Общее решение уравнения теплопроводности

Поскольку в силу линейности уравнений эффекты от тепла, подводимого в различные моменты времени, просто складываются, то искомое общее решение уравнения теплопроводности с условиями (52,9) есть t [c.289]

Метод разделения переменных позволяет получить совокупность частных решений 8 , удовлетворяющих дифференциальному уравнению теплопроводности и граничным условиям. Каждому значению корня Цп соответствует частное распределение температуры. Сумма частных решений является общим решением уравнения теплопроводности [c.195]

Таким образом, общее решение уравнения теплопроводности имеет вид бесконечного ряда. [c.112]

Общее решение уравнения теплопроводности пластины имеет вид [c.335]

Общее решение уравнения теплопроводности в слое жидкости с принятой аппроксимацией скорости (8.4) [c.58]

Такая нелинейная замена полностью исключает нелинейный член. Общее решение уравнения теплопроводности (4.7) хорошо известно, и его можно получить различными способами. [c.101]

Перейдем к задачам с другого рода граничными условиями, тоже допускающими решение уравнения теплопроводности в общем виде. Рассмотрим среду, ограниченную плоскостью л = О, через которую извне подводится поток тепла, являющийся за- [c.288]

В этой главе рассматриваются несколько простейших задач теории теплообмена, связанных с решением уравнения теплопроводности. На эти задачи не следует смотреть только как на модели, позволяющие исследовать процесс теплообмена в простейших случаях. Назначение каждой из них состоит и в том, чтобы ознакомить читателя с достаточно общим и. вместе с тем, простым методом математической физики, пригодным для решения целого класса задач, к которому принадлежит конкретная задача. Начинается глава с вопросов, связанных с классификацией и постановкой задач математической физики. [c.118]

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ОДНОМЕРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ [c.61]

Теплогидравлический расчет сборки кольцевых твэлов (рис. 9.41). Расчет состоит в численном решении уравнений теплопроводности для твэлов, баланса энергии и количества движения для теплоносителя в кольцевых щелях при заданном распределении тепловыделения и общем расходе через сборку и при условии одинакового перепада давления на параллельно включенных кольцевых щелях. В результате определяют распределение расходов по кольцевым щелям, гидравлические потери, распределение паросодержаний, тепловых потоков и температуры в твэлах. Плотности тепловых потоков на внутренних и наружных теплоотдающих поверхностях кольцевых щелей определяются из системы уравнений, куда входит нейтральный радиус твэла Яс, на котором температура достигает максимума [c.149]

Численные методы решения, изложенные во второй главе, позволяют сравнительно просто определить нестационарное температурное поле, удельный тепловой поток в геометрически сложных элементах конструкции без ограничивающих задачу упрощений. Однако такие недостатки, как невозможность общего анализа полученного решения, большая вычислительная работа, в ряде случаев затрудняют использование этих методов в инженерной практике, особенно при проектировании тепловых машин и двигателей. Аналитические методы в отличие от численных позволяют производить общий анализ полученного интеграла, получить удобные и простые для инженерных расчетов решения. Поэтому наряду с численными следует широко применять и аналитические методы решения. Среди аналитических методов решения уравнения теплопроводности наибольшее распространение получили метод разделения переменных и операционный метод. [c.110]

До последнего времени для решения уравнений теплопроводности и диффузии обычно использовались метод разделения переменных, метод мгновенных источников, методы, основанные на применении функций Грина, Дирака и др. Эти классические методы предполагают отыскание в первую очередь общего решения и его последующее приспособление к частным условиям конкретной задачи. Детальное освещение классических методов решения уравнений переноса можно найти в фундаментальной работе А. Н. Тихонова и А. А. Самарского (Л. 7]. Получаемые классическими методами решения, однако, не всегда оказываются удобными для практического использования. Так, иногда требуется получить приближенные соотношения, в которых режимные параметры процесса должны быть отделены от физических характеристик тела или системы тел, взаимодействующих с окружающей средой. Эти важные для практики соотношения бывает затруднительно получить из классических решений. Еще большие осложнения возникают при решении систем дифференциальных уравнений тепло- и массопереноса классическими методами. Под влиянием запросов техники за последние десятилетия инженерами и физиками стали широко применяться операционные методы решения. Основные правила и теоремы операционного исчисления получены киевским профессором М. Ващенко-Захарченко [Л. 8]. Наибольшее распространение они нашли в электротехнике благодаря работам Хевисайда. Этот метод оказался настолько эффективным, ЧТО позволил решить многие проблемы, считавшиеся до его появления почти неразрешимыми, и получить решения некоторых уже рассмотренных задач в форме, значительно более приспособленной для численных расчетов. [c.79]

Для решения уравнения теплопроводности (1-1) в общем случае, помимо упрощающих соотношений (1-4) и (1-7), нужны начальные и граничные условия. [c.9]

Для нахождения однозначного решения уравнения теплопроводности в общем случае необходимо его дополнить начальным и граничными условиями. [c.403]

В этом общем виде решение уравнения теплопроводности для одномерного потока тепла было дано еще в 1881 г. А. Г. Столетов)Ы1м [7Г . [c.112]

Выясним теперь, принадлежит ли предельное распределение -О (ж) к классу решений уравнения теплопроводности при Рг = О, если снять требование аналитичности. Общее решение имеет вид [c.169]

Здесь функции 0 и 0 являются известными, найденными из решения уравнений теплопроводности. Общая теорема о взаимности работ получается сверткой уравнения (7). [c.847]

Значительное разнообразие в конструктивном исполнении первичных преобразователей температуры, а также сложность учета условий теплообмена в зоне измерения делают оценку погрешности в общем случае неразрешимой задачей. Определение погрешности измерений возможно лишь с учетом конкретных условий измерений. Характер зависимости между измеренной и контролируемой температурами определяется видом решения уравнения теплопроводности с учетом условий опыта и законом изменения входного воздействия во времени. [c.6]

В общем случае сравнительный метод при реализации требует наличия значительного числа точных решений уравнений теплопроводности с учетом встречающихся на практике условий измерений и видов изменения контролируемых температур во времени,, что ограничивает возможности применения сравнительного метода определения контролируемой температуры. Применение данного метода можно значительно расширить путем нахождения способа контроля закона изменения воздействующей температуры во времени при экспериментальном получении зависимости вида [c.59]

В этом параграфе дадим общее решение уравнения переноса излучениями проведем его исследование в асимптотических случаях оптически толстой и оптически тонкой среды. Для этих же случаев мы рассмотрим также трансформацию обшей краевой задачи теплообмена (теплопроводность и излучение) и исследуем некоторые примеры. [c.105]

Решение на каждом временном шаге происходит в два этапа. Сначала с шагом 0,5 т решаются уравнения (6.31), неявные по направлению г и явные по направлению Я. Полученное промежуточное решение Т +>/2 дает начальные значения для решения уравнений (6.32), явных по 2 и неявных по Я. Поскольку в отличие от локально-одномерной схемы здесь используется информация о поведении температурного поля на предыдущем полушаге, то схема переменных направлений имеет повышенный порядок аппроксимации по т О (т + I /г ). Сравнение показывает, что схема переменных направлений обеспечивает требуемую точность расчета конечного температурного поля при меньшем числе шагов по времени. Выигрыш по времени счета не столь значителен по сравнению с локально-одномерной схемой из-за больших, чем у последней, затрат машинного времени на каждый временной шаг. Целесообразно различные способы численного решения уравнения теплопроводности с внутренними источниками оформлять в виде стандартных подпрограмм с унифицированным входом и выходом. Это позволяет легко их вписывать в общую структуру цифровых моделей индукционных нагревателей. [c.220]

На современном уровне развития математики аналитическое решение уравнения теплопроводности в общем виде еще не найдено, однако при введении некоторых допущений и упрощений можно получить пригодные для практического использования решения. Если допустить, что материал изотропен, имеет постоянные, не зависящие от температуры теплофизические свойства, и пренебречь скрытыми теплотами фазовых и структурных превращений, то уравнение теплопроводности приобретет вид линейного дифференциального уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами [c.15]

В зависимости от начальных и граничных условий могут быть получены различные решения уравнения теплопроводности. Рассмотрим общую возможную методику решения и на ее основе найдем некоторые характерные расчетные формулы для конкретных задач контактной сварки. [c.45]

Методы математической физики, в частности методы интегральных преобразований, позволяют эффективно решать сравнительно узкий круг задач теории переноса. При рассмотрении систем дифференциальных уравнений с весьма общими краевыми условиями точные методы решения наталкиваются на большие трудности, которые становятся непреодолимыми при рассмотрении нелинейных задач. В этих случаях приходится обращаться к тем или иным численным методам решения. Важно отметить, что использование численных методов зачастую позволяет отказаться от упрощенной трактовки математической модели процесса. В настоящее время практически наиболее ценным методом приближенного решения уравнений теплопроводности является метод конечных разностей, или, как его еще называют, метод сеток. [c.59]

Отметим еще одно существенное отличие нелинейной теплопроводности от линейной. В линейном случае имеет место принцип суперпозиции. Если имеется совокупность источников энергии, тепло от каждого из них растекается совершенно независимым образом. Решение уравнения теплопроводности при наличии протяженных источников можно представить в виде интеграла по источникам от решений, соответствующих сосредоточенным источникам. При нелинейной теплопроводности принцип суперпозиции несправедлив. Распространение тепла от одного источника зависит от температуры, до которой нагреется среда, за счет теплового возмущения, идущего от другого источника. В общем случае протяженных источников решение нельзя представить в виде интеграла по источникам. [c.514]

Это — параболическое уравнение теплопроводности. Наличие затухания приводит к тому, что его периодическое решение (В.1.29) не является стационарной волной. Общее решение уравнения (В. 1.32) при заданном начальном условии V (О, т) = г о (х) имеет вид [c.15]

Уравнение (11.1.10) замечательно тем, что оно может быть линеаризовано и приведено к виду обычного уравнения теплопроводности. Тем самым имеется возможность проследить за распространением начального возмущения произвольной формы. Однако анализ общего решения уравнения Бюргерса сравнительно сложен. Этим мы займемся в следующем параграфе, а здесь рассмотрим, как ведет себя возмущение, заданное на входе в виде гармонической волны, при различных значениях числа Рейнольдса. Будем пользоваться приближенными методами. [c.46]

Теперь, поскольку каждая функция / является решением уравнения теплопроводности, очевидно, можно добавлять в (4.53) и другие члены и получать более общие решения уравнения Бюргерса. Такие решения описывают взаимодействующие ударные [c.113]

Буссинеск [253], развивая в решении уравнения теплопроводности идеи Фурье, показал, что общее решение может быть представлено в виде ряда [c.44]

Перейдём теперь к задачам с другого рода граничными условиями, тоже допускающими решение уравнения теплопроводности в общем [c.244]

Для решения таких задач, следуя общим методам, имеем решения уравнения теплопроводности вида [c.247]

Уравнения (6-4) и (6-5) не имеют общего решения. Получены [76] частные решения применительно к телам определенной геометрической формы. Эти решения для одномерного теплового потока используются при ]]остановке различных экспериментов и позволяют вычислить коэффициент теплопроводности из соотношения [c.124]

Анализ расчетной зависимости. Зависимость (2-39) является решением уравнения теплопроводности для случая прямоугольной системы координат с применением прямоугольной пространственной сетки в общем виде. Из выражения (2-39) следует, что коэффициент при первом члене правой части учитывает суммарное влияние температур соседних точек на температуру в точке о, т. е. первый член правой части дает значение температуры в точке о в момент времени т с учетом влияния температуры в близлежащих точках, второй, третий и четвертый члены правой части учитывают соответственно распространение тепла вдоль координатных осей х, у и 2, коэффициенты ДРож, AFoy, AFoz показывают степень влияния распространения тепла в соответствующем направлении на температуру в точке о. Чем меньше шаг интегрирования Ах, Аг/ или Аг, тем ближе выбраны определяющие точки к точке о, тем большее влияние они оказывают на температуру в точке о и тем точнее сам расчет. Зависимость (2-39) позволяет определить значение температуры в любой точке пластины в произвольный момент времени, за исключением точек, лежащих на ее поверхностях. Если шаг интегрирования по времени Ат выбрать произвольным, а шаги Ах, Ау, Аг так, чтобы Ах=Ау=Аг, то равенство (2-39) упрощается и принимает вид [c.58]

Выражения (1.19)—(1.24) были получены при условии, что а = onst-Если а = var, то исследование процесса теплопередачи в общем случае не может быть осуществлено известными математическими приемами. Применение существующего математического аппарата позволяет, однако, найти решения уравнений теплопроводности, описывающих процессы в зоне измерения, когда величина коэффициента теплообмена изменяется во времени определенным образом. В [23] получено решение уравнения теплопроводности для случая, когда сс (т) = = Ющах sin OJT. Причем это выражение входило в обыкновенное дифференциальное уравнение. [c.79]

В связи с этим имеет смысл рассмотреть отдельно стационарное решение уравнений тепло- и массообмена в газе (например, для случая капли в бесконечном объеме газа (гь= °о)), когда все параметры не зависят от времени, а на поверхности капли фиксированного радиуса а и фиксированной температуры имеется постоянный вдув (испарение) или отсос (конденсация) газа. Это решение в общем виде получено И. X. Рахматулиной. Остановимся для упрощешш на случае, когда газовая фаза состоит из одной компоненты с постоянным коэффициентом теплопроводности [c.318]

Может быть решена в замкнутом виде также и общая задача о жидкости, приводимой в движении плоской поверхностью, движущейся (в своей плос1 ости) по произвольному закону и — = u t). Мы не станем производить здесь соответствующие вычисления, так как искомое решение уравнения (24,3) формально совпадает с решением аналогичной задачи теории теплопроводности, которая будет рассмотрена в 52 (и дается формулой [c.124]

Уравнение Эйлера (26а) определяет движение идеальной жидкости. Для получения уравнений гидродинамики реальной (вязкой) жидкости или газа надо искать решение уравнения Больцмана, отличное от локального распределения Максвелла. Мы получим тогда уравнения Навье—Стокса, Барнетта и т. д., в которых коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии выражаются через молекулярные характеристики. Эти уравнения представляют собой замкнутую систему уравнений термодинамики необратимых процессов. Такой вывод этих уравнений в общем случае выходит за рамки нашего курса. Мы ограничимся здесь только характеристикой методов решения кинетического уравнения Больцмана и рассмотрим ряд частных задач статистической теории неравновесных систем. [c.142]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...