ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Выбор базисных функций из "Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач " Из проекционной трактовки вывода уравнений теории оболочек на основе уравнений трехмерной теории упругости следует, что вид, свойства, устойчивость приближенного решения и сходимость его к точному обусловливаются надлежащим выбором координатных вектор-функций I,-, ifi. [c.16] Применение неортогональных систем координатных функций приводит к более сложным системам разрешающих уравнений со сложными граничными условиями. [c.16] Применение современных ЭВМ позноляет строить приближения с большим числом координатных функций. С увеличением их размерности процесс счета может оказаться неустойчивым, что часто обусловлено приближенным вычислением интегралов от известных функций при формировании системы уравнений проекционного метода и граничных условий или ошибками численного решения соответствующей краевой задачи. [c.17] При произвольном выборе системы координатных функций с увеличением N приближенные решения могут не стремиться к определенному пределу, так как малые погрешности приводят к значительному искажению решения. Такая ситуация возникает, когда с увеличением N координатные функции мало различимы в смысле метрики в Lii—А, А), т. е. базисные векторы почти линейно зависимые. В этом случае система (1.26) — (1.28) оказывается близкой к вырожденной, а процесс решения задачи неустойчив. Ортонормированные системы функций — пример базисов, векторы которых при любом -N существенно различны. Известны н косоугольные базисы, обладающие отмеченным свойством. Такие системы, по терминологии С. Г. Михлина [69], называют почти ортонормированными. Проекционный метод устойчив в том случае, если координатная система почти ортонормирована в L , ц(—h, h). [c.17] Поэтому, например, нельзя считать удовлетворительной теорию изгиба плит, построенную Пуассоном и Коши. Поскольку они применили разложение компонент тензора напряжений по возрастающим степеням координаты х , то может не быть сходимости на всем интервале [—h, h] изменения координаты х . [c.17] Для сходимости приближенного решения, получаемого проекционным методом, к точному в качестве координатной системы необходимо выбирать собственные функции оператора, сходного с В. Как известно [85], все ортогональные полиномы являются собственными функциями сингулярных задач Штурма-Лиувилля для дифференциальных уравнений второго порядка. Роль однородных граничных условий в этом случае играют условия ограниченности собственных функций в точках сингулярности. Поэтому всегда можно подобрать соответствующую систему ортогональных с заданным весом полиномов, принадлежащую Нв. Если оператор, собственными функциями которого является эта система, сходен с оператором В, то соответствующие приближенные решения уравнений теории оболочек сходятся к точному решению. [c.18] Таким образом, система нестационарных уравнений термоупругости оболочек будет наиболее простой, устойчивой и сходящейся к исходным трехмерным уравнениям упругой среды, если в качестве базисной системы использовать полиномы Лежандра. [c.18] Вернуться к основной статье