ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Функции распределения в фазовом пространстве из "Статистическая механика неравновесных процессов Т.1 " Если система из N частиц заключена в конечном объеме V, то внешний потенциал включает потенциал стенок Фу (г), постоянный в объеме V и быстро возрастающий к бесконечности, если координаты частицы приближаются к границе системы. [c.12] Чтобы предсказать эволюцию системы с заданным гамильтонианом Я и заданным начальным состоянием (q ( o),p( o)), необходимо проинтегрировать уравнения движения (1.1.1) и найти фазовую траекторию q t),p t)). Для решения этой задачи важное значение имеет наличие интегралов движения i q p). Каждая траектория характеризуется некоторыми фиксированными значениями i динамических переменных i q p) которые определяют в фазовом пространстве системы подпространство r q,p i ), доступное для фазовых траекторий. Для системы из N частиц, описываемой гамильтонианом (1.1.2) с Ф (г, ) = О, важными интегралами движения являются энергия Я, число частиц полный импульс Р и полный момент импульса L. [c.13] Если удается найти / независимых интегралов движения, то система называется интегрируемой. Тривиальным примером интегрируемой системы является система невзаимодействующих частиц с Ф( г ) = О в гамильтониане (1.1.2). Для интегрируемых систем решение уравнений движения можно найти в явном виде, так что динамическое состояние известно для сколь угодно больших интервалов времени. В общем случае уравнения движения могут быть решены приближенно, например, численными методами. [c.13] В последние годы поведение решений гамильтоновых уравнений (1.1.1) было изучено для различных систем методами нелинейной механики. Важной особенностью этих решений является динамическая неустойчивость траекторий в фазовом пространстве. Это означает, что если q to),p to)) и [q to)- -Aq to),p to)- -Ap to)) — две близкие фазовые точки в момент времени то расстояние [Aq t), Ap t)) между этими точками может расти экпоненциально со временем. Таким образом, при сколь угодно малой вариации [Aq to), Ap to)) начальных условий расстояние между фазовыми траекториями превысит любую наперед заданную величину, если взять достаточно большой интервал времени t — to т. е. динамическое состояние системы становится непредсказуемым. Это свойство траекторий называется динамическим хаосом ). [c.13] В принципе, эволюция сложной системы с большим числом степеней свободы описывается некоторым решением уравнений движения (1.1.1). Существует, однако, несколько причин, в силу которых поведение таких систем невозможно изучать в рамках чисто динамического подхода. Во-первых, мы не можем точно определить начальное динамическое состояние системы. С другой стороны, любая сколь угодно малая неточность в начальных условиях приводит с течением времени к сколь угодно большой неопределенности динамического состояния. Во-вторых, реальные системы не являются полностью изолированными, поэтому некоторые степени свободы и внешние воздействия не включены в уравнения движения (1.1.1). Короче говоря, мы никогда не можем точно определить микроскопическое состояние реальной макроскопической системы. Таким образом, эволюция макроскопической системы не может быть точно представлена как непрерывное преобразование одной точки фазового пространства Г в другую. Поэтому мы должны предполагать, что система может быть обнаружена в любом динамическом состоянии, совместимом с внешними (макроскопическими) условиями. Роль этих условий играют, например, значения интегралов движения или внешние поля, которые ограничивают доступную область в фазовом пространстве. Любое конкретное динамическое состояние может быть приписано системе лишь с некоторой вероятностью. [c.13] Исходя из этих физических соображений, мы будем использовать вероятностную трактовку динамических процессов в системах, состоящих из большого числа частиц. [c.13] Мы не можем здесь подробно обсуждать этот важный результат, полученный в так называемой КАМ (Колмогоров, Арнольд, Мозер) теории нелинейных гамильтоновых систем. Подробное изложение нелинейной механики и динамической структуры фазового пространства имеется в специальной литературе (см., например, [118]). [c.13] Каждой системе, входящей в ансамбль, соответствует точка в фазовом пространстве q p). С течением времени каждая такая фазовая точка движется по собственной траектории согласно уравнениям Гамильтона (1.1.1). [c.14] Говоря о тождественных внешних условиях для систем ансамбля, мы имеем в виду, что все системы приготовлены одинаковым образом и характеризуются одинаковыми значениями макроскопических параметров. [c.14] Используются и другие условия нормировки для функции распределения, которые не согласованы с квантовым распределением. С примером нормировки такого рода мы встретимся в кинетической теории (см. главу 3). [c.14] Интересно отметить, что множитель 1/NI в фазовый объем впервые был введен Гиббсом [13] еще до создания квантовой механики, чтобы избежать хорошо известного парадокса, носящего его имя, — — возрастания энтропии при смешении одинаковых газов при одинаковой температуре и одинаковом давлении. Гиббс различал видовые фазы (q,p) и родовые фазы , для которых фазовый объем уменьшен в N1 раз, и нормировал функцию распределения по родовым фазам. Фактически это соответствует предположению, что тождественные частицы неразличимы в смысле квантовой механики. [c.14] ЧТО является очевидным обобщением условия (1.1.5). Для рассмотренного ранее частного случая, когда число частиц во всех системах ансамбля равно фиксированному значению имеем Qj q p t) = где SnNq символ Кронекера. [c.15] В статистической механике предполагается, что средние по статистическому ансамблю совпадают с наблюдаемыми значениями физических величин, которые на самом деле являются средними по времени для единственной рассматриваемой системы. Это предположение называется эргодической гипотезой. Проблема обоснования эргодической гипотезы весьма трудна даже в равновесном случае, когда время усреднения может быть сколь угодно большим [53, 131]. Если же мы имеем дело с неравновесными ансамблями, то время усреднения не может превышать характерное время, за которое изменяются величины, описывающие макроскопическую эволюцию системы. С другой стороны, время усреднения должно быть достаточно большим, чтобы наблюдаемые физические величины можно было трактовать как средние по многим микроскопическим состояниям. Таким образом, одной из основных проблем в неравновесной статистической механике является построение ансамблей, правильно описывающих неравновесные состояния на различных шкалах времени. Эта проблема будет подробно рассмотрена в главе 2. [c.15] Вернуться к основной статье