Определение потенциальной энергии упругой деформации

Как мы убедились, при отражении импульса изменяют знак либо деформации, либо скорости, но не меняют знака и те и другие одновременно. Только поэтому импульс и отражается, т. е. движется в обратном направлении. Что так именно и должно происходить, вытекает из картины распространения энергии в упругом теле. Импульс несет с собой определенную потенциальную энергию упругой деформации и кинетическую энергию движения частиц. Распространение импульса в теле связано поэтому с движением энергии, т. е. с течением энергии в упругом деформированном теле. Выше мы уже сталкивались с простейшим случаем течения энергии в упругом деформированном теле ( 34) — в приводном ремне или передаточном валу приводного механизма. Однако там мы имели дело с однородной и не меняющейся со временем деформацией. В интересующем нас сейчас случае импульса деформаций течение энергии связано с движением неоднородной деформации, т. е. с деформацией, изменяющейся как во времени, так и от точки к точке. Эта общая задача о течении энергии в упругом теле была изучена Н, А. Умовым. В этом общем случае вся картина оказывается гораздо более сложной, чем для однородной и не меняющейся со временем деформации. [c.492]

Определение потенциальной энергии упругой деформации [c.170]

Для определения грузоподъемности пружины необходимо уметь определять объем ее витков из условия прочности. Этот расчет ведется из условия равенства потенциальной энергии упругой деформации пружины и кинетической энергии, которая должна быть поглощена пружиной. [c.132]

Более общим по сравнению с тремя предыдущими способами определения перемещений является способ, построенный на использовании закона сохранения энергии и потенциальной энергии упругой деформации, накапливаемой нагруженным телом. [c.207]

Для определения перемещений в точке приложения силового фактора определяется потенциальная энергия упругой деформации [c.208]

Общая формула для определения количества потенциальной энергии упругой деформации U, накопленной в стержне при растяжении и Сжатии, имеет вид [c.13]

Пластической остаточной деформации металла предшествует упругая деформация. Внешняя сила, изменяя межатомные расстояния, совершает работу, а в деформируемом объеме накапливается потенциальная энергия отталкивания (притяжения). Потенциальная энергия упругой деформации равна энергии, затраченной внешней силой на изменение объема (Ло) и формы (Лф). Согласно теории предельного состояния пластическая деформация наступает только тогда, когда в упругом материале будет накоплен определенный уровень потенциальной энергии. Уровень потенциальной энергии, достаточный для перехода от упругой к пластической деформации, достигается при следующем соотношении главных нормальных напряжений (oj—02) +(02—03) 4-(03— — Ti)2 = 2a . Соотношение главных нормальных напряжений называется условием или уравнением пластичности. [c.248]

Условие пластичности (2.3) может быть получено из энергетического условия пластическая деформация тела наступит тогда, когда потенциальная энергия упругой деформации, направленная на изменение формы тела, достигнет определенного значения независимо от схемы напряженного состояния. [c.79]

Согласно этой теории, пластическая деформация в теле наступает тогда, когда потенциальная энергия упругой деформации, направленной на изменение формы тела, а не объема, достигает определенного значения. [c.361]

Так как читатель мог уже встретиться с потенциальной энергией в сопротивлении материалов, то покажем, что определение, данное в этой дисциплине, является частным случаем данного нами общего определения потенциальной энергией упругого деформированного тела т. е. поля упругих сил) называется работа, которую совершили бы силы упругости, если бы тело из данного деформированного состояния вернулось в недеформи-рованное в котором потенциальную энергию условно принимаем равной нулю). При этом тела считаются абсолютно упругими, т.е. предполагается следующее 1) вся работа Wx, совершаемая внешними силами, идет на увеличение потенциальной энергии V деформации 2) если затем снять все внешние нагрузки, то под действием сил упругости тело полностью восстановит свою [c.195]

Из-за положительной определенности удельной потенциальной энергии упругой деформации это равенство может быть выполнено только для e = ef — е = 0. Отсюда следует = и [c.76]

В п. 2.3.3 уже использовалось важное свойство энергии упругой деформации, а именно ее положительная определенность. В недеформированном состоянии 0 = 0 так как на деформацию затрачивается работа, то О >0, и удельная потенциальная энергия упругой деформации оказывается всегда положительной функцией компонент деформаций и напряжений. Это согласуется с законом термодинамического равновесия Гиббса, согласно которому устанавливается положительная определенность как Е, так и Р в окрестности начального состояния тела. [c.80]

Поскольку третья теория рассматривает влияние только двух главных нормальных напряжений — наибольшего и наименьшего и не учитывает среднего по величине напряжения, она применима для плоского напряженного состояния. Для объемного напряженного состояния разработана четвертая, так называемая энергетическая теория. В основу этой теории кладется определение количества потенциальной энергии упругой деформации, которую необходимо накопить в металле для возникновения пластической деформации. При этом берется только та часть потенциальной энергии упругой деформации, которая идет на изменение формы тела. Переходим к рассмотрению этой теории. [c.69]

Интегрирование производят по длине каждого участка, а суммирование—по всем участкам стержня. Для валов углы закручивания удобно отсчитывать в обе стороны от сечения, где расположен ведущий шкив вала. Общая формула для определения количества потенциальной энергии упругой деформации, накопленной в стержне при кручении, имеет вид [c.62]

Так же выразится и потенциальная энергия растянутой пружины. Потенциальная энергия тела в поле тяжести. Материальная частица или тяжелое тело, поднятое на некоторую высоту, обладает потенциальной энергией, равной той работе, которую совершит сила тяжести при опускании тела до нулевого положения . Однако нулевое положение в поле силы тяжести не может быть так естественно определено, как в поле упругой силы. Для пружины и вообще в случаях упругих сил нулевым положением является то, при котором отсутствует деформация. Для тяжелого тела нулевым положением может быть уровень пола, уровень земли и т. д. Уровень, относительно которого отсчитывают потенциальную энергию тела, поднятого на некоторую высоту, может быть выбран совершенно условно. Но эта условность в выборе нулевого положения не сказывается на расчетах, так как в расчеты всегда входит не полная потенциальная энергия, а ее изменение. Нужно лишь отсчитывать потенциальную энергию относительно одного и того же уровня. Поэтому для определения потенциальной энергии тела в поле силы тяжести мы построим систему прямоугольных координатных осей, направив ось Oz вертикально вверх, но не будем пока уточнять положение начала отсчета и определим проекции силы тяжести [c.394]

Для определения потенциальной энергии системы следует вычислить работу, которую совершают разности сил упругости пружин и сил тяжести грузов при перемещении системы из рассматриваемого положения в положение равновесия. 2(ги разности сил изменяются в зависимости от смещений грузов из статических положений равновесия по линейному закону аналогично тому, как изменяется сила упругости пружины при деформации пружины из недеформированного состояния. [c.446]

Энергетический метод определяет величину нагрузки, для которой полная потенциальная энергия (сумма энергии упругой деформации и потенциальной энергии внешних сил) идеального тела перестает быть существенно положительной определенной функцией для всех малых статических допустимых вариаций. Это происходит, когда нагрузка Р приближается к собственному значению Р. . Энергетический метод является мощным практическим средством приближенного вычисления критической нагрузки, получившим большое развитие в работах С. П. Тимошенко [102]. [c.257]

В этом равенстве Сг, G3, G4 - веса звеньев механизма. При определении потенциальной энергии деформации упругих связей используем следующие обозначения [c.375]

Энергетический критерий. Этот критерий, развитый Мизесом и Генки, предполагает, что разрушение происходит тогда, когда энергия сдвига достигает некоторой определенной величины. Эта энергия сдвига является функцией трех главных напряжений. Предполагается, что причиной возникновения опасных деформаций является не вся потенциальная-энергия деформации, а только та часть ее, которая связана с изменением формы элементарных объемов материала и равная разности между общей энергией упругой деформации и упругой энергией, необходимой для изменения объема элемента. [c.394]

Отличительной особенностью упругих тел является обратимость процессов деформирования. Считается, что в упругой области полностью отсутствуют остаточные деформации, т. е. работа внешних сил переходит в потенциальную энергию деформации. Так как деформации Вх, е,у,. .. У2Х являются обобщенными перемещениями для напряжений а , а у, г гху то в соответствии с определением потенциальной энергии в механике назовем удельной потенциальной энергией деформации упругого тела такую функцию [c.17]

Доказательство единственности решения краевых задач статики упругого тела строится на том, что предположение о неединственности приведет к противоречию. Единственность впервые была доказана Кирхгофом (1859 г.) и основывалась на положительной определенности потенциальной энергии деформации. [c.37]

Переход кинетической энергии в потенциальную и обратно имеет место не только при падении тел. Затратив работу на деформацию пружины, мы сообщаем ей определенную потенциальную энергию (за счет внутренних сил упругости), которая возвращается в виде кинетической энергии в процессе восстановления формы пружины. [c.177]

Для определения условия пластичности в случае объемного напряженного состояния разработано несколько теорий. Наиболее общая и экспериментально проверенная энергетическая теория исходит из условия, что пластическая деформация наступает тогда, когда потенциальная энергия упругого изменения формы (а не объема) достигает определенного значения для данного материала и данных условий деформирования независимо от схемы напряженного состояния. В соответствии с этой теорией условие пластичности в главных напряжениях имеет следующий вид [c.26]

Компоненты напряжений можно найти из производных упругой энергии по соответствующей компоненте деформаций, что следует из определения потенциальной энергии. Рассмотрим напряжение Хх, приложенное к одной из граней единичного куба таким образом, что противоположная грань остается неподвижной. Тогда [c.155]

Величины Су, 1,7= 1, 2, 3, являются компонентами симметричного тензора малых деформаций е,-, (, а функционал (2.4) определяет потенциальную энергию малых деформаций (классическая теория упругости). Потенциальная энергия деформаций элементарной частицы должна быть положительной, иначе в процессе деформации работа сил по изменению формы частицы будет отрицательной, т.е. будет происходить выделение, а не затрата энергии. Условия положительной определенности квадратичной формы (2.3), представленной в виде [c.235]

Энергия Т при ударе согласно закону сохранения энергии и будет трансформирована в потенциальную энергию деформации упругого стержня. Поэтому полученное выражение (22.30) и должно быть подставлено вместо То в формулу (22.15) для определения коэффициента динамичности, т. е. [c.637]

При распространении упругой волны распространяются волна скоростей, несущая с собой кинетическую энергию, и волна деформаций, несущая с собой потенциальную энергию. Происходит перенос энергии так же, как при распространении отдельного импульса. Течение энергии в определенном направлении происходит так же, как и в случае одного импульса. Деформированные элементы стержня движутся и при этом передают свою потенциальную и кинетическую энергию следующим элементам стержня. Энергия течет по стержню с той же скоростью, с какой распространяется волна. Но, как мы видели при движении сжатого упругого тела, энергия течет в направлении движения тела наоборот, при движении растянутого тела энергия течет в направлении, противоположном движению тела. Поэтому, хотя направление движения слоев стержня дважды изменяется за период, но вместе с тем меняется и знак деформации, так что энергия все время течет в направлении +х, т. е. в направлении распространения бегущей волны. [c.680]

Таким образом, нами получено выражение для определения удельной потенциальной энергии, расходуемой для накопления упругой удельной деформации в единице объема при линейном напряженном состоянии. [c.87]

Однако определение силы удара Pa i) по формуле (23.1) весьма затруднительно, так как не известно время соударения, т. е. время, в течение которого скорость движущегося тела снижается от своего максимального значения в момент соприкосновения с ударяемым телом (начало удара) до нуля после деформации последнего (конец удара). В связи с указанными трудностями, определяя напряжения в элементах упругих систем, вызываемые действием ударных нагрузок (динамические напряжения), в инженерной практике обычно пользуются так называемым энергетическим методом, основанным на законе сохранения энергии. Согласно этому методу полагают, что при соударении движущихся тел уменьшение запаса кинетической энергии их равно увеличению потенциальной энергии деформации соударяющихся упругих тел. [c.691]

Здесь и — потенциальная энергия деформации всего тела, а 6(2 — механический эквивалент тепловой энергии, подведенной ко всему телу. Как это станет ясно из нижеизложенного, существует при определенных условиях так называемый упругий потенциал, характеризующий деформированное состояние тела, численно равный работе напряжений, приходящейся на единицу объе.ма (удельная потенциальная энергия упругих деформаций). [c.461]

Ударная нагрузка является одним из ви дов инерционных нагрузок. За время удара, исчисляемое сотыми долями секунды, скорость ударяющего тела падает до нуля. Возникают большое ускорение и соответственно большая сила инерции, значение которой и определяет действие ударной нагрузки. Время удара и закон изменения скорости зависят от большого числа факторов, трудно поддающихся определению. Поэтому напряжения и деформации, возникающие при ударе, определяются из предположения, что вся кинетич кая или потенциальная энергия ударяющего тела полностью се 5еходит в энергию упругой деформации ударяемого тела. [c.188]

Отличие вариационных постановок задач первого типа от классических (не контактных) заключается в необходимости удовлетворения дополнительным ограничениям на допустимые функции, имеющим форму неравенств. Известное условие положительной определенности потенциальной энергии деформации обеспечивает и здесь единственность решения и его существование. В частности, если вариационная задача есть задача минимизации полной энергии системы контактирующих линейно упругих тел, то ограничение — неравенство, отражающее физическое требование непроникания, выделяет из множества допустимых к сравнению функций выпуклое подмножество как хорошо известно, задача минимизации положительно определенного (выпуклого) функционала при некоторых дополнительных ограничениях на гладкость границы области имеет решение и это решение только одно. [c.93]

Один из этих принципов впервые ввел в теорию упругости выдающийся физик Густав Кирхгоф в одной из своих фундаментальных работ, опубликованной в 1850 г. ). Стремясь в этой замечательной статье развить теорию изгиба тонкой плоской упругой пластинки, он сразу же успешно вывел из экстремального условия для потенциальной энергии линейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка для малых прогибов упругой пластинки (уравнение Лагранжа) и дифференциальные выражения для полной системы двух граничных условий, необходимых для определения формы изогнутой срединной поверхности пластинки. Таким образом, он впервые установил корректные выражения для этих двух граничных условий после многочисленных безуспешных попыток, предпринимавшихся в течение первой половины девятнадцатого столетия математиками французской школы (в том числе Пуассоном). Они утверждали, что поверхность слегка изогнутой упругой пластинки и решение указанного дифференциального уравнения четвертого порядка для прогибов пластинки должны удовлетворять трем независимым граничным условиям, тогда как Кирхгоф установил, что достаточно всего двух ). Он достиг этого применением принципа возможных перемещений, приравняв нулю первую. вариацию определенного интеграла, выражающего полную потенциальную энергию изогнутой пластинки как сумму энергии упругой деформации, вызванной внутренними напряжениями, деформирующими пластинку при изгибе, и потенциальной энергии системы внешних сил (нагрузок), изгибающих пластинку. Внеся вариацию под знак интеграла и применив ее к подинте-гральному выражению, он нашел дифференциальное уравнение [c.142]

Первый члея в скобках представляет собой кинетическую энергию, а второй - потенциальную та и другая энергии отнесены к единице объема. Тс, что второй член есть потенциальная энергия, след ет. из такого рассуждения. Потенциальная энергия элемента объема (энергия упругой деформации) равна, по определению, той работе, [c.36]

В 1875 г. итальянским ученым Кастельяно была предложена теорема для определения прогибов и углов поворота сечений балок и других упругих систем, основанная на вычислении потенциальной энергии деформации. [c.212]

Двумя поперечными еечениями, расетояние между которыми по оси участка dS — бесконечно мало, вырежем на 1-м участке системы (рис. VI. 1, а) элемент. Силы упругости в поперечных сечениях элемента могут привестись к шести внутренним силовым факторам (рис. У1.2), которые для него должны рассматриваться как обобщенные силы. Под действием этих обобщенных сил правое сечение элемента переместится относительно левого, которое считаем неподвижным. Перемещения сечения в направлениях осей х, у, 2 от ЛГ, Q , и повороты его около осей х, у, 2 от М , Му, будут взаимно ортогональны, поэтому обобщенное перемещение, соответствующее каждому внутреннему силовому фактору, будет перемещение, вызванное им самим. Или по-другому каждый внутренний силовой фактор будет совершать работу только на созданном им (на собственном) перемещении. На этом основании и — потенциальная энергия деформации элемента может быть найдена, как сумма потенциальных энергий деформации, определенных при действии на элемент каждого внутреннего силового фактора отдельно [c.210]

Угол сдвига Уху элемента (рис. VI.4, а) с размерами Ь, (18, (1у (рис. VI.4,6) перемещен по высоте сечения /г, поэтому для определения duQ придется сначала вычислить d (( Ид — потенциальную энергию деформации этого элемента. Касательные силы упругости, действующие по граням элемента, параллельным нейтральному слою, нормальны к перемещению, и, следовательно, их работа равна нулю. Для элемента 1, ybdy — сила, действующая по грани, совпадающей с поперечным сечением ii5J, = у, у 15 — перемещение этой грани. Тогда [c.212]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...