Разностная схема устойчивая

Устойчивость разностных схем. Устойчивыми называют такие разностные схемы, решения которых непрерывно зависят от параметров системы и равномерно от h. Для сложных систем априорные оценки устойчивости затруднены, поэтому о них судят, непосредственно сопоставляя результаты вычислений для различных значений h и входных параметров. [c.187]

Явная разностная схема устойчива только при выполнении весьма жесткого условия на шаги сетки [c.148]

Чисто неявная разностная схема устойчива при любом соотношении шагов сетки (в этом ее основное преимущество перед явной схемой) и сходится при т О, Л - О с оценкой погрешности (5.71). [c.149]

Определение 3.2. Будем говорить, что разностная схема устойчива в норме пространства С, если выполняется условие [c.22]

Разностные схемы, устойчивые при любых значениях сеточных параметров, называются абсолютно устойчивыми разностными схемами. Схема Кра-нка-Николсона - пример абсолютно устойчивой разностной схемы. [c.31]

Понятие устойчивости разностной схемы связано с понятием корректности разностной схемы. Будем говорить, что разностная задача поставлена корректно, если решение существует и единственно при всех начальных и граничных условиях допустимого вида, причем решение разностной задачи непрерывно зависит от начальных данных и равномерно относительно величины шага сетки. Вторая часть условия корректности является как раз устойчивостью схемы по начальным данным. Для линейных задач условие устойчивости по начальным данным и устойчивость по правой части эквивалентны. Условие устойчивости связано с реакцией разностной схемы на ошибки, которые вносятся в правую часть Zu = f) в начальные и граничные условия. Рост возмущений приводит к неустойчивости численных расчетов. Если ошибки не накапливаются в процессе вычислений, то разностная схема устойчива. [c.128]

Это свидетельствует об устойчивости разностной схемы. Устойчивость имеет место при любых положительных г = А 7А Из ап- [c.143]

Понятие сходимости разностной схемы тесно связано с понятиями точности и устойчивости. [c.46]

Для определения порядка точности многих практических разностных схем достаточно определить порядок аппроксимации дифференциального оператора разностным, так как порядки точности и аппроксимации для них совпадают. Однако разностная схема, для которой такое утверждение может быть доказано, должна обладать еще одним важным свойством — устойчивостью. Устойчивая разностная схема — схема, в которой не происходит наращивания малых ошибок округления, допущенных на начальных стадиях решения. [c.47]

Для многих краевых задач сходимость разностной схемы является следствием аппроксимации ею краевой задачи и устойчивости. При этом порядок сходимости относительно шага совпадает с порядком аппроксимации. [c.47]

Для гладких неразрывных функций хорошо развит математический аппарат изучения аппроксимации и доказательства устойчивости разностных схем. [c.47]

Разностная схема (1.86), (1.87) устойчива и аппроксимирует исходную краевую задачу (1.6) со вторым порядком точности относительно шага. Кроме того, она регулярна по направлениям осей X и у, что позволяет создавать быстродействующие алгоритмы решения результирующей системы алгебраических уравнений. [c.48]

Кроме ошибок аппроксимации, существует другой источник ошибок численного решения, связанный с погрешностью вычислений. В зависимости от вычислительного алгоритма могут уменьшаться и возрастать ошибки округления. В случае возрастания говорят, что вычислительный метод неустойчив, в случае убывания — устойчив. Для решения задач используют устойчивые методы. Один и тот же алгоритм может быть устойчив при выполнении некоторых условий и неустойчив при их нарушении. Условие неустойчивости является внутренним свойством разностной схемы и не связано с исходной дифференциальной задачей. Исследование устойчивости обычно проводится для линейных задач с постоянными коэффициентами, и результаты исследования, полученные для линейных систем, переносят на нелинейные уравнения газовой динамики, но при этом надо иметь в виду, что [c.271]

Из анализа устойчивости разностной схемы для линеаризованной системы гиперболических уравнений для двумерного стационарного сверхзвукового течения следует, что на шаг по координате х должно быть наложено ограничение [c.285]

Рис. 14.8. К выводу условия устойчивости разностной схемы

Устойчивость разностной схемы 285 [c.301]

Заметим, что при достаточно малых значениях Дх решение уравнения (3.11) устойчиво и сходится к точному решению исходного уравнения (3 9). Численный метод решения дифференциальных уравнений с использованием разностной схемы вида (3.11) носит название метода Эйлера. [c.59]

Остановимся далее на вопросах устойчивости и сходимости разностных схем. Сходимость разностных схем является следствием правильной аппроксимации дифференциальных уравнений разностными и устойчивостью последних. В настоящее время разработаны строгие методы анализа устойчивости разностных схем (см., например, [3—5]). Воспользуемся, однако, упрощенным, но физически более понятным способом для определения условий устойчивости явных разностных схем. В качестве примера исследуем разностное уравнение (3.17). Очевидно, что в процессе решения устойчивой разностной схемы искомая функция должна всегда оставаться ограниченной по величине. Применительно к соотношению (3.17) это условие будет заведомо выполнено, если функция йг, ь+1 В любой момент времени т удовлетворяет условию [c.64]

Рис. 3.8. К выводу Условия устойчивости явной разностной схемы

В отличие от явных неявные разностные схемы являются безусловно устойчивыми, т. е. устойчивыми при произвольном соотношении шагов по времени и пространственным переменным. В этой связи при использовании неявных схем есть возможность проводить расчеты при больших значениях шага Ат. В этом преимущество неявных схем. Следует в то же время иметь в виду, что чрезмерное увеличение шага Ат приводит к существенному возрастанию погрешностей аппроксимации, поэтому фактором, ограничивающим размеры шага Ат при использовании неявных схем, является требуемая точность вычислений. [c.65]

Заметим, что хотя в рассмотренных здесь простейших случаях порядок аппроксимации производных совпадает с порядком точности решения соответствующей разностной задачи, в общем случае это может быть не так. Ясно, что порядок точности разностной схемы не может превосходить порядка аппроксимации. Для того, чтобы точность решения разностной задачи совпала с порядком аппроксимации исходной задачи, необходимо требование устойчивости вычислительного алгоритма. [c.231]

Дадим определение устойчивости разностной схемы. Разностную схему (7.12) будем называть устойчивой, если существуют такие Ло > О и б > О, что при h < Нд и всяком удовлетворяющем е< ) < б, разностная задача [c.231]

Если разностная схема (7.12) аппроксимирует задачу (7.11) с порядком k и является устойчивой, то решение ы ) разностной задачи сходится к точному [и]д, причем имеет место оценка [c.232]

Теория разностных схем в основном развита для линейных задач и опирается, как отмечалось ранее, на три основных понятия аппроксимацию исходных дифференциальных уравнений, устойчивость вычислительного процесса, сходимость численного метода к решению. Для нелинейных задач теория, как правило, не развита исследование устойчивости в этих случаях сопряжено с большими трудностями и проводится обычно на линейных аналогах конкретной задачи. Например, при исследовании устойчивости задач газовой динамики часто рассматриваются уравнения в акустическом приближении. [c.232]

Система разностных уравнений (7.55), (7.57) устойчива к малым возмущениям правой части уравнения и граничных условий, что обеспечивает вместе с аппроксимацией сходимость разностной схемы, т. е. [c.249]

Остановимся на вопросе об устойчивости построенной разностной схемы. Очевидно, что условие Куранта автоматически выполняется, но оно для полученной схемы является только условием необходимым. Полное исследование устойчивости в двумерной осесимметричной задаче проведено в [23]. [c.654]

Сходимость и устойчивость разностных схем [c.83]

Понятие устойчивости. Разностная схема называется сходящейся, если при /г- -О сеточное решение стремится к точному Uh- u. Если U—Uh=0(hp), то порядок сходимости равен р. Схемы, обладающие свойством аппроксимации, могут быть ие-сходящимися. Приведем пример такой схемы. Для уравнения [c.83]

Полученная таким способом линейная сеточная краевая задача с постоянными коэффициентами обычно не допускает еще строгого исследования, поэтому производят дальнейшие упрощения, которые приводят к редуцированным краевым задачам, учитывающим лишь некоторые из краевых условий. Далее будем рассматривать простейшую из них — задачу Коши. Таким образом, в вопросе исследования корректности разностной схемы мы ограничимся изучением устойчивости ее относительно возмущений начальных данных. Исследование, проведенное на уровне задачи Коши, позволяет отсеивать многие неустойчивые схемы. Окончательный вывод об устойчивости схемы можно сделать только после ее испытания. [c.85]

В данном пункте были рассмотрены разностные схемы для одномерных уравнений. Переход к нескольким пространственным переменным не представляет труда. В последующих главах там, где возникает необходимость, для исследования устойчивости многомерных систем будет применяться метод Фурье. [c.88]

T. e. 1 ,1 = и условие Неймана выполняется при любом т. Рассмотренные явные схемы для уравнения (3.1) или неустойчивы (схема правый уголок ), или условно устойчивы при выполнении неравенства т//г<1. Последнее обстоятельство связано с взаимной ориентацией характеристик уравнения (3.1) и шаблона разностной схемы. [c.90]

Если г=т//г>1, то точка В лежит вне отрезка АС. Изменим начальную функцию в точке В и ее окрестности левее А. При этом решение дифференциальной задачи в D изменится, а разностная схема не почувствует изменения начальных данных. Ясно, что сходимость не имеет места следовательно, схема неустойчива, поскольку из устойчивости (и аппроксимации) следует сходимость. Это общий принцип гиперболических уравнений [c.90]

В заключение этого параграфа изучим устойчивость четырехточечной неявной разностной схемы для уравнений акустики (3.25). Имеем [c.91]

Поясним еще раз понятие устойчивости. Ошибки при вычислении начальных и граничных условий и правых частей уравнений из-за погрешностей округления и других причин можно рассматривать как возмуш,ения начальных и граничных условий и правых частей уравнений. Очевидно, что разностная краевая задача (или задача с начальными данными) корректна и устойчива, если решение разностной краевой задачи незначительно изменяется при малом изменении начальных и граничных условий и правых частей, связанном со случайными погрешностями. В противном случае разностная краевая задача неустойчива. Важно отметить, что для неустойчивых разностных схем измельчение сетки не приводит к устойчивости, поскольку любые малые возмущения решения со временем неограниченно возрастают. [c.92]

Если границей является свободная поверхность с заданным р, имеем =P/ j aj(p—р/). Выбор и определение коэффициентов, знаков и индексов в этой формуле аналогичны (6.59). Для устойчивости счета по изложенной разностной схеме шаг т должен выбираться из условия, чтобы все волны, возникающие в результате взаимодействия потоков, внутри каждой ячейки достигали ее правой границы при л =л о + т. [c.174]

Разностная схема устойчива, если существует постоянная К>0, не зависящая от шагов сетки /гит (при достаточно малых зпачо-пиях h и х) и от выбора ф, ф и такая, что имеет место неравенство [c.105]

Порядок проведения численной проце,цуры, связанный с правилом перебора ячеек рассматриваемой области, подробно описан в работе. Там е, на примере модельного уравнения проведен анализ устойчивости дву Сло,.ного по времени неявного разностного оператора. Следует отметить, что применение трехслойной по времени неявной разностной схемы (9) по сравнению с двухслойной позволило увеличить допустимый шаг по времени Г в 2 раза. При этом величина г практически не зависала от способа аппроксимации плотностей Т. [c.28]

В теории разностных схем доказывается теорема если разно-ч тная схема аппроксимирует дифференциальные уравнения и она устойчива, то при уменьшении шагов ее разностное решение сходится к решению дифференциальных уравнений. Обладание свойством сходимости является обязательным требованием, предъявляемым к разностной схеме при численном решении дифференциальной задачи. Если сходимость имеет место, то с помощью разностной схемы можно вычислить решение и с любой наперед заданной точностью, выбирая для этого шаг к достаточно малым. [c.272]

Кроме требований аппроксимации, устойчивости и сходимости к разностным схемам, предъявляется ряд других не обязательных требований. Таково, в частности, требование консервативности разностной схемы. Разностная схема должна отражать основные свойства непрерывной среды, и поэтому желательно, чтобы в схеме выполнялись разностные аналоги основных законов сохранения. Разностные схемы, обладающие этим свойством, называются консервативньши. С этой целью разностные уравнения строятся на основе интегральных соотношений, выражающих законы сохранения для элементарной ячейки сетки. С другой стороны, если исходные дифференциальные уравнения записаны в дивергентном виде, то соответствующую разностную схему нетрудно сделать консервативной. [c.272]

Поскольку ограничение на шаг й., получено для линеаризованной системы уравнений, то в случае онисанной разностной схемы для системы уравнений (7) значения Ах1 и уменьшаются путем умножения на некоторый коэффициент е < 1, обычно называемый коэффициентом запаса устойчивости. [c.286]

Численная аппроксимация второй производной d Zldrf, входящая в (5.38), введена для обеспечения устойчивости разностной схемы а и р — весовые коэффициенты, a-t-p=l, , Р>0, а>р. Коэффициенты системы (5.37) рассчитывают по формулам [c.141]

Ниже кратко изложены некоторые аспекты устойчивости данной разностной схемы без ее детального математического обоснования. Для устойчивости схемы требуется, чтобы была устойчива как прогонка, так и итерационный процесс. Условие устойчивости прогонки для получаемой в результате преобразования дифференциальной задачи к разностной системе нелинейных алгебраических уравнений совпадает с условием хорошей обусловленности системы алгебраических уравнений для определения Zm на лучах т] = onst. Последнее условие, в свою очередь, определяется знаками собственных значений матрицы А, среди которых должны быть как отрицательные, так и положительные. Число различных но знаку собственных значений связано с направлением характеристического конуса и согласуется с количеством граничных условий при g=0 и =1. В практических расчетах из-за сильного изменения направления потока в расчетной области условие хорошей обусловленности может нарушаться, что при1юдит к неустойчивости или разбалтыванию разностного решения. В этом случае для стабилизации четырехточечной схемы приходится, например, сдвигать систему координат таким образом, чтобы собственные значения не изменяли знаков. [c.141]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...