Устойчивые решения системы дифференциальных уравнений

Малые колебания около устойчивого решения системы дифференциальных уравнений. [c.382]

Полученные зависимости позволяют сформулировать условия устойчивости решений системы дифференциальных уравнений (9.29) в терминах собственных значений матрицы Н. Собственные значения [c.271]

С математической точки зрения речь идет об устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений (2), причем эта устойчивость определяется так для любого е О существует такое 5= (е) 0, что при любом [c.207]

В этих случаях устойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений (2) определяется с помощью теоремы, являющейся непосредственным обобщением теоремы, приведенной в конце 35. [c.208]

Расхождение в результатах объясняется различием критериев устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений и выбором методики исследования. Отметим, что данная методика дает возможность исследовать приближенными методами движение систем в переходных режимах как при стационарных, так и нестационарных возмущениях, а в сочетании с методом статистической линеаризации перенести изложенные выше результаты на случай существенно нелинейных параметрических систем. В работе [54] исследование подобных систем приведено с использованием асимптотического метода и нестационарных уравнений ФПК. Из у.равнений (6.58), (6.59) следует, что наличие флюктуаций при линейных членах f н f приводит к увеличению дисперсии движения системы. Из рис. 70 видно, что наличие флюктуаций в нелинейных членах также приводит к изменению дисперсии системы по сравнению с системой с постоянными параметрами. Однако, как нетрудно показать из анализа выражения (6.54), увеличение дисперсии флюктуаций в нелинейных членах приводит к уменьшению дисперсии. В работе [27 ] рассмотрена проблема снижения резонансных амплитуд за счет введения флюктуаций при линейном члене /. При этом введение флюктуаций предполагалось кратковременным. Выражение (6.54) показывает новые возможности при решении подобных проблем в сочетании с принципом управления по возмущению (компенсация возмущений). [c.249]

Общее решение системы дифференциальных уравнений (294) и (297) не представляет собой установившегося движения. В этом движении частота и амплитуда колебаний не постоянные, а направления ОС и ОА (см. рис. 119) не совпадают одно с другим, угол между ними меняется. Однако неустановившееся движение практически очень быстро переходит в установившееся. Это объясняется тем, что движение, описываемое формулами (300), оказывается устойчивым по отношению ко всяким малым изменениям начальных условий установившегося движения. К неустановившимся движениям следует отнести и то движение, которое имеет место при со = р, так как в этом случае амплитуда растет пропорционально времени. [c.276]

Если нулевое решение системы дифференциальных уравнений х = Ах неустойчиво, то среди собственных чисел матрицы А имеются числа с положительной вещественной частью. Построим механическую систему, структурно близкую к исходной, и подберем такие значения параметров этой системы, при которых ее движение будет устойчивым в заданном диапазоне скоростей. Для этого сделаем преобразование координат X = где а — вещественное число — параметр сдвига корней. Система уравнений возмущенного движения примет вид у = (А—аЕ)у, где [c.399]

Для неавтономных систем (р. и Xf явно зависят от t) задача исследования устойчивости по первому приближению существенно усложняется. О свойствах решения системы дифференциальных уравнений возмущенного движения в этом случае судят по характеристичным числам. [c.39]

В другой работе Н. Д. Моисеев (1949) привлекает к решению задачи технической устойчивости неравенство Боля (1900) и дает некоторые его обобщения. Неравенство Боля относится к решениям системы дифференциальных уравнений, правые части которых удовлетворяют условиям Липшица. Полученные критерии технической устойчивости, определяющиеся только константами Липшица, просты для расчета, но весьма грубы. [c.61]

Как мы видели в предыдущих разделах, задача об устойчивости периодического движения, приводящаяся к исследованию устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, может быть разрешена при помощи построения соответствующей функции Ляпунова или вычислением характеристических показателей, являющихся корнями характеристичного уравнения. [c.116]

Рассматривая в первом приближении возмущенное движение консервативной системы, мы предполагали, что невозмущенное состояние — состояние покоя — устойчиво. Это позволило нам искать частное решение системы дифференциальных уравнений возмущенного движения в виде тригонометрических функций времени. Если заранее мы не знаем, устойчиво или неустойчиво положение равновесия, то частное решение следует искать в виде Ке . В таком же виде нужно искать частное решение и в тех случаях, когда в уравнения входят производные первого и второго порядков. [c.460]

Общее решение системы дифференциальных уравнений (7.96) складывается из общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной. Общее решение однородной системы описывает свободные колебания консервативной системы в окрестности устойчивого положения равновесия. Частное решение системы неоднородных дифференциальных уравнений — вынужденные колебания, навязанные возмущающим действием активной системы. [c.475]

В исследовании И. А. Вышнеградского был рассмотрен вполне конкретный вопрос— задача об устойчивости регуляторов ), Ценность этого исследования заключается в том, что И. А. Вышнеградский впервые применил к решению важного технического вопроса совершенную методику, основанную на анализе корней характеристического уравнения, составленного для системы дифференциальных уравнений колебательного движения регулятора. Эту систему уравнений И. А. Вышнеградский приводит к одному уравнению. [c.323]

Заметим, наконец, что формальный способ составления уравнений в вариациях можно также приложить к системам уравнений (16), правые части которых зависят от t, и по отношению к какому угодно решению о (будет ли оно статическим или нет, будет оно устойчивым или неустойчивым). Мы придем, таким образом, к системе дифференциальных уравнений (18),- которые все еще линейны относительно ко, вообще говоря, содержат в коэффициентах янно переменную t. Даже и в этих случаях можно сказать, что эти уравнения определяют малые колебания около рассматриваемого решения а, но при этом подразумевается та оговорка, что если [c.402]

Основная проблема ири использовании этого метода состоит в обеспечении устойчивости и допустимой погрешности разностной схемы. Для дифференциальных уравнений задача Коши, когда заданы начальные значения всех искомых функций, сводится к рекуррентным формулам для последовательности значений в узлах, начинающейся от начальных значений. Такая схема называется явной. Краевые задачи приводят к решению системы алгебраических уравнений — неявная схема. Обычно решение нетрудно реализовать в виде программы для ЭВМ, однако требования к объему располагаемой памяти и скорости выполнения операций оказываются весьма жесткими. [c.83]

Рассмотрим получение вариационно-матричным способом канонической системы дифференциальных уравнений для решения задач устойчивости н колебаний. При получении разрешающих уравнений будем считать, что в исходном невозмущенном состоянии оболочка напряжена, но не деформирована. Исходное напряженное состояние определяется решением- задачи статики в линейной постановке. При составлении уравнений движения в окрестности исходного состояния будем учитывать начальное напряженное состояние. В деформационных соотношениях кроме линейных составляющих будем учитывать нелинейные слагаемые, связанные с дополнительными углами поворота нормалей. При решении задач рассмотрим только осесимметричное начальное напряженное состояние. Будем считать, что действующие на конструкцию внешние нагрузки при движении системы не изменяются ни по величине, ни по направлению. В целом систему, включая внешние нагрузки и условия связи, будем считать консервативной. Исследование движения системы относительно начального состояния проведем без учета демпфирующих свойств. [c.156]

Отличие матрицы канонической системы (4.143) от матрицы разрешающей системы дифференциальных уравнений для решения задачи статики (4.133) заключается в вычислении для блока [Ah матрицы [5 1 ] [см. (4.141)], в которую входит искомый параметр Л (параметр нагружения) для решения задачи устойчивости или со (квадрат угловой частоты) для решения задачи колебаний. Система дифференциальных уравнений (4.143) позволяет для тонкой многослойной оболочки вращения решать задачи устойчивости и определять критический параметр нагружения. При этом в выражении [Sfi] (4.141) следует положить = 0. Для определения частот ко- [c.158]

Ниже сформулированы три теоремы об устойчивости решения х t) = О стохастической системы дифференциальных уравнений, описывающих непрерывный марковский процесс х (t) с производящим оператором L [56, 112 . [c.302]

Если неоднородная линейная система дифференциальных уравнений (7.2,1) устойчива, то все решения могут быть как ограничены, так и не ограничены при [c.462]

Для нелинейной системы дифференциальных уравнений стремление к нулю всех решений не является достаточным условием устойчивости ее нулевого (тривиального) решения. [c.462]

Итак, задача устойчивости цилиндрической оболочки сформулирована как краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными (6.4.1) — (6.4.5) при краевых условиях (6.4.6) и условии 2л -периодичности решения по угловой координате. Наименьшее из собственных значений этой задачи определяет критическую интенсивность внешней нагрузки, а соответствующая ему собственная вектор-функция — форму потери устойчивости. Параметрические члены уравнений нейтрального равновесия (6.4.1) в общем случае переменны и определяются путем интегрирования линейной системы уравнений осесимметричного изгиба (6.2.14) при краевых условиях (6.2.9). В выражениях для элементов матриц А, В коэффициентов этой системы (см. параграф 6.2) следует выполнить упрощения, соответствующие принятым допущениям о тонкостенности и пологости оболочки, а вектор-столбец / для рассматриваемого ниже случая нагружения оболочки равномерно распределенным внешним давлением интенсивности Р следует взять в виде [c.185]

В ходе расчетов, выполненных [17—19, 21, 23, 24, 30] для слоистых оболочек вращения важных частных классов (цилиндрических, конических и др.) с использованием разработанных в настоящей монографии неклассических уравнений, выявлено, что спектральный радиус матрицы Якоби правой части системы дифференциальных уравнений (7.2.21), (7.2.28) и спектральный радиус матрицы коэффициентов первоначальной системы уравнений изгиба — величины одного порядка. Спектр матрицы Якоби характеризуется большим разбросом и, что существенно, весь лежит в левой комплексной полуплоскости. Такие системы дифференциальных уравнений относятся к классу жестких (в смысле определения [131, 256, 283]). Их устойчивое численное решение классическими явными методами Рунге — Кутта, Адамса и др. [41] возможно лишь при существенном ограничении на шаг интегрирования h [c.203]

В качестве примера рассмотрим задачу устойчивости слоистой длинной цилиндрической круговой изотропной жестко защемленной панели радиуса R и толщины Л, нагруженной равномерно распределенным давлением интенсивности Р. В параграфе 4,5 получено аналитическое решение этой задачи сравнение установленных там результатов с результатами, полученными по методу инвариантного погружения позволит оценить практическую пригодность и эффективность последнего. Как показано в параграфе 4.5, исследование устойчивости длинной цилиндрической жестко защемленной панели сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений (4.5.5) при краевых условиях (4.5.6). Эти уравнения и условия представим в матричной форме [c.208]

И В 2л -периодичности решения по угловой координате (р. Спектр бифуркационных нагрузок и соответствующих им форм потери устойчивости определяется путем интегрирования линейной однородной краевой задачи на собственные значения для данной системы дифференциальных уравнений с частными производными. Коэффициенты Т, Т, Т, dw/ds, dw/d

[c.257]

Для их обеспечения в дальнейшем используем практический прием [185], названный методом условного задания некоторых искомых функций системы . Он основан на следующем естественном требовании решение системы разностных уравнений должно быть устойчивым и сходящимся, если часть искомых функций задана точно. Этот прием применим при численном решении большинства систем дифференциальных уравнений, встречающихся в теории тепло- и массообмена, и позволяет отрабатывать неустойчивые разностные схемы. [c.316]

Все это оправдывает разделение решений системы дифференциальных уравнений (16) на з/с/иойчнвые и неустойчивые на основании критерия, который мы здесь уточним, высказав его прямо в геометрн-чески-кинематической форме. Частное решение (или интегральная кривая) уравнений (16), которое в момент t = принятый за начальный, проходит через точку (д ,), называется устойчивым, если для всякого сколь угодно малого положительного числа е можно указать такое другое положительное число т], что если взять за начальную какую-нибудь другую точку Р (х ), отклонение которой от меньше t), то отклонение точек Р а Р друг от друга на кривых о и о для одного и того же момента времени будет неопределенно долго оставаться меньшим е. [c.378]

Доказано, что при основных и дополнительных начальных условиях решение системы дифференциальных уравнений (43) существует и является единственным [23]. Поэтому можно применять методы численного интегрирования. Широкое распространение получили одношаговые методы, особенно формулы Рунге—Кутта четвертой и второй степени [23. В последнее время применяют разностные формулы Адамса—Башфорта. Эти формулы сильно устойчивы и дают возможность решать системы дифференциальных уравнений на длинных отрезках. [c.431]

Тэйлоровский подход отличается от описанного только тем, что неизвестные функции, соответствующие f y) в уравнении (159), распространяются в виде бесконечных рядов, так что четыре из шести граничных условий (о том, что три компонента скорости исчезают на границах) удовлетворяются автоматически. Два оставшихся условия и рекуррентные формулы для коэффициентов одного из рядов получаются из дифференциальных уравнений при условии, что детерминант бесконечного порядка должен исчезать для нетривиального решения системы дифференциальных уравнений. Из уравнения этого детерминанта может быть получена кривая нейтральной устойчивости. Этот метод также относится к тем, где используется показательный фактор времени. [c.237]

Наиболее полное представление о движении летательного аппарата позволяет установить теория динамичес[кой устойчивости, в которой рассматривается роль аэродинамических характеристик аппарата и управляющего воздействия в сохранении исходных параметров движения на траектории (устойчивости движения). В настоящей книге в краткой форме излагаются методы решения соответствующей системы дифференциальных уравнений возмущенного движения, акцентируется внимание на качественном анализе полученных результатов. Приводимые решения являются аналитическими и относятся к заданным областям начальных параметров, определяющих упрощенные модели динамической устойчивости. Такие решения имеют весьма большое значение для инженерной практики. Вместе с тем при необходимости получения массовых результатов для какой-либо определенной динамической модели летательного аппарата, обусловливающей многоварианткссть начальных условий и большой сбъем вы- [c.5]

Численные методы решения, которые находят все большее применение в связи с развитием и широким использованием вычислительной техники. По отношению к рассматриваемой системе дифференциальных уравнений наиболее универсальными являются конечно-разностные методы, в соответствии с которыми дифференциальные уравнения заменяются уравнениями в конечных разностях. Область, в которой производится расчет температурного поля (область О, см. 39), представляется множеством отдельных точек (сеткой) с заданным шагом по осям Ох и Оу. Для каждой такой точки уравнения в конечных разностях образуют систему аглебраиче-ских уравнений, в которые входят и значения искомых функций в соседних точках. В результате решения алгебраических уравнений получают значения искомых функций в узлах сетки, например, таблицу значений температуры в рассматриваемой области О. Важно, чтобы разностная схема задачи была устойчивой — при измельчении шага сетки последовательно получаемые таблицы решений должны сходиться к точному решению задачи (т. е. образовывать сходящуюся последовательность). При применении численных методов значительно расширяется круг решаемых задач конвективного теплообмена и появляется возможность осуществления [c.327]

Энергетические методы широко применяют в задачах статики и динамики тонкостенных конструкций. Наиболее распространенным из них является метод Релея — Ритца, предусматривающий представление решения в виде ряда по координатным функциям. Выбор метода решения задачи — интегрирование дифференциального уравнения (классическими методам и или методом Галер-кина) или применение энергетического метода — часто связан с определенными трудностями. Можно показать, что при условии корректного применения метода Галеркина к системе дифференциальных уравнений [22], он в математическом отношении эквивалентен методу Релея — Ритца [133]. Однако, если имеется только дифференциальное уравнение, то следует применять метод Галеркина или другие методы его решения, а если имеется только выражение, определяющее энергию системы, следует отдать предпочтение энергетическим методам. Эти соображения не помогают выбрать метод решения задач, которые сформулированы как в дифференциальной, так и в энергетической постановке. Он определяется в этих случаях предшествующими расчетами, а также наличием программ решения задач на собственные значения (для устойчивости и колебаний) для вычислительных машин. Традиционно энергетические методы получили наибольшее распространение в США и Германии, в Англии отдавалось предпочтение конечно-разностным методам решения дифференциальных уравнений, а в СССР — методу Галеркина. [c.179]

Следствие. Если система дифференциальных уравнений (2) имеет интеграл V(xi, t) [не зависящии от t в стационарном случае и периодический относительно t с периодом 18 периодическом случае] и этот интеграле точке x =...=x = Q при любом фиксированном t имеет строгий экстремум, то нулевое решение системы (2) устойчиво. [c.209]

Заметим в заключение, что для систем модуля три мы исследовали вопрос об устойчивости для частного типа возмущений (такого же как у Th. Karman a), именно возмущений, при которых соседние вихри имеют одинаковые отклонения и притягиваются с постоянной разностью фаз ф. Такая постановка задачи не дает исчерпывающего решения для случая устойчивости, в случае же неустойчивости задача решается вполне. Для системы дифференциальных уравнений возмущенного движения рассмотренных нами твердых конфигураций модуля три получаем следующее характеристическое уравнение [c.44]

Линейная система дифференциальных уравнений (7.2.1) асимптотически устойчива тогда и "полько тогда, когда тривиальное решение х(() рднородиой системы (7.2.2) асимптотически устойчиво при t— o . [c.462]

Асимптотическую устойчивость тривиального решения линейной системы дифференциальных уравнений можно установить путем прямого численного решения задачи Коши для этих уравнений. Для линейных систем независимо от начальных усаювий в области асимптотической устойчивости происходит затухание отклонений. Поэтому вычислительный процесс можно прекратить, если с некоторого 5 будут удовлетворяться неравенства [c.494]

Описанный в предыдущем параграфе комплекс программ является универсальным в том смысле, что с ого помощью можно нормализовать гамильтониан канонической системы с произвольным числом степеней свободы. Однако такой комплекс нуждается в больших ресурсах ЭВМ, поэтому для решения конкретных механических задач важное значение имеет создание быстродействующих вычислительных алгоритмов, нормализующих гамильтоновы системы с небольшим числом степеней свободы. Большое количество задач связано с нормализацией автономных гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободы (порядок системы дифференциальных уравнений равен 4 или 6), для которых знание коэффициентов нормальной формы до члено четвертого порядка включительно позволяет часто рехпить задачу об устойчивости положения равновесия. При этом знапие самого нормализующего преобразования (производящей функции) но является необходимым, а коэффициенты нормальной формы вычисляются через коэффициенты исходного гамильтониана с помощью явных и относительно простых формул. Соответствующие алгоритмы и основанные па них вычислительные программы разработаны и описаны в работах [173, 174]. [c.228]

В шестой главе рассматриваются слоистые цилиндрические оболочки. Замкнутая система дифференциальных уравнений, описывающая в линейном приближении процесс деформирования слоистой упругой ортотропной композитной цилиндрической оболочки, получена из общей системы и использована при исследовании осесимметричного изгиба оболочки, нагруженной равномерно распределенным внутренним давлением. Выполнен параметрический анализ влияния поперечных сдвигов на интегральные (прогибы, усилия, моменты) и локальные (нагрузки начального разрушения) характеристики напряженно-деформирован-ного состояния. На примере этой задачи исследована зависимость решения от функционального параметра /(z) и показано, что в большинстве практически важных случаев этот параметр можно принять соответствующим квадратичной зависимости сдвиговых поперечных напряжений от нормальной координаты. В параграфе 6.4 дано решение задачи об устойчивости цилиндрической многослойной оболочки, нагруженной внешним давлением. Эта задача рассмотрена как на основе разработанных в настоящей монографии уравнений, так и на основе других вариантов уравнений устойчивости, приведенных в третьей ее главе. Выполнен параметрический анализ полученных решений, что позволило выявить и оценить влияние поперечных сдвиговых деформаций, обжатия нормали, кинематической неоднородности, моментности основного равновесного состояния на критические параметры устойчивости. [c.14]

Рассмотрим задачу об устойчивости равновесия упругой слоистой анизотропной оболочки вращения, нагруженной осесимметричной системой внешних сил, интенсивности которых пропорциональны одному параметру. Докритическое равновесное состояние оболочки определяем на основе линеаризованных уравнений статики, а его устойчивость исследуем в рамках статической концепции Эйлера о разветвлении фop равновесия, позволяющей трактовать (см. параграф 3.3) задачу устойчивости как линейную краевую задачу на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными. Решение этой задачи строим в форме тригонометрических рядов Фурье по угловой координате (см. параграф 3.6) с коэффициентами, зависящими от меридиональной координаты. Отделяя угловую координату и вводя 2х-мерный вектор j>(x) вариаций безразмерных кинематических и силовых характеристик напряженно-деформированного состояния оболочки (см. параграф 3.6), приходим к линейной краеюй задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которую запишем в векторной форме [c.205]

Чрезвычайно мощным методом решения дифференциальных уравнений является метод Бубнова, согласно которому решение исходного дифференциального уравнения заменяется условием ортогональности этого уравнения, в которое подставлено выбранное представление для искомой функции, к самой искомой функции. Этот метод впервые был предложен Иваном Григорьевичем Бубновым (1872— 1919) (см. Бубнов И, Г., Отзыв о работе проф. С. П. Тимошенко Об устойчивости упругих систем . Сборник Спбин-та инж. путейсообщ., 1913, вып. 81, стр. 33 36 Строительная механика корабля, часть И. Спб, Тип. Морского министерства, 1914) и применим к. любым дифференциальным уравнениям и их системам.— Прим. ред. [c.237]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...