Гауссовское случайное поле

Перейдем теперь к гауссовским случайным полям и М) или u(M) = ui(Ai),. .., Um(M) , распределения вероятности любого конечного числа значений которых являются нормальными распределениями. Согласно сказанному выше, полное статистическое описание таких полей сводится к заданию их средних значений и корреляционных функций. Отметим также, что для любого (одномерного или многомерного) случайного поля с конечными момен-тами первых двух порядков всегда можно подобрать гауссовское поле, имеющее то же среднее значение и ту же корреляционную функцию (или корреляционные функции). В самом деле, при известных средних значениях и М) (или Ui(M), 1= 1,. ..,//) и кор- [c.190]

Оборвав разложение (4.52) на конечном числе членов, мы на этот раз придем уже к функционалу, удовлетворяющему не только условию (3.23), но и необходимому для характеристического функционала условию 1Ф[0(х)] 1. Более того, ограничившись лишь линейными и квадратичными по 0/(х) членами в правой части (4.52), мы получим функционал, наверное, являющийся характеристическим функционалом некоторого случайного поля, а именно гауссовского случайного поля с теми же моментами первых двух порядков, что и исходное поле ufx) (см. формулу (4.35)). Если, однако, мы оборвем ряд (4.52) на каком-то конечном числе членов выше второго порядка по 0/(х), то придем к функционалу, удовлетворяющему (3.23) и условию Ф[0( х)] 1, но, вообще говоря, не обладающему свойством (3.24) характеристических функционалов. Поэтому, предположив, что все семиинварианты рассматриваемого случайного поля и(х) порядка выше данного /С 4 обращаются в нуль, мы также можем в конце концов прийти к противоречию с очевидными свойствами распределений вероятности (например, с неотрицательностью вероятности, из которой следует условие (3.24). В томе 2 книги мы еще будем иметь случай вспомнить об этом неприятном обстоятельстве. [c.197]

Гауссовское случайное поле 162 Гюйгенса — Френеля принцип 160 [c.310]

Рассмотрим в качестве примера случай гауссовского случайного поля 81 (р). В зтом случае и [c.467]

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ [ГЛ. 5 Следовательно, для гауссовского случайного поля [c.468]

Так как F, ведут себя в смысле алгебраической структуры как гауссовские случайные поля, то ковариации должны были бы иметь вид [c.118]

Остановимся теперь более подробно на случае, когда поле / (г) является гауссовским случайным полем с корреляционной функцией В (г, г ) = . Тогда [c.141]

Перейдем теперь к гауссовским случайным полям и М) или н(7И) = И](Ai),. .., дг(7И) , распределения вероятности любого конечного числа значений которых являются нормальными распределениями. Согласно сказанному выше, полное статистическое описание таких полей сводится к заданию их средних значений и корреляционных функций. Все остальные моменты после этого можно определить, воспользовавшись формулой (4.28) и тем фактом, что центральные моменты нечетного порядка должны быть тождественно равны нулю. Существенно отметить, что для любого (одномерного или многомерного) случайного поля с конечными моментами первых двух порядков всегда можно подобрать гауссовское поле, имеющее то же среднее значение и ту же корреляционную функцию (или корреляционные функции). В самом деле, например, 5ля одномерного поля и М) из условия (4.15), примененного к корреляционной функции пульсаций поля Ьии (Ml, Мг), вытекает, что для любого набора точек Ml, Мг,. .., Mn можно задать iV-мерное нормальное распределение с плотностью Uz,. .., Un), имеющее средние [c.191]

В качестве примера рассмотрим случай, когда поле внешних сил Х х, г) есть стационарное, однородное и изотропное соленоидальное гауссовское случайное поле, описываемое пространственно-временным корреляционным тензором вида [c.655]

Для моделирования поля U (х) согласно (65) необходимо для каждой реализации получить 2N значений случайных величин А/, Bj п N-т значений компонент волновых векторов ку. При получении реализаций Aj, Bj могут быть использованы соотношения, аналогичные (62). Для получения реализаций компонент волнового вектора необходимо воспользоваться алгоритмами моделирования гауссовских случайных векторов. Соответствующие алгоритмы можно найти в [18]. [c.285]

Из условий (6.29) и (6.30) не вытекает аналогичное свойство для спектра нормального прогиба W k) взаимных моментов третьего порядка типа (С k-i) W k ) W k ). Для вывода замкнутых соотношений относительно моментных функций случайных спектров воспользуемся, как и при решении нелинейных задач, вариационным методом. Представим случайное поле w (л) в виде ряда по степеням гауссовской функции Wo (х) [c.179]

В соответствии с тем, что ранее говорилось относительно случайных блужданий, комплексные поля, определяющие спекл-структуру, являются круговыми комплексными гауссовскими случайными переменными. Из теоремы о моментах для комплексных гауссовских переменных следует, что [c.335]

Для случайных полей, так же как и для случайных величин, полное задание распределения вероятности предполагает, вообще говоря, задание всех моментов всевозможных порядков. Исключение в этом отношении могут представлять лишь случаи, когда имеются какие-то дополнительные сведения о распределениях вероятности, позволяющие по некоторым заданным моментам определить также и все остальные. Ниже будет рассмотрен один частный, но очень важный случай такого рода, позволяющий ограничиться заданием лишь моментов первого и второго порядков. А именно, мы рассмотрим случай, когда заранее известно, что рассматриваемое поле — гауссовское, т. е. что все распределения вероятности его значений являются многомерными нормальными распределениями (распределениями Гаусса). [c.188]

Найдем теперь функционал Ф [а]. Если поле 61 является гауссовским, то интеграл, входящий в (4), является гауссовской случайной величиной. Однако он будет близок к гауссовской случайной величине и в том случае, когда само случайное поле 81 (г) и не является гауссовским, так как в этом случае для функций а, близких к а , опять можно привлечь предельную теорему. В частности, при а = гауссовской величиной будет р (ж), Используя справедливую для гауссовской случайной величины [c.505]

Наибо,пее подробно рассматриваются примеры, в которых флуктуирующие параметры являются гауссовскими случайными процессами (полями), более кратко обсуждаются обобщения на случай произвольных процессов. [c.5]

Если случайное поле / (х, 1) является гауссовским дельта-коррелированным по г случайным полем, т. е. его характеристический функционал имеет вид [c.99]

Для нахождения средних характеристик волнового поли и х, р) можно, как и ранее, считать поле е х, р) гауссовским дельта-коррелированным случайным полем, и задача сводится к нахождению статистических характеристик функции г] . Так, для <115> получаем [c.293]

Поле р (х, л), как и ранее, предполагается гауссовским однородным случайным полем, дельта-коррелированным вдоль оси 2, т. е. корреляционная функция поля р (к, z) имеет вид [c.313]

Одной из наиболее важных характеристик поля пульсаций у, z)= i(M) служит корреляционная функция В (Mi, Мг)= = i,(AIi)h,(AI2), которая, если случайное поле значений изотропно, зависит от расстояния между точками MiH M , а х(лг, у, г) = =0. Сами величины корреляционных функций следует брать из-эксперимента, учитывая, что при больших г В- 0. В качестве В часто берут гауссовскую корреляционную функцию В г)—ц х X ехр(—rV2/ ) или экспоненциальную функцию В (г)=[х ехр (—/ // ). Более обоснованно с физической точки зрения пользоваться структурными функциями D(r)=[fx(r+p)—1а(р)]% которые связаны с корреляционной функцией В (г) соотношением D (г)=2В (0)—2В(г). [c.180]

Другие методы моделирования случайных полей. Эффективные алгоритмы моделирования случайных полей основаны на разложениях типа (58), (59) и (60), (61), обобщенных на случай т переменных [138]. В качестве примера рассмотрим раможение однородного гауссовского случайного поля U ( ) в виде [c.285]

Теорема 6.20. Пусть ф(х)—гауссовское случайное поле в ограниченной области Л. Для того чтобы типичная реализация поля была почти наверное существенно равномерно-непрерывна по Гёльдеру с показателем а, достаточно, чтобы функция [c.141]

Следствие 6.21 [28]. Пусть с1 произволь о и есть а -ком-понентное гауссовское случайное поле с ковариацией [c.142]

Усреднение здесь производится по ансамблю реализаций поля (I) )1 которое можно рассматривать как гауссовское случайное поле со средним значением, равным нулю, и с комнлекс- [c.285]

Это н есть общее выражение для характеристического функционала гауссовской случайной функции, указанное еще в первой заметке Колмогорова (1935), посвященной характеристическим функционалам. Аналогично этому характеристический функционал Ф[0(М)] (илн Ф[01(М),. .., 0 т(Л1)]) гауссовского случайного полй и(М) (или И(Л1) = и1(М),. .., И у(М) ) равен [c.194]

Мы уя е отмечали, что решение уравнения для характеристического функционала поля скорости с помощью использования ряда по степеням числа Рейнольдса в случае развитой турбулентности с очень большим Re оказывается неэффективным. В частности, при отыскании решения уравнения (29.69) в виде ряда (29.72) нулевым приближением оказывается характеристический функционал гауссовского случайного поля со спектральной функцией F (k) = очень далекий от истинного характеристического функционала поля скорости развитой турбулентности. В связи с этим Эдвардс (1964а) предложил использовать вместо ряда (29.72) ряд типа (29.7), аналогичный рядам Грама — Шарлье, в котором нулевым приближением служит характеристический функционал хотя и гауссовского [c.663]

Решением Ро уравнения (29.80) будет характеристический функционал гауссовского случайного поля, имеющий вид (29.54), но с замецой спектральной функции на функцию [c.665]

Для гауссовского случайного поля корреляционная функция втс poro порядка довольно просто связана с корреляционной функцие первого порядка [c.134]

Важной особенностью спектральногоХметода я вляется возможность его обобщения на двумерные и трехмерные случайные поля, не поддающиеся описанию при помощи соотношений теории марковских процессов. Кроме того, гипотеза о гауссовском характере спектров исследуемых процессов снимается при вариационном методе решения нелинейных задач. Сочетание вариационного подхода со спектральным методом вывода моментных уравнений будет продемонстрировано ниже на конкретном примере. [c.98]

Вычисления упрощаются, если предположить, что оптическая ширина полосы Ау падающего излучения намного больше ширины полосы В электрических сигналов, поступающих на вход схемы умножения. Такое предположение уже делалось в предыдущем пункте по другим соображениям. Оно хорошо выполняется для истинно тепловых источников, но требует осторожности в случае квазитепловых источников. Если действительно у В, то из выражения (6.3.17) видно, что электрический ток 1к () в любой момент времени равен интегралу по большому числу интервалов корреляции полей падающих волн. Поскольку поля падающих волн рассматриваются как комплексные круговые гауссовские случайные процессы (тепловое излучение), отсутствие корреляции означает их статистическую независимость каждый ток в действительности равен сумме большого числа статистически независимых вкладов, а вследствие этого в силу центральной предельной теоремы токи 1к () можно в хорошем приближении считать действительнозначными гауссовскими случайными процессами. [c.264]

Необходимо отметить еще одно обстоятельство. При выводе выражения (26а) нам не потребовалось предполагать, что случайное поле Е1 является гауссовским, поскольку отличие от гауссовского поля, описываемое функцией Р (г, р1, Рг), никак не сказалось на решении. Однако условия применямости решения (26), которые будут исследованы ниже, завися от того, насколько закон распределения близок к гауссовскому. [c.470]

При у = О он превращается в корреляционную функпию Вг(р, р ) случайного поля 81 (р). В случав гауссовского распределения Ву[и р, р ] является просто корреляционной функцией и не зависит от V. Если, используя соотношение (27), перейти в [у р, р ] к аргументу и, то получаюнщйся при этом функционал мы обозначим через В [м р, р ]. Так же как и [у р, р ], при м = О он превращается в корреляционную функцию Ве(р, р ). После перехода к новому аргументу уравнение (17) принимает вид [c.471]

Если теперь использовать предположение о дельта-коррелированности поля / в уравнении (6.2), то возникает описанное выше приближение дельта-коррелированного случайного процесса, а остальные уравнения системы оказываются ненужными. Если же в уравнениях для Р, (х), Ру, Р ,. . Рп-1 сохранить точный вид функционала 0(, а в уравнении для функционала Р использовать предположение о дельта-коррелированности поля /, то получается замкнутая система уравнений для функции (х) и функционалов Р1,. . ., Рп- Эта система содержит, однако, континуальные интегралы. Следует отметить, что иногда, например, для гауссовского и пуассоновских случайных полей функционал г [1 1(ж, т)] выражается через дельта-функционал. При этом континуальные интегралы легко вычисляются, и мы приходим к системе уравнений для обычных функций. Вообш,е говоря, в этих случаях нет необходимости вводить функциональное преобразование Фурье. Рассмотрим в качестве примера динамическую систему [c.107]

Перейдем теперь к статистическому описанию распространения волны в случайво-неоднородной среде. Как и в предыдущей главе, будем считать, что флуктуации поля е (х, р) являются гауссовским однородным, дельта-коррелированным по оси х, случайным полем с корреляционной функцией [c.288]

Считая, далее, 8 ( , z) гауссовским однородным случайным полем, б-коррелнрованным по g, т. е. имеющим корреляционную функцию [c.325]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...