Сходимость и устойчивость разностных схем

Сходимость и устойчивость разностных схем [c.83]

Остановимся далее на вопросах устойчивости и сходимости разностных схем. Сходимость разностных схем является следствием правильной аппроксимации дифференциальных уравнений разностными и устойчивостью последних. В настоящее время разработаны строгие методы анализа устойчивости разностных схем (см., например, [3—5]). Воспользуемся, однако, упрощенным, но физически более понятным способом для определения условий устойчивости явных разностных схем. В качестве примера исследуем разностное уравнение (3.17). Очевидно, что в процессе решения устойчивой разностной схемы искомая функция должна всегда оставаться ограниченной по величине. Применительно к соотношению (3.17) это условие будет заведомо выполнено, если функция йг, ь+1 В любой момент времени т удовлетворяет условию [c.64]

Понятие устойчивости. Разностная схема называется сходящейся, если при /г- -О сеточное решение стремится к точному Uh- u. Если U—Uh=0(hp), то порядок сходимости равен р. Схемы, обладающие свойством аппроксимации, могут быть ие-сходящимися. Приведем пример такой схемы. Для уравнения [c.83]

С математической точки зрения рассматриваются дифференциально-разностные аппроксимации динамической системы уравнений Ламе, имеющие вид уравнений Ньютона, и устанавливаются условия сходимости данной аппроксимации. Разностные схемы, изученные О. А. Ладыженской в работе [29], не входят в рассматриваемый класс приближений, но при исследовании устойчивости используется предложенный там метод Фурье. [c.239]

Сходимость алгоритма (3.3) следует из теоремы эквивалентности [67], утверждающей, что, если линейная однородная дифференциальная задача корректна и разностная схема аппроксимирует эту задачу, то устойчивость разностной схемы является [c.111]

Понятие сходимости разностной схемы тесно связано с понятиями точности и устойчивости. [c.46]

Для многих краевых задач сходимость разностной схемы является следствием аппроксимации ею краевой задачи и устойчивости. При этом порядок сходимости относительно шага совпадает с порядком аппроксимации. [c.47]

Теория разностных схем в основном развита для линейных задач и опирается, как отмечалось ранее, на три основных понятия аппроксимацию исходных дифференциальных уравнений, устойчивость вычислительного процесса, сходимость численного метода к решению. Для нелинейных задач теория, как правило, не развита исследование устойчивости в этих случаях сопряжено с большими трудностями и проводится обычно на линейных аналогах конкретной задачи. Например, при исследовании устойчивости задач газовой динамики часто рассматриваются уравнения в акустическом приближении. [c.232]

Система разностных уравнений (7.55), (7.57) устойчива к малым возмущениям правой части уравнения и граничных условий, что обеспечивает вместе с аппроксимацией сходимость разностной схемы, т. е. [c.249]

Если г=т//г>1, то точка В лежит вне отрезка АС. Изменим начальную функцию в точке В и ее окрестности левее А. При этом решение дифференциальной задачи в D изменится, а разностная схема не почувствует изменения начальных данных. Ясно, что сходимость не имеет места следовательно, схема неустойчива, поскольку из устойчивости (и аппроксимации) следует сходимость. Это общий принцип гиперболических уравнений [c.90]

Важнейшие свойства разностных схем —аппроксимируемость, устойчивость и сходимость [69]. [c.84]

Важнейшие свойства разностных схем—аппроксимируемость, устойчивость и сходимость. [c.233]

Это требование к разностной схеме называют условием сходимости. Для сходимости разностной схемы необходимо и достаточно выполнения двух других условий — аппроксимации и устойчивости, которые будут пояснены ниже на примере схем Эйлера. [c.28]

Сходимость, аппроксимация и устойчивость. Основным требованием к разностной схеме является стремление сеточной функции разностного решения к сеточной функции точного решения Т/ при стремлении к нулю шагов по пространственной и временной координатам. Погрешность различна в разных узлах пространственно-временной сетки. Для того чтобы охарактеризовать погрешность во всей области вводят одно число, которое называют нормой по- [c.74]

Требование сходимости приводит, в свою очередь, к требованию выполнения для разностной схемы двух условий—аппроксимации и устойчивости. Можно доказать (см. ниже), что при наличии аппроксимации и устойчивости всегда будет иметь место и сходимость. Остановимся на понятиях аппроксимации и устойчивости подробнее, начав с первого. [c.75]

Иначе говоря, различие между уравнениями разностной схемы и точными уравнениями должно уменьшаться при уменьшении шагов Ат и h. Стремление к ну 1Ю отличительных членов и позволяет надеяться на сходимость к Т/ ведь если уравнения почти одинаковы , то н решения, по-видимому, должны быть почти одинаковы . Однако ниже мы увидим, что последний тезис не всегда справедлив, так как и при наличии аппроксимации решения могут быть не близки, если не выполняется условие устойчивости. [c.76]

Таким образом, доказана сходимость как процесса простой итерации, так и процесса Зейделя. Отметим, что в процессе доказательства сходимости шаг сетки не вошел в оценку. Из этого можно сделать вывод о том, что доказательство верно в одинаковой степени для всех h, т. е. разностная схема корректна, и, следовательно, нет необходимости проверять устойчивость по граничным условиям [18]. [c.86]

Теорема. Пусть разностная схема (5.53), (5.54) устойчива и аппроксимирует краевую задачу (5.50), (5.51). Тогда она сходится, причем из аппроксимации с т-и порядком следует сходимость с т-м порядком. [c.147]

В книге освещаются вопросы устойчивости и сходимости решения конечно-разностных уравнений. Представляет интерес анализ различного типа ошибок, обусловленных разностными схемами. Автор уделяет очень большое внимание численному представлению граничных условий, которые имеют первостепенное значение, влияя как на точность, так и на устойчивость численного решения задачи. Обсуждение этого вопроса проводится столь детально, что в этом отношении книга не имеет себе аналогов. [c.9]

Формула (3.94) представляет собой решение конечно-разностного уравнения (3.93) при нулевых граничных условиях. Общее решение получается заменой в (3.94) V" на Л ", где л интерпретируется как показатель степени. Это конечно-разностное решение можно использовать для того, чтобы наглядно продемонстрировать некоторые свойства сходимости конечно-разностной схемы (3.93) (см, Рихтмайер и Мортон [1967]). Хотя (3.94) не является решением уравнения с конвективным и диффузионным членами, мы хотим вскоре обратиться к такому полному уравнению, избегая, однако, обсуждения вопроса о влиянии граничных условий. Это легко сделать (после дополнительной аппроксимации), анализируя устойчивость для бесконечной области согласно фон Нейману. [c.69]

Очевидно, что проверить точность схемы на грубой сетке нельзя. Однако устойчивость и сходимость решения конечно-разностных уравнений обычно можно проверить на крайне грубой сетке, лишь бы она содержала хотя бы одну стандартную внутреннюю узловую точку. Для многих задач качественно разумные результаты, пригодные для проверки устойчивости, итерационной сходимости, постановки граничных условий, выбора вариантов, процедур вывода информации и т. д., могут быть получены на сетке 4X4 всего с 9 внутренними точками. Избегайте болезненного пристрастия к десятичной системе. Не обязательно размещать в пограничном слое сакраментальные десять точек часто для отладки достаточно даже двух или одной точки. [c.479]

Корректность и устойчивость схемы. Принятым методом проверки сходимости разностной схемы является теоретическое исследование ее свойств аппроксимации и устойчивости, наличие которых оказывается необходимым и достаточным условием сходимости. [c.154]

В разд. 1 рассматриваются некоторые общие вопросы теории разностных схем аппроксимация, устойчивость и сходимость. [c.125]

В разд. 4 гл. III приводится обзор численных методов расчета ламинарного пограничного слоя, обсуждаются вопросы, связанные с аппроксимацией, устойчивостью, сходимостью разностных схем. Развитие методов расчета задач пространственного ламинарного пограничного слоя привело к созданию методов расчета турбулентного пограничного слоя. Для численного интегрирования уравнений турбулентного пограничного слоя используются в основном методы, ранее опробованные на задачах ламинарного пограничного слоя и соответствующим образом модифицированные для решения уравнений турбулентного пограничного слоя. [c.329]

МИ шаблонами. Суш ествуют конечно-разностные схемы, в которых производные по одному из двух направлений т] аппроксимируются явным образом, что с необходимостью накладывает ограничения на соотношение шагов интегрирования по и т]. В работе [2] приводятся разностные схемы, которые устойчивы для модельного уравнения. В работе [36] производные по т] аппроксимируются явным образом так, что конечно-разностное представление дифференциального оператора сой/йт] всегда остается положительным, что достигается слежением за направлением со. Отметим, что приведенные схемы, хотя и обладают хорошей устойчивостью и сходимостью, накладывают суш ественные ограничения на шаги интегрирования, и это приводит к трудностям при решении ряда сложных задач теории пограничного слоя. [c.340]

Существенным моментом при построении схем высокого порядка может стать тот факт, что сходимость разностного решения к точному для устойчивого алгоритма обеспечивается аппроксимацией на точном решении и не требует аппроксимации на произвольной гладкой функции. [c.10]

В настоящее время получить эффективные достаточные условия сходимости даже для относительно простых уравнений, как правило, не удается. Для практики большое значение имеют простые и вместе с тем близкие к достаточным, необходимые условия сходимости и устойчивости. Существующие методы, при помощи которых можно получить такие условия для некоторых классов разностных схем, например методы разделения переменных и интеграяа Фурье, далеко не исчерпывают все многообразие встречающихся схем. В последнее время широкое распространение получили некоторые практические методы исследования устойчивости разностных схем (например, так называемый метод замораживания коэффициентов для разностных уравнений с переменными коэффициентами). Теоретически они или не обоснованы или обоснованы только для частных случаев, но достаточно хорошо проверены на практике. [c.114]

В теории разностных схем доказывается теорема если разно-ч тная схема аппроксимирует дифференциальные уравнения и она устойчива, то при уменьшении шагов ее разностное решение сходится к решению дифференциальных уравнений. Обладание свойством сходимости является обязательным требованием, предъявляемым к разностной схеме при численном решении дифференциальной задачи. Если сходимость имеет место, то с помощью разностной схемы можно вычислить решение и с любой наперед заданной точностью, выбирая для этого шаг к достаточно малым. [c.272]

Кроме требований аппроксимации, устойчивости и сходимости к разностным схемам, предъявляется ряд других не обязательных требований. Таково, в частности, требование консервативности разностной схемы. Разностная схема должна отражать основные свойства непрерывной среды, и поэтому желательно, чтобы в схеме выполнялись разностные аналоги основных законов сохранения. Разностные схемы, обладающие этим свойством, называются консервативньши. С этой целью разностные уравнения строятся на основе интегральных соотношений, выражающих законы сохранения для элементарной ячейки сетки. С другой стороны, если исходные дифференциальные уравнения записаны в дивергентном виде, то соответствующую разностную схему нетрудно сделать консервативной. [c.272]

Лннроксимация, устойчивость и сходимость. Рассмотрим основные понятия теории разностных схем на примере разностной схемы (5.53), (5.54) для краевой задачи (5.50), (5.51), считая, что дифференциальный оператор L и разностный опе- [c.146]

О Брайен, Хаймен и Каплан [1950], а также Эдди [1949] определяют устойчивость исходя из роста или затухания ошибок округления. Лаке и Рихтмайер [1956] дают более общее определение устойчивости, устанавливая границу, до которой может возрастать любая компонента начальных данных в процессе численного расчета. Фундаментальную роль здесь играет теорема Лакса. Она устанавливает, что для системы линейных уравнений наличие устойчивости является необходимым и достаточным условием сходимости конечно-разностной схемы, аппроксимирующей систему дифференциальных уравнений. [c.27]

Ютасс разностных схем, описываемых в этой книге, практически обладает всеми указанными выше свойствами. Поскольку порядок этих схем выше второго, их можно отнести к категории схем повышенной точности. Для уточнения этого понятия целесообразно напомнить определения аппроксимации и устойчивости схем, а также теорему о связи между ними и сходимостью в том виде, как это представлено в [3]. Пусть имеется задача [c.5]

Прежде чем говорить о методах решения полученной системы, отметим фи важнейших свойства разностных схем аппроксимируемость, устойчивость и сходимость решения. Первое означает, что при Ах О и Ау О, т.е. решение системы алгебраических уравнений сфемится к решению исходного дифференциального уравнения. Устойчивой называется схема, для которой ошибки округления при уменьшении шагов Ах и Ау не приводят к большим искажениям решения. Сходимость означает, что по мере уменьшения Ах и Ау решение системы все ближе сходится с истинным решением. Сходимость выступает как следствие аппроксимируемости и устойчивости. Анализ различных конечно-разностных схем на устойчивость и сходимость приведен в [18], [19]. [c.77]

Хотя неявные методы решения уравнений Эйлера более сложны по формулировке, они устойчивы независимо от размера временного шага. В работе Стеджера и др. [6.69] использован неявный метод приближенной факторизации (прогонки) для расчета трансзвукового течения через компрессорную решетку, а в работе [6.70] описано применение метода на манер детской игры в классы , где комбинируются явные и неявные конечно-разностные схемы с нерегулярными сетками. В этом методе оптимально используется искусственная вязкость для улучшения сходимости расчетов. [c.195]

Киига посвящена численному решению уравнений гидрогазодинамики. В ней рассматриваются различные формы уравнений и варианты граничных условий, описываются разнообразные типы конечно-разностных -схем, обсуждаются их точность, устойчивость и сходимость. Даются рекомендации по программированию и обработке получаемой информации. [c.4]

Попутно оценивались более слабые, чем (5.4), условия сходимости, которые иногда применяются на практике установление трех и четырех значащих цифр в числе Нуссельта. В результате стало возможным провести некоторое сравнение. Так, установление трех знаков в числе Нуссельта при рещении задачи (5.1) на квадратной сетке 21X21 при Ка = 5-10 достигается за 25—30 шагов по времени при временном шаге т = 0,002 (которое близко к максимально допустимому), если применять неявную схему метода установления, предложенную в [43]. Отметим, что по устойчивости и экономичности она является одной из лучших эволюционных схем, применяемых для решения задач ЕК- При этом на каждом временном слое уравнения переноса тепла и завихренности, аппроксимированные с помощью схемы Самарского С, считаются по схеме переменных направлений, а разностное уравнение Пуассона для функции тока — методом последовательной верхней релаксации. [c.141]

Эти формулы также устойчивы при больших Ре. Значение Zw. полученное по формуле (3.443), очень мало отличается от значения, полученного по условию Йенсена (3.441), так как полная ошибка аппроксимации при этом не меняется (Брили [1970]). Но в неявной схеме метода чередующихся направлений итерации для (см. разд. 3.1.16) сходятся быстрее, можно проводить расчеты с большими величинами шагов по времени, а суммарное машинное время сокращается вдвое. Однако программа становится сложнее, так как формулы (3.445) при решении уравнения Пуассона с помощью неявной схемы метода чередующихся направлений приводят к появлению членов в узлах, отстоящих от границы более чем на один шаг таким образом, расщепленные по времени неявные разностные уравнения вдоль у в неявной схеме метода чередующихся направлений не будут трехдиагональными. Для того чтобы исключить эту дополнительную неявность в точках ш - - и ш 2, Брили [1970] применял простую модификацию метода исключения Гаусса. Может оказаться, что условия (3.445) препятствуют сходимости при решении уравнения Пуассона методом после- [c.220]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...