Уравнения теплопроводности пластин

Общее решение уравнения теплопроводности пластины имеет вид [c.335]

Проекционный метод позволяет свести трехмерную задачу теплопроводности к двумерной. Как отмечено в 2 главы 1, вид и свойства двумерных уравнений теплопроводности пластин зависят от выбора системы координатных функций. К наиболее простым относятся алгебраические полиномы. Произвольная линейно независимая система алгебраических полиномов является косоугольным базисом в конечномерном пространстве, на которое проектируется исходное гильбертово пространство. [c.123]

Уравнения теплопроводности пластин [c.344]

УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПЛАСТИН [c.345]

Если рассматривать элементарный кубик в пластине, то, кроме потока в направлен . ix,B уравнении (5.27) следует учесть влияние теплового потока в направлении у. Тогда получим дифференциальное уравнение теплопроводности для пластины [c.151]

Дифференциальные уравнения теплопроводности (6-35) и (6-36) справедливы при одномерности распространения теплового потока (в направлении х). На практике необходимо применение высокоэффективной изоляции, так как в этом случае распределение температуры внутри исследуемого образца ближе к распределению температуры в бесконечной пластине. Если же выбрать такое соотношение между геометрическими размерами образца, чтобы его длина и ширина были бы много больше его толщины, то качество изоляции уже мало влияет на результаты измерений. [c.149]

ДТП, основанные на методе вспомогательной стенки. В этом случае необходимо установить взаимосвязь между измеряемым потоком и вырабатываемым сигналом, зависящим в свою очередь от перепада температуры на толщине вспомогательной стенки. Разнообразные условия измерения такими датчиками могут быть сведены к частным решениям задачи теплопроводности для двухслойной стенки (рис. 14.9). Причем при оценке эффектов нестационарности датчик можно считать бесконечной пластиной, как и несущуЮ стенку. Рассматриваемое явление описывается одномерным уравнением теплопроводности [c.289]

Изложим интегральный метод, предложенный Гудменом, на примере решения одномерного нестационарного уравнения теплопроводности. Итак, рассмотрим нестационарный прогрев пластины конечной толщины с постоянными теплофизическими свойствами. [c.292]

Коэффициент А совпадает с безразмерной температурой поверхности пластины, его определение представляет самостоятельный интерес. Уравнению теплопроводности удовлетворим приближенно, для чего проинтегрируем его по тепловому слою [c.294]

Технологические процессы обычно несимметричны, что приводит к задаче с неоднородными граничными условиями. Из одномерных тел остановимся на пластине с известным переменным тепловым потоком на одной поверхности и, для однозначности уровня переноса энергии, с известной переменной температурой второй поверхности. Таким образом, в прямой задаче требуется решить уравнение теплопроводности [c.45]

Разностная схема и разностное решение. Основные понятия теории разностных схем разберем на примере одномерного нестационарного уравнения теплопроводности для пластины с внутренним источником теплоты [c.70]

Дифференциальное уравнение теплопроводности для пластины с учетом (2.185) имеет вид [c.109]

Дифференциальное уравнение теплопроводности для неограниченной пластины [c.115]

Охлаждение (нагревание) тел конечных размеров. В теории теплопроводности задачи на охлаждение (нагревание) тел конечных размеров решаются в соответствии с теоремой о перемножении решений. Суть теоремы состоит в том, что если есть решения уравнений теплопроводности ДЛЯ двух неограниченных пластин [c.162]

Регулярный тепловой режим. Анализ решений дифференциального уравнения теплопроводности показывает, что все они представляют собой быстросходящийся ряд. При Fo 0,25 без особой погрешности можно воспользоваться первым членом ряда и представить решение, например, для неограниченной пластины в виде формулы [c.164]

Математическую формулировку задачи можно упростить, если ввести избыточную температуру Э = t - t - Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности (2.133) для пластины при Г = О можно записать [c.193]

При заданных условиях температурное поле в пластине будет симметричным, поэтому ее толщину удобно обозначить 26. Дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерной задачи с учетом введенного ранее обозначения избыточной температуры запишем в [c.179]

Задачи нестационарной теплопроводности для некоторых тел ограниченной протяженности (цилиндра, параллелепипеда, призмы) могут быть решены с помощью принципа наложения решений. Например, если цилиндр дайной 2() помещен в среду с температурой Г, то при интенсивности теплоотдачи 1, одинаковой со всех сторон, его температура определится произведением 0 0п безразмерных температур бесконечного цилиндра того же радиуса и неограниченной пластины толщиной 26. Справедливость этого можно установить путем подстановки произведения 0 9 в исходное уравнение. Однако принцип наложения решений применим только для тех задач, которые описываются уравнением теплопроводности в линейном приближении, т. е. при постоянных значениях X, с w р и линейных граничных условиях. [c.88]

Решить задачу нестационарной теплопроводности — это значит найти зависимости изменения температуры и количества переданного тепла во времени для любой точки тела. Такие зависимости могут быть получены путем решения дифференциального уравнения теплопроводности (см. 2-2). Аналитическая теория ставит себе целью получение общего решения задачи. Такие решения получаются достаточно сложными даже для тел простой формы пластины, цилиндра и шара. Для ряда тепловых задач такие решения имеются в [Л. 19, 60 и др.]. [c.206]

Для анизотропной пластины с главными осями анизотропии и Г1, повернутыми на угол а относительно осей х и у (х — вдоль, у — поперек пластины), уравнение теплопроводности имеет вид [c.13]

Если толщина стенки трубы мала по сравнению с радиусом (5 /г < 0,2), задачу о распространении тепла в цилиндрической стенке можно свести к уравнению теплопроводности для плоской пластины с приведенной толщиной [ 26] [c.184]

Вывод расчетной зависимости. Для получения расчетной формулы необходимо заменить дифференциальное уравнение теплопроводности (2-31) соответствующим уравнением в конечных разностях. С этой целью в пластине строим пространственную прямоугольную сетку рядом плоскостей, параллельных коор 54 [c.54]

При изучении теплового режима элементов конструкции сложной формы для упрощения решения выделяются отдельные элементы или участки, форма которых приближается к классической (цилиндр, пластина, шар). Такой подход позволяет упростить область существования функции. При этом процесс теплопереноса представляется уравнением теплопроводности в цилиндрической, прямоугольной или сферической системах координат. Наиболее простым решение получается в прямоугольной системе координат. [c.113]

Как известно, решение исходного дифференциального уравнения теплопроводности для неограниченной пластины с изотермическими поверхностями при стационарном [c.102]

Нестационарный метод экспериментального исследования термического сопротивления клеевых соединений основан на нестационарном тепловом режиме при условии поддержания теплового потока постоянной плотности, т. е. на закономерностях квазистационарного теплового режима. Как известно, решение исходного дифференциального уравнения теплопроводности для неограниченной пластины при нестационарных условиях н постоянстве теплового потока дает зависимость, характеризующую нелинейное распределение температуры по толщине для любого момента времени fJI. 95]. Однако по истечению времени, определяемого Fo>0,55, изменение температуры во времени во всех точках носит линейный характер и выражается зависимостью [c.109]

Поры пластины могут иметь неправильную форму и самые разнообразные размеры, поэтому весьма трудно искать решение уравнения теплопроводности в такой среде. Для изучения явления построим соответствующую модель тел, заменяющую среду и текущую в ее порах жидкость, как это принято в теории фильтрации. Если температура и давление по обе стороны от образующих пластину плоскостей поддерживаются все время постоянными и испарения жидкости внутри пластины не происходит, то эту задачу можно считать стационарной и одномерной. [c.195]

Поля,температур по всему объему ТВЭЛ в дальнейшем могут быть определены путем аналитического решения уравнений теплопроводности для двухслойной пластины, если в качестве одного из граничных условий использовать экспериментально найденные распределения температур на поверхности ТВЭЛ. [c.601]

Предполагаем также, что расплав мгновенно сносится и в теплоотдаче не участвует. Для определения температуры в оставшейся части пластины и закона движения волны плавления имеем интегральное условие (проинтегрированное уравнение теплопроводности) и условие баланса тепла на волне плавления [c.611]

Во многих задачах теплопроводности для нахождения температурного поля тел конечных размеров пользуются хорошо известным способом наложения температурных полей [1]. Но нетрудно показать, что этот способ неприменим для случая, когда уравнение теплопроводности является неоднородным, например, когда должна быть решена задача по определению температурного поля пластины конечных размеров с непрерывно действующим источником тепла. [c.14]

Пример. Проведём решение дифференциального уравнения теплопроводности (1) методом преобразования для изотропной пластины, имеющей в начальный момент-с = О температуру ) = 0 и помещаемой, в среду с температурой при условии о.-у со [c.185]

Для расчета одного режима вулканизации подготавливается исходная информация в соответствии со следующими идентификаторами программы Н — толщина эквивалентной пластины, м КТ — температурный коэффициент вулканизации Кт , ТЭ — температура эквивалентного изотермического режима вулканизации Тэ, °С N — общее число элементарных слоев, выделяемых в эквивалентной пластине N — номер границы между элементарными слоями (номер узловой координаты), для которой при сокращенном объеме выводимой на печать информации печатаются значения температуры и эквивалентного времени вулканизации наряду с такими же величинами для поверхностей эквивалентной пластины TAY — шаг интегрирования по времени Ат, с, задаваемый постоянным либо условным выражением в зависимости от времени, обозначаемого идентификатором TAY ВП — время процесса вулканизации, анализируемое с помощью программы Тв, с Г1, Г2 — тип граничного условия, принимающий значения 1, 2 или 3 соответственно для двух противоположных поверхностей эквивалентной пластины ТО — начальное значение температуры пластины Tq, °С, задаваемое в том случае, если начальная температура эквивалентной пластины не принимается переменной ТН1, ТН2 — начальные температуры соответствующей поверхности эквивалентной пластины, задаваемые в том случае, если формулируется для соответствующей поверхности граничное условие первого рода, °С Т1, Т2 — приращения температуры границ пластины за шаг по времени АГь АГг, °С, при граничном условии первого рода или температуры теплоносителей, контактирующих с соответствующими сторонами пластины, при граничных условиях третьего рода (при граничных условиях второго рода данные параметры пе задаются) AL1, AL2 — коэффициенты теплоотдачи к соответствующим поверхностям пластины ai и а2 при граничных условиях третьего рода, Вт/(м-К), или плотность теплового потока через соответствующую поверхность пластины q[ или q2, Вт/(м -К), при граничных условиях второго рода (при граничных условиях первого рода данные параметры не задаются) ПП — признак вида печати результатов (при ПП = 0 печатается в цикле по времени массив узловых значений температуры и массив значений эквивалентного времени вулканизации, при ПП= 1 печатаются лишь элементы указанных массивов, имеющие индексы 1, N , N - - 1) ЧЦ — число шагов по времени в циклах интегрирования, через которое планируется печатание текущих результатов ПХ, ПТ — признаки задания массивами соответственно линейных координат по толщине пластины, выделяющих элементарные слои, и узловых значений температуры в тех же точках для начального температурного профиля пластины (указанные величины формируются в виде массивов при ПХ=1 и ПТ=1) СИГМА—весовой коэффициент смежного слоя ко второй производной в уравнении теплопроводности, принимающий значения от нуля до единицы в зависимости от выбираемой сеточной схемы интегрирования (возможно задание этого коэффициента в зависимости от критерия Фурье для малой ячейки сетки, значение которого в программе присваивается идентификатору R4) А(Т, К)—коэффициент температуропроводности, для которого задается выражение в зависимости от температуры материала и линейных координат Х[К] и Х[К + 1], ограничивающих элементарный слой эквивалентной пластины L(T, К)—коэффициент теплопроводности для эквивалентной пластины, для которого задается выражение в зависимости от тех же параметров, что и для коэффициента температуропроводности X[N - - 1] — массив линейных координат Xi пластины, i=l, 2, 3,. .., -h 1, который при ПХ = 0 является рабочим [c.234]

Рассмотрена задача о движении полубесконечной плоской нагретой пластины сквозь твердую среду с образованием слоя расплава у поверхности пластины. Решение о течении расплава получено в приближении теории тонкого слоя с учетом инерционных членов в уравнении движения и диссипативного слагаемого в уравнения теплопроводности. Описана процедура нахождения точного автомодельного решения задачи и развит асимптотический метод, позволяющий приближенно представить результаты решения в виде простых формул. Для пластины конечной длины получены простые оценочные выражения для длины жидкой полости за пластиной. [c.169]

В связи с проблемой защиты тел от разрушения в результате аэродинамического нагрева большой интерес приобрели задачи, учитывающие возможность фазовых переходов в твердом теле при его обтекании сверхзвуковым или высокотемпературным потоком газа. Для решения таких задач необходимо совместно исследовать уравнения движения в области пограничного слоя, в области, занятой жидкой фазой, и уравнение теплопроводности в твердом теле. Однако при достаточно большой теплоте плавления (сублимации) тела и малых значениях коэффициента его теплопроводности, когда большая часть подходящего к поверхности тепла расходуется на процесс изменения агрегатного состояния вещества, теплопроводность в твердом теле можно не рассматривать. В такой постановке ниже исследуется задача об оплавлении полубесконечной пластины в предположении, что отношение произведений плотности на коэффициент динамической вязкости в жидкой фазе и в газе является большой величиной. Полученное решение обобщается на случай отвода в тело части теплового потока, подходящего к фронту плавления. [c.350]

Как и выше, считаем датчик изотропной пластиной. Анализ известного решения уравнения теплопроводности для этих условий 132] показывает, что максимальная добавка к сигналу основной секции будет при двукратносимметричном расположении покрытых участков витков добавочной секции (рис. 3.13, III). Преобразовав это решение для основной и Яад добавочной секций датчика, получим [c.81]

Решение. 1. Математическая формулировка задачи. Распределение температур в пластине может быть найдено путем решения одномерного уравнения теплопроводности дТ/дх = а (d Tldx ) при следующих граничных условиях (см. рис. 14.5) [c.194]

Рассмотрим задачу расчета нестационарного одномерного температурного поля в неограниченной пластине толш,иной /. В пластине распределен источник теплоты, имеющий объемную плотность мощности q,Ax). Поверхность пластины х О теплоизолирована, а на поверхности х ------ I происходит теплообмен со средой по закону Ньютона. Начальное распределение температуры равномерное, и эта температура отлична от температуры среды. При такой постановке задачи уравнение теплопроводности и краевые условия имеют вид 1311 [c.51]

Решение дифференциального уравнения теплопроводности при этих граничных условиях приводит к следующей зависимости для распределения температуры по толщине пластины и цилинд])а неограниченных размеров, а также по толщине шара для любого момента времени [c.128]

При теоретическом и экспериментальном исследовании температурных колебаний в прессформе установлено, что преобладающее количество теплоты переходит от отливки в прессформу непосредственно после запрессовки, к моменту удаления отливки ее температура сравнивается с температурой поверхности прессформы, а непосредственно с рабочей поверхности в окружающую среду отводится незначительное количество тепла. В соответствии с этими результатами для расчета температурных колебаний в поверхностном слое прессформы ее можно принять достаточно толстой пластиной (толщиной I), к одной из поверхностей которой периодически прикладывается мгновенный тепловой источник, а на другой поддерживается постоянная температура / а. Тогда температура t x, т) в поверхностном слое на расстоянии х от рабочей поверхности в любой момент времени т после очередной запрессовки (исключая продолжительность запрессовки и затвердевание отливки) определяется из дифференциального уравнения теплопроводности Фурье [c.184]

Анализ расчетной зависимости. Зависимость (2-39) является решением уравнения теплопроводности для случая прямоугольной системы координат с применением прямоугольной пространственной сетки в общем виде. Из выражения (2-39) следует, что коэффициент при первом члене правой части учитывает суммарное влияние температур соседних точек на температуру в точке о, т. е. первый член правой части дает значение температуры в точке о в момент времени т с учетом влияния температуры в близлежащих точках, второй, третий и четвертый члены правой части учитывают соответственно распространение тепла вдоль координатных осей х, у и 2, коэффициенты ДРож, AFoy, AFoz показывают степень влияния распространения тепла в соответствующем направлении на температуру в точке о. Чем меньше шаг интегрирования Ах, Аг/ или Аг, тем ближе выбраны определяющие точки к точке о, тем большее влияние они оказывают на температуру в точке о и тем точнее сам расчет. Зависимость (2-39) позволяет определить значение температуры в любой точке пластины в произвольный момент времени, за исключением точек, лежащих на ее поверхностях. Если шаг интегрирования по времени Ат выбрать произвольным, а шаги Ах, Ау, Аг так, чтобы Ах=Ау=Аг, то равенство (2-39) упрощается и принимает вид [c.58]

Приближенное решение для пластины и шара, обтекаемых разреженным газом, было дано Р. Дрейком и Е. Клейном, а для поперечнообтекаемого цилиндра Д. Сталлером, Г. Гудвиным и М. Кри-гером. Напишем для газа, обтекающего пластину, упрощенное уравнение теплопроводности в пограничном слое [c.276]

Стационарный метод экспериментального определения термического сопротивления iR клеевой прослойки основывается на законе Фурье и дифференциальном уравнении теплопроводности для неограниченной пластины с изотермическими поверхностями при стационарных условиях теплового режихма и использует расчетное уравнение R=ATjq, где ЛГ — температурный перепад в зоне клеевой прослойки <7 —тепловой поток через клеевое соединение. [c.101]

Нас будет интересовать квазистацнонарный тепловой режим, установившийся в системе образец I и краевые иластины II и III и соответствующий частоте тока < . В этом случае условие, ири котором можно пренебречь отдачей с боковых ирверхностей и, следовательно, считать задачу одномерной, принимает вид ш а ра/1 S, где /. и а — соответственно теплопроводность и температуропроводность исследуемого образца р — периметр S — площадь поперечного сечения. Отсюда определяется ширина образца. Математически задача сводится к решению одномерного уравнения теплопроводности для трехслойной системы. Имеется несколько вариантов опыта. В первом варианте между центральным образцом и краевыми пластинами существует как тепловой, так и электрический контакт. Во втором варианте опыта контакт центрального образца с периферийным только тепловой. В том и в другом случае приходится учитывать при формулировке краевых условий теплоемкость тонкого металлического контактного покрытия между краевым и центральным образцом. Такое покрытие, очевидно, совершенно необходимо во втором варианте опыта, где в качестве теплоты Пельтье используется теплота, выделяющаяся на границе между металлом и центральным образцом. В нервом варианте опыта металлическая прослойка применяется для улучшения свойств контакта. Симметричное расположение центрального образца и периферийных полупроводниковых образцов обусловлено возможностью при таком расположении измерять разностную температуру между границами 1—1 и 2—2 и, следовательно, исключить из рассмотрения влияние джоулевой теилоты, с которой связано изменение температуры, не сказывающееся на разностной температуре. Система уравнений теплопроводности для трехслойной задачи принимает вид [c.15]

С помощью параметров процедур указывают род граничных условий на противоположных поверхностях пластины (GO, GN), задают число выделяемых элементарных слоев (N), массивы координат входного температурного профиля (Т, X), численные характеристики принятых граничных условий (ТО, TN, ALO, ALN), шаг по времени для данного цикла преобразования (ОТАУ) и указывают наименования процедур для вычисления коэффициентов тем-пературо- и теплопроводности (А, L), а также для задания коэффициента о к производной в уравнении теплопроводности (SIGMA). Подробное содержание каждого из параметров процедур и необходимые пояснения к их использованию изложены в приложении вслед за текстами процедур. [c.196]

П.ростые переменные RB = 0.015 DB = 0.005 — соответственно наружный радиус и толщина стенки стального вала, м Н = 0.009 — суммарная толщина сопряженного изделия (стенки вала и слоя резиновой смеси) N = 20 — число элементарных слоев, выделяемых в двухслойном изделии С =11—номер индекса точки на границе контакта вала с резиновой смесью в общей нумерации границ элементарных слоев, начинающейся с I = 1 для внутренней поверхности вала КТ = 1.93 ТЭ = 160 — соответственно температурный коэффициент вулканизации /Ст и температура эквивалентного изотермического режима вулканизации Тэ °С ВП = 900 — время процесса вулканизации, для которого намечается произвести расчет, с Г1 = 2 Г2 = 1 —род граничных условий (второй и первый) соответственно на внутренней поверхности вала и на наружной поверхности слоя резиновой смеси ТО = 30 — начальная температура изделия Го, °С ТН2 = 170 — начальная температура наружной поверхности изделия, образующаяся при совершенном тепловом контакте с формой Гн, °С Т2 = О — приращение температуры формы за шаг по времени AL1 = О — плотность теплового потока через внутреннюю поверхность вала ЧЦ = 10 — число циклов интегрирования по времени, через которое намечается производить печатание текущих результатов ПХ = 1 — признак задания массивом значений узловых линейных координат эквивалентной пластины ПТ = 0 — признак задания постоянной начальной температуры изделия ПП = 1 — признак печатания сокращенного объема информации в цикле интегрирования по времени СИГМА = = 1/2 — коэффициент к производной в сеточной схеме интегрирования уравнения теплопроводности. [c.205]

Интегрирование уравнения теплопроводности производится при использовании текущих координат материальных точек, которые выделяют элементарные концентрические слои с переменной по времени толщиной. Интегрирование производится с помощью процедуры TRANS Т путем отображения шара на пластину. Учитывается при этом изменение коэффициента теплопроводности материала при изменении его плотности. Простейшим видом зависимости данного коэффициента от плотности пористой резины является следующая [c.210]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...