СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОЦЕССЫ)

Глава 3. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОЦЕССЫ) [c.90]

Решение уравнений при нестационарных колебаниях. В предыдущем параграфе были рассмотрены случайные силы и вызванные ими случайные колебания, когда вероятностные характеристики сил и компонент вектора состояния стержня [Z (e, т)] во времени не изменялись. Такие случайные колебания называются стационарными случайными колебаниями. Они возможны, когда время переходного процесса много меньше времени рабочего режима. Кроме того, стационарные колебания возможны только в том случае, когда уравнения колебаний стержня есть уравнения с постоянными коэффициентами, а нагрузки, действующие на стержень, представляют собой стационарные случайные функции. [c.158]

Для решения некоторых задач удобно нестационарный процесс F (t) представить как произведение детерминированной функции времени f (t) на стационарную случайную функцию F (t) [И] [c.33]

Наличие вероятностных характеристик (11.48), (11.52), (11.53), а также формул (11.7), (11.10), (11.16), позволяющих рассматривать суммарную погрешность размеров и формы как стационарную случайную функцию при изготовлении цилиндрических деталей, упрощает процесс наладки станка, делает его менее тру- [c.396]

Если доказана стационарность процессов X t) и а(/), то процесс смещения уровня настройки X(t) будет также стационарным и может быть представлен как стационарная случайная функция времени, наложенная на неслучайную линейную функцию. Для нахождения параметров процесса необходимо выделить из суммарного распределения составляющую, определяющую мгновенное распределение отклонений размеров. [c.89]

Взаимные формулы (25.57) и (25.58) — основные в спектральной теории стационарных случайных процессов, носят название формул Винера—Хинчина. Они устанавливают однозначную зависимость между автокорреляционной функцией и спектральной плотностью (плотностью распределения дисперсий амплитуд колебаний по частоте). Представление стационарной случайной функции на неограниченном интервале времени имеет вид [c.179]

Остановимся подробно на случае, когда внутреннее давление Ро (t) представлено стационарной случайной функцией времени и переходный процесс прекращается за конечное время за счет рассеяния энергии. Процесс на выходе рассматриваем как стационарный. Без ограничения общности можно принять для математического ожидания внутреннего давления М 1ро (0 0. Корреляционная функция будет зависеть лишь от разности 2 — = т, что позволяет ввести преобразование Фурье [c.171]

Первые четыре главы настоящего учебника посвящены изложению основных положений теории вероятности и случайных процессов. Рассматриваются случайные величины и случайные функции и их вероятностные характеристики функции распределения плотности вероятности, математические ожидания и дисперсии. Приводятся различные виды законов распределения, встречающихся в практических задачах. Рассмотрены нестационарные и стационарные случайные процессы, имеющие большое прикладное значение при анализе колебаний механических систем. Приведены основные результаты спектральной теории стационарных случайных функций и использования спектрального представления стационарных случайных функций при анализе установившихся колебаний. Изложена теория марковских процессов. [c.4]

Следует подчеркнуть, что компоненты Zj(t) вектора е(0 есть стационарные случайные функции типа нормального белого шума (Wg = О, Agg = >Уоу,-5 (т)). Только в этом случае система уравнений (4.78) может исследоваться с применением марковских процессов. [c.147]

Экспериментальные исследования показывают, что случайный разброс силы сухого трения можно представить в виде процесса, показанного на рис. 5.7. Случайную составляющую силы трения можно приближенно рассматривать как стационарную случайную функцию, ограниченную по модулю со случайными моментами времени изменения знака. Одна из реализаций такого процесса показана на рис. 5.7. Для полной характеристики процесса нужно знать еще распределение точек перехода через нуль (распределение нулей), т.е. вероятность Р(п,х), где п - число нулей на интервале времени х п -случайная величина). [c.178]

Рассмотрим задачу 10.2, воспользовавшись теорией случайных процессов. Для этого имеющуюся информацию о случайном моменте (поле возможных значений) дополним вероятностными характеристиками Mf,, связав их с принятым ограничением на Mf,i Mf, < Ь). Предположим, что является стационарной случайной функцией с неизменным во времени нормальным законом распределения (рис. 10.17) и корреляционной функцией в виде [c.431]

При достаточно стабильном технологическом процессе отклонения формы изменяются (на детали и в партии) приблизительно однородно, а отдельные реализации имеют вид непрерывных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают существенных изменений с изменением неслучайного аргумента длины (длины периметра). При этих условиях отклонение формы корпуса будет представлять собой стационарную случайную функцию. Обычно стационарность отклонений фор. мы деталей, особенно корпуса в химическом аппара- [c.83]

Суммарная погрешность базовых жестких деталей. В общем случае представить отклонение формы в виде второго слагаемого формулы (1), т. е. как сумму простейших гармоник большого числа, затруднительно. Задача комплексной опенки отклонений формы упрощается, если их рассматривать в совокупности как единую стационарную случайную функцию. Напомним, что при исследовании стационарного процесса на любом участке контура детали получаются одни и те же вероятностные характеристики. [c.114]

Таким образом, суть предложения В. В. Болотина заключается в том, что учитывается затухание сейсмического процесса во времени, однако спектральный состав землетрясения при этом остается во времени тем же, что и при использовании гипотезы стационарности. В работе [14] дается также более общее выражение процесса xo t) в виде сочетания детерминированных и стационарных случайных функций времени [c.237]

Рис. 7.6. Аппроксимация сейсмического процесса детерминированной и случайной функциями а — действительный процесс б — огибающая случайной функции в — стационарная случайная функция г — произведение огибающей и стационарной функций

Специфика той составляющей погрешности средства измерений, которую приходится принять за его систематическую погрешность, позволяет считать целесообразным представление основной погрешности моделью (3.3), в которой вся нестационарность основной погрешности, как случайной функции, и математические ожидания случайных величин отражены систематической погрешностью До (0. Остальные составляющие модели (3.3) могут тогда рассматриваться как стационарный случайный центрированный процесс и центрированные случайные величины. Надо подчерк- [c.123]

Следовательно, корреляционная функция стационарного случайного процесса есть функция не двух, а всего одного аргумента. Это обстоятельство в ряде случаев сильно упрощает операции над стационарными случайными функциями. [c.485]

Стационарными обычно бывают такие случайные процессы, которые имеют вид случайных колебаний относительно постоянного среднего значения, средняя амплитуда и характер которых не претерпевают каких-либо существенных изменений с течением времени. Точно установить стационарность случайных функций бывает затруднительно. Однако обнаруженное на каком-либо участке записи процесса постоянство его среднего значения и стабильность формы колебаний дает некоторые основания для того, чтобы считать его стационарным. [c.276]

Реальные флуктуационные процессы очень часто могут с достаточной степенью точности описываться при помощи стационарных случайных функций. К таким процессам относится, например, флуктуационное напряжение, которое возникает на сопротивлении, находящемся в состоянии термодинамического равновесия с окружающей средой. Однако можно указать и на противоположные случаи, когда флуктуационные процессы не являются стационарными, В качестве примера можно указать на интеграл от стационарного процесса. [c.25]

При не слишком малом т распределение р У х х,1а) уже не может быть выражено через эйлеровы статистические характеристики. Однако, если то можно использовать то обстоятельство, что правая часть (9.24) в этом случае может быть представлена в виде суммы ряда интегралов, берущихся по не-пересекающимся интервалам времени продолжительности > Т, и являющихся слабо зависимыми случайными величинами. Поэтому можно думать, что к соответствующей сумме должна быть применима так называемая центральная предельная теорема для слабо зависимых случайных величин, согласно которой распределение вероятностей суммы большого числа таких величин при некоторых широких условиях оказывается очень близким к нормальному. В последние годы центральная предельная теорема была при некоторых условиях доказана и непосредственно для интегралов вида (9.24) (см., например, Розанов (1963), где рассмотрен случай интеграла от стационарной случайной функции близкие теоремы имеются и для интегралов от некоторых нестационарных случайных функций). К сожалению, прямо воспользоваться этими доказательствами все же нельзя, так как фигурирующие в них условия, налагаемые на случайные функций, не могут быть точно проверены в применении к характеристикам реальных процессов ). Тем не менее, эти условия настолько естественны, что было бы крайне странно, если бы распределение вероятностей для смещения К(т) при существенно отличалось от нормального распределения. В некоторых случаях рас- [c.472]

Возможность экспериментального выделения спектральных компонент и(Д(о, 1) придает реальный смысл также представлению о распределении энергии процесса и 1) по его спектру. Энергия процесса и (1) в физических приложениях обычно пропорциональна [ (01 (например, если и (<) — скорость, то [и ( )р лишь постоянным множителем отличается от соответствующей кинетической энергии). Поэтому для стационарных случайных функций и(<) роль средней энергии играет величина u t)f = В 0). Используя (11.12) и (11.8), легко показать, что средняя энергия спектральной компоненты и(Д(о, I) (т. е. средняя энергия содержащихся в и(<) гармонических колебаний с частотами из интервала Д(о = [(й1, г ) равна [c.12]

Изменения выходных координат линейных динамических систем применительно к ж.-д. транспорту представляют собой стационарный случайный колебательный процесс. Основными его характеристиками в рамках корреляционной теории являются математическое ожидание, корреляционная функция i (r) и функция 5((й) спектральной плотности (ФСП). [c.41]

В качестве источника возбуждения низкочастотных колебаний обрессоренных частей (до 8—10 Гц) принимаются вертикальные перемещения колесной пары, которые при неизменных условиях движения описываются гауссовской стационарной случайной функцией. По заданной ФСП воздействия определяются статистические характеристики колебательного процесса кузова и тележек, проводится оценка параметров рессорного подвешивания по плавности хода или любому другому выходному критерию, определяются частотные характеристики, связывающие перемещения колесной пары с неровностями пути. При этом по опытным данным ускорений букс одного тепловоза можно оценивать динамические характеристики другого с близкой осевой нагрузкой. [c.90]

Стационарными случайными функциями считаются такие, которые имеют однородные во времени статические свойства, т. е. для стационарного случайного процесса корреляционный момент 2)=/ ж( с) (зависит от одного аргумента т = 2— 1), а математическое ожидание не зависит от времени, в противном случае процесс нестационарный. Проверка стационарности случайного процесса производится путем статической обработки реализаций. [c.163]

Функция / (<у) называется спектральной плотностью стационарного случайного процесса [c.67]

Корреляционная функция, соответствующая стационарному случайному процессу, и спектральная плотность связаны соотношениями Винера—Хинчина [c.145]

Аналогичное представление вводится и для временных корреляционных функций стационарного случайного процесса [c.76]

Среднее значение случайной функции (т) представляет кривая около которой располагаются все возможные реализации случайной функции. Величины и определяют отклонение, рассеивание зозд южных реализаций случайной функции около кривых (т). Ес-ли характеристики J л, и <7/ зависят от аргумента т, то случай-ый процесс называют нестационарным. Наиболее подробно разработана -еория стационарных случайных (функций (процессов), для которых вреднее значение (математическое ожидание) и дисперсия не зависят от времени. [c.73]

Для вычисления <у t)> необходимо знать корреляционную функцию и спектральную плотность процесса Уа(0- Так как у А (t) и ysit) — стационарные случайные функции времени, то г/л (О и у sit)—то же стационарные случайные функции. Процесс г/л(0 сдвинут во времени на величину ti = onst [ул(0 также сдвинут на ti относительно Ув )], поэтому корреляционные функции процессов г/л (О и г/в (О одинаковы. По тем же [c.332]

Из последних выражений следует, что интеграл от стационарной случайной функции на интервале [О, Л не будет стационарной функцией. Действительно, интегрирование сигнала, в частности, приводит к перераспределению энергии сигнала в область низких частот и к появлению низкочастотного тренда, что обусловливает возможную пестационарность процесса после интегрирования. Таким образом, если измеряемый процесс (виброперемещение) является стационарным, то его производные (виброскорость или виброускорение) могут приниматься также стационарными без дополнительных проверок. Чтобы судить о стационарности интегрально преобразованного сигнала, необходимо располагать его значениями на интервале [О, Г], причем Т t. [c.57]

Общие замечания. Стационарными случайными процессами называются установившиеся процессы, для которых начало отсчета времени несущественно. Подобные процессы Гчасто встречаются в задачах технической диагностики и соответствуют стадии постепенного развития дефекта (различного рода установившиеся колебания, стационарные шумы и т. п.)- Наиболее ярким необходимым признаком стационарности процесса является постоянство его статистических характеристик (среднего значения и среднеквадратичного отклонения) в любой момент времени. Пусть рассматриваемый процесс описывается стационарной случайной функцией X t). В каждый момент времени t (т. е. в каждом сечении функции) среднее значение функции х [t) и среднеквадратичное отклонение постоянны [c.169]

Если при каком-либо процессе (t) ф onst (при t) = onst), то этот процесс можно изучать как стационарный случайный. Корреляционная функция стационарного случайного процесса является функцией не двух, а одного параметра. Эргодическое свойство некоторых стационарных случайных функций заключается в том, что только по одной реализации случайной функции можно получить все ее необходимые характеристики, не прибегая к множеству опытов. Для эргодической стационарной случайной функции одна реализация достаточно большой продолжительности практически эквивалентна множеству реализаций той же продолжительности. [c.27]

При не слишком малом т распределение р(У т х, о) уже не может быть выражено через эйлеровы статистические характеристики. Однако если т > Г, то правая часть (10.24) может быть представлена в виде суммы ряда интегралов, берущихся по непересекающимся интервалам времени продолжительностью более Т и являющихся слабо зависимыми случайными величинами. Поэтому к этой сумме должна быть применима центральная предельная теорема для слабо зависимых случайных величин, согласно которой распределение вероятностей суммы большого числа таких величин при некоторых широких условиях оказывается очень близким к нормальному. В последние годы центральная предельная теорема была при некоторых условиях доказана и непосредственно для интегралов вида (10.24) (см., например, Розанов (1990), где рассмотрен случай интеграла от стационарной случайной функции близкие теоремы имеются и для интегралов от некоторых нестационарных случайных функций). К сожалению, прямо воспользоваться этими доказательствами все же нельзя, так как фигурирующие в них условия, налагаемые на случайные функции, не могут быть точно проверены в применении к характеристикам реальных процессов. Тем не менее эти условия настолько естественны, что было бы крайне странно, если бы распределение вероятностей для смещения У(т) при т > Г существенно отличалось от нормального распределения. В некоторых случаях распределение для (т) (или хотя бы для отдельных компонент этого вектора) может быть найдено экспериментально с помощью измерения распределения концентрации в различных сечениях облака , создаваемого источником примеси (например, распределения температуры в различных сечениях теплового следа за нагретым телом). Таким образом, удалось и экспериментально показать, что во многих турбулентных течениях распределение для (т) при больших т действительно очень близко к нормальному, причем в частном случае турбулентности в аэродинамической трубе за решеткой оказалось, что оно является почти нормальным при всех значениях т (см., например, Коллис (1948), Таунсенд (1951), Уберои и Корсин [c.494]

Необходимые и достаточные условия того, что процесс является эрго-дическим в соответствии с теоремой Биркгофа-Хинчина следующие его стационарность, причем строгая и так называемая метрическая транзитивность, состоящая в том, что любая часть совокупности реализации случайного процесса уже йе стационарна (строго). Стационарность-это необходимое условие эргодичности. Для нестационарного процесса первый и второй моменты (средние по совокупности) могут быть функциями времени, и в этом случае средние по времени не будут совпадать со средними по реализациям. Временная корреляционная функция для стационарного (в том числе для эргодического) процесса есть функция корреляционного интервала т = Г2-Г1, в то время как для нестационарного и, следовательно, неэргодического процесса корреляционная функция зависит от двух аргументов-корреляционного интервала т и текущего времени г. Однако стационарность, будучи необходимым условием эргодичности, не является условием достаточным. Так в [26] приводится пример стационарной случайной функции, не удовлетворяющей условию транзитивности, а потому не являющейся эргодической. В связи со сказанным, неставдо-нарные случайные процессы не удовлетворяют условиям эргодичности. Приведенные рассуждения о связи стационарности и эргодичности поясняются условным графическим изображением случайных процессов на рис. 1. [c.9]

Итак, мы пришли к специальному классу случайных функций от времени, для которых все многомерные плотности вероятности удовлетворяют условиям (4.63), т. е. не меняются при сдвиге соответствующей группы точек и на любой интервал времени Л. Такие случайные функции часто встречаются в самых разнообразных прикладных задачах они называются стационарными случайными функциями, или, иначе, стационарными случайными процессами (поскольку случайные функции от времени в научной литературе часто называются также случайными процессами). Математической теории стационарных случайных процессов посвящен ряд подробных обзоров или глав в специальных монографиях (см., например, Яглом (1952), Дуб (1953), Лоэв (1955), Розанов (1963)). Однако здесь мы ограничимся лишь несколькими замечаниями, имеющими непосредственное отношение к теме настоящей книги (см. также гл. 6 в ч. 2 книги). [c.203]

ЭКСТРАПОЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА - построение оценки значения случайного процесса в момент t + T по его наблюдениям до момента t включительно основная задача предсказания теории случайных процессов. Постоянная Т называется интервалом экстраполяции. Различают чисто статистическую постановку задачи Э С П и алгоритмическую постановку. В первом случае строят оценку,наилучшую в статистическом смысле. Принцип построения наилучших оценок и наилучших линейных оценок дает общая теория предсказания случайных процессов. Такие оценки находятся в явном виде в некоторых частных случаях для стационарных случайных процессов с дробно-рациональной спектральной плотностью, для случайных процессов с вырощенной корреляционной функцией, представимой в виде конечной суммы произведений функции, зависящих только от одного аргумента корреляционной функции. Существуют классы случаев, когда экстраполирование по наблюдениям в дискретные моменты времени безошибочно. Изучение случайных процессов наблюдаемого со случайными ошибками также включается в теорию Э С П. [c.92]

Входные зксплуатационные воздействия отражаются в первую очередь на амплитуде, частоте, форме, симметрии напряжения, а также й на температуре, давлении, перегрузке и пр. Часть из них может иметь и систематическую составляющую во времени (например, изменение момента трения в подшипниках по мере выработки их ресурса). Но всем им присущи одновременно шумы , случайные отклонения от номинального уровня. По своему характеру зти параметры должны быть отнесены к категории случайных функций времени, в общем случае нестационарных. Однако известно, что распределение вероятностей случайного процесса х, ( ) можно задавать совокупными распределениями вероятностей случайных величин х . ( ,),. .., Х (1к), , эг,( ), отвечающих любому конечному набору значений, 1 , , Это позволяет проводить исследования нестабильности в некоторых сечениях периода эксплуатации (причем продолжительность их во времени такова, что параметры распределения случайных значений эксплуатационных входных факторов не претерпевают существенных изменений и их можно принять постоянными), и при описании поведения этих факторов заменить нестационарные случайные функции стационарными. Это в совокупности с выполнением условий взаимной независимости параметров делает принципиально возможным проводить эксплуатационные испытания стохастической модели по общей схеме [22]. Сами же вероятностные распределения эксплуатационных факторов также могут быть обычно приняты нормальными - см., например, рис. 5.10, б. [c.134]

Для стационарных случайных процессов вероятностные характеристики от времени не зависят, т. е. mx= onst Dx— onst, а корреляционная функция зависит только от разности моментов времени т —t=ti [c.145]

Спектральная плотность стационарного случайного процесса определяется как преобразование Фурье o r ковариационной функции и наоборот. Аналогичными соотношениями овязана спектральная плотность центрированного стационарного случайного процесса с корреляционной функцией [c.112]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...