Устойчивость решений уравнении Хилла к Матьо

Как известно, задачи динамической устойчивости систем сводятся к решению уравнений Хилла или Матье. Эти уравнения занимают особое место в математическом анализе. Однако точных методов решения уравнений типа Хилла или Матье в настоящий момент не существует. Нет и точных методов исследования переходных процессов в параметрических системах. Поэтому при решении различных задач пользуются всевозможными приближенными приемами, которые с той или иной степенью точности позволяют определить зоны неустойчивости системы, а для нелинейных задач оценить величины амплитуд колебаний. [c.198]

Рассмотрим далее задачу об устойчивости тривиального решения уравнения типа Матье—Хилла (5.1) при параметрическом воздействии в виде экспоненциально-коррелированного процесса [c.142]

Существенный интерес представляет построение решений уравнений (46) в случае периодической функции U t), т.е. уравнений типа Хилла или Матье [6, 12]. Весьма важным для приложений оказывается построение границ устойчивости этих колебаний для каждой из мод и, в первую очередь, для низших мод. Эти вопросы приводят к необходимости решения периодических краевых задач. [c.59]

Было показано (Б. 3. Брачковский, 1942 Г. Ю. Джанелидзе, 1953, и др.), что подстановка типа (12.1) приводит к разделяюш,имся уравнениям типа Матье — Хилла в том и только в том случае, если формы собственных колебаний упругой системы совпадают с формами потери устойчивости при статических нагрузках (собственными элементами задачи о бифуркациях). Уравнения для обш его случая впервые исследовались В. Н. Челомеем (1938). В. В. Болотин (1953) предложил метод для построения областей неустойчивости в обш,ем случае этот метод основан на разложении решения в матричные ряды. В. А. Якубович (1958), отправляясь от результатов М. Г. Крейна (1955), развил метод, основанный на введении малого параметра. Подозрительным с точки зрения устойчивости являются частоты, лежаш ие вблизи [c.354]

С математической точки зрения, изучение явления параметрического резонанса сводится к исследованию дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В частности, для цилиндрической оболочки при малых колебаниях последней оно состоит в исследовании решений уравнения Матье — Хилла при заданном соотношении между возмущающей частотой О и частотой свободных колебаний со. Если решение уравнения Матье — Хилла при заданном отношении со/О окажется неограниченно возрастающим во времени, то это значит, что мы имеем дело с параметрическим резонансом. В том случае, когда решение уравнения остается ограниченным с возрастанием времени, параметрического резонанса не наблюдается и оболочка будет устойчивой. [c.385]

Устойчивость вынужденных колебаний нелинейной системы. При гармоническом возбрхдении механической системы с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы в некотором диапазоне частот решение задачи о вынужденных колебаниях неоднозначно — одному и тому же значению частоты возбуждения соответствуют несколько значений полуразмахов колебаний (см. с. 28), т. е. несколько разных режимов движения. Некоторые из этих режимов неустойчивы. При анализе устойчивости различных режимов коэффициенты уравнений первого приближения оказываются периодическими функциями времени (см. с. 39) для системы с одной степенью свободы уравнения первого приближения обычно приводятся к уравнению типа Хилла (или в частном случае к уравнению Матье), Задача устойчивости периодического режима движения нелинейной системы сводится к оценке свойств решений этого уравнения (см. т. 1). [c.41]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...