные колебания в направлении, ортогональном ее плоскости (рис. 2, б) Вибрационное поле характеризуется функцией прогиба пластины т (х, i) и абсолютными перемещениями приборов U. (/) 0=1,2,... ). Аналогично условиям (9) наложим ограничения на вибропере- [c.323]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...