Линейные уравнения для слабых возмущений

Линейные уравнения для слабых возмущений. В системе координат, связанной с невозмущенной средой, параметры которой [c.9]

Разложение в ряд при слабом возмущении стационарного течения. Часто нестационарное течение в пограничном слое является результатом наложения на стационарное течение слабых нестационарных возмущений. При условии, что эти возмущения малы па сравнению со стационарным основным течением, можно разбить уравнение нестационарного пограничного слоя на нелинейное уравнение для стационарного течения и линейное уравнение для нестационарного возмущенного движения. Известным примером является течение в пограничном слое, возникающее при внешнем течении вида [c.383]

Неочевидной представляется попытка применения основных идей конструирования степенных характеристических рядов для представления решений сильно нелинейных вырождающихся параболических уравнений, каким является уравнение Лейбензона [8]. Хотя для таких уравнений типичной является ситуация [9], когда фронт возмущения, порожденного каким-либо заданным краевым режимом, движется по области нулевого фона (нулевого давления для уравнения Лейбензона) с конечной скоростью, как и для гиперболического случая, тем не менее возможность применения степенных рядов для описания решения в возмущенной зоне является нетривиальной, т.к. параболические уравнения не являются уравнениями типа Коши-Ковалевской. Для линейного уравнения теплопроводности, например, ряды Тэйлора, как правило, расходятся. В отличие от гиперболических систем, для которых характерна независимость скорости движения поверхности слабого разрыва по заданному фону от вида краевого режима, для вырождающихся параболических уравнений скорость движения фронта возмущения целиком определяется заданным краевым режимом и может быть найдена только в процессе определения возмущенного решения. Тем не менее оказалось, что степенные ряды, особенно в специальном пространстве переменных (аналог временного годографа), позволяют эффективно строить поля давления в задаче о нестационарной фильтрации газа и находить закон движения фронта фильтрации в зависимости от краевого режима. [c.282]

Рассмотрим упрощенную систему уравнений, описывающих распространение в среде слабых возмущений. Для таких движений можно ограничиться первыми членами разложения выражений (4.32) и (4.39), т. е. принять, что плотности твердой фазы и жидкости изменяются по линейному закону [c.41]

Изложенный выше метод характеристик для сверхзвукового осесимметричного обтекания острых тел вращения может быть перенесен на случай несимметричных течений вокруг тела с малым углом атаки, при этом за основное течение берется осесимметричное течение около тела вращения и накладывается на него слабое возмущенное движение газа, соответствующее малому углу атаки. Учитывая для этого дополнительного течения только линейные члены, мы получаем для его определения линейные дифференциальные уравнения. [c.394]

В четвертом порядке теории возмущения (5.2.7) будет определять вторые и четвертые моменты поля с учетом двухфотонных эффектов— нелинейного поглощения падающего поля и спонтанного излучения пар фотонов. С другой стороны, формула (5.3.23) позволяет выразить вероятность двухфотонных переходов через собственные частоты и моменты переходов молекул. Мы здесь выберем третий метод описания — феноменологический, который позволит нам обобщить закон Кирхгофа на слабо нелинейные среды в двухуровневом приближении. Метод основан на подстановке в двухуровневое кинетическое уравнение ( 4.5) эффективного гамильтониана взаимодействия, учитывающего только интересующий нас элементарный двухфотонный процесс. Из полученного кинетического уравнения для произвольной наблюдаемой поля / мы найдем в первом порядке приращение Д , получаемое в результате взаимодействия с веществом. Выбирая затем в качестве / первые, вторые и четвертые моменты, мы выразим приращения этих моментов через коэффициенты кинетического уравнения. В результате мы получим приближенный ОЗК, выражающий вероятность двухфотонного излучения через кубическую МР. Из полученных соотношений следует заранее очевидный вывод об одновременности излучения фотонов в парах (в отличие от ТИ линейного приближения). Далее, двухфотонный ОЗК будет использован для оценки скорости совпадений по коэффициенту двухфотонного поглощения. Наконец, мы найдем связь между третьим моментом ТИ и квадратичной МР. [c.164]

При использовании линейной теории для любого типа волн подразумевается, что возмущения настолько слабы, что в уравнениях движения их можно рассматривать как малые величины, произведениями которых можно пренебречь. Такие произведения малых величии входят, например, в известное выражение для ускорения элемента жидкости [c.13]

Таким образом, излагаемый метод, предложенный Л. Прандтлем, основывается на предположении, что отклонение скорости возмущенного течения от скорости невозмущенного потока = настолько мало, что степенями указанного отклонения выше первой можно пренебречь. Уравнение для потенциала скорости (3-19) в отличие от (3-7) является линейным дифференциальным уравнением, поэтому метод малых возмущений вызывается также методом линеаризации. Рассматриваемый метод может дать удовлетворительные результаты при расчете обтекания тонких слабо изогнутых профилей, расположенных под небольшими углами к направлению скорости невозмущенного течения, а также при исследовании потока в каналах с малой кривизной ограничивающих стенок. Отметим, что вблизи точек разветвления потока (критические точки на поверхности обтекаемого тела) основное допущение метода не оправдывается, так как в этих областях поток тормозится и величина изменения скорости соизмерима со скоростью на бесконечности. [c.82]

Идея получения упрош,енных уравнений заключается в том, что возмущения, распространяюш,иеся с суш,ественно различаю-Ш.ИМИСЯ скоростями, в случае волн малой амплитуды слабо взаимодействуют между собой. Это позволяет в качестве искомых функций выбрать инварианты Римана линейного приближения и рассматривать ситуации, когда определяюш,ую роль играют только некоторые из них. Остальные инварианты Римана предполагаются малыми и для них строятся приближенные решения. [c.298]

Глава 1 содержит обозначения, определения и действия над асимптотическими разложениями. Источники неравномерности в разложениях возмущения классифицированы и рассмотрены в главе 2. Глава 3 посвящена методу координатных преобразований, в котором равномерность достигается путем разложения как зависимой, так и независимой переменных в ряды по новым независимым параметрам. В главе 4 описываются метод сращивания асимптотических разложений и метод составных асимптотических разложений. Первый метод позволяет выразить решение с помощью нескольких разложений, пригодных в различных областях и согласованных между собой с помощью процедуры сращивания второй метод представляет решение в виде единственного всюду пригодного разложения. В главе 5 для исследования медленных изменений амплитуд и фаз слабо нелинейных волн и колебаний используются понятия быстрых и медленных переменных в сочетании с методом вариации произвольных постоянных. Методы глав 3, 4 и 5 обобщены в главе 6 и объединены в одну из трех разновидностей метода многих масштабов. В главе 7 рассмотрены существующие методы построения асимптотических решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. [c.8]

Результаты расчетов для достаточно слабых импульсных возмущений < Ро, = Рт-Ро Рт- максимальное значение давления в волне), полученных на основе конечно-разностных уравнений, совпадают с решениями, следующими из линейной теории, изложенной в разд. 2. По мере нарастания исходной амплитуды можно наблюдать некоторые количественные и качественные особенности проявления нелинейных эффектов. [c.140]

Случай слабого испарения рассчитывался как по полным нелинейным уравнениям, так и по линеаризованным. Получено, что при е = 0.01, g = 5 результаты расчетов по линейным и нелинейным уравнениям с приемлемой точностью совпадают. В то же время для е = 0.1 имеет место различие в результатах. Слабое испарение представляет фиг. 5, где дано распределение скорости потока м/е для Г,,, = 1.01, <2 = 5, л, = 1.04, а = 1 при t = 5. Фронт возмущения распространяется со звуковой скоростью. При а = 1 и 0.5 за фронтом волны располагается зона равномерного потока, граничащая с пристеночным кнудсеновским слоем. Структура контактного разрыва не выделяется. В то же время для малых а зоны равномерного потока нет, течение нестационарно. При а = 0.1 течение уже становится похожим на течение при чистой теплоотдаче от стенки (а = 0), но скорость потока усилена вдувом пара от стенки. [c.151]

В дальнейшем Дж. Пирсон (1959) выполнил некоторые расчеты, которые в принципе могли бы послужить для более аккуратного обоснования рассуждений Таунсенда, но неожиданно привели к результатам, поставившим под сомнение весь подход, опирающийся на уравнения (22.59). А именно, Пирсон рассмотрел общее решение задачи с начальными значениями для уравнений (22.59) и исследовал асимптотическое поведение этого решения при ->оо. При этом оказалось, что = 0,0 -> оо при ->оо. т. е. что в рассматриваемом приближении средняя завихренность, несмотря на действие вязкости, неограниченно возрастает со временем (упрощенный вывод последнего результата можно найти у Сафмена (1963)). Отсюда вытекает, что при наличии постоянного линейного поля скорости слабые возмущения. вообще говоря, будут неустойчивыми (т. е. в линейном приближении будут экспоненциально возрастать) и не будут стремиться ни к какому стационарному режиму, определяемому линеаризованными уравнениями. [c.393]

Слабо возмущенное течение (линейная теория, 0<Кп-<оо), Рассмотрим теперь течение Куэтта при произвольном числе Кнудсена, но при малых относительных скоростях пластинок и малых отношениях температур пластинок При этих предположениях задача линеаризируется. Однако даже для линеаризированного уравнения Больцмана задача оказывается сложной. Поэтому прежде всего рассмотрим задачу с помош,ью модельного уравнения. Можно надеяться. [c.258]

Рассмотрим аналогично 1 и 2 гл. 4 характеристики дифференциальных уравнений и линейное приближение для описания распространения слабых возмущений в однородной (когда внешние массовые силы иесуществеппы, а в невозмущенном состоянии все параметры смеси не зависят от координаты х) монодисперсной смеси малосжимаемой жидкости с пузырьками газа, используя односкоростную схему с политропическим газом и эффективной вязкостью для учета всех возможных диссипа-тивиых эффектов. [c.8]

Уравнение (9.13) показывает, что слабо возмущенные невырожденные зоны отталкивают друг друга каждый уровень к к, лежащий ниже к к1, дает вклад в (9.13), повышающий величину а каждый уровень, расположенный выше к кц дает вклад, понижающий эту энергию. Однако наиболее важный качественный вывод, вытекающий из этого анализа для случая, когда приблизительное вырождение отсутствует, заключается в том, что сдвиг энергии по сравнению со значением для свободных электронов имеет второй порядок по и. При наличии приблизительного вырождения (как мы сейчас увидим) такой сдвиг энергии может быть линейным по П. Следовательно, в основном порядке по слабому периодическому потенциалу значительный сдвиг испытывают лишь почти вырожденные уровни свободных электронов. Поэтому главное внимание необходимо уделить именно этому важному случаю. [c.160]

В ряде случаев бывает полезен другой вариант спектрального метода, в котором в качестве базиса используются собственные функции оператора, в некотором смысле близкого к данному (например, в качестве такого оператора может быть использована самосопряженная часть рассматриваемого несамосопряжен-ного оператора, отвечающая той же электродинамической задаче, но без учета потерь). При этом для Ьк дз) и Ск уже не получается явных выражений дифференциальные уравнения для Ьк(дз) оказываются связанными, а для Ск получается система линейных -алгебраических уравнений. В дальнейшем мы остановимся на этих вопросах более подробно. Сейчас отметим только, что многие практически интересные задачи электродинамики систем с потерями порождают несамосопряженные операторы, которые являются слабыми возмущениями самосопряженных операторов. По своим спектральным свойствам они весьма близки к самосопряженным операторам. Специфика несамосопряженных задач проявляется в них не в полной мере или не проявляется вовсе. Поэтому для них при наличии достаточ.чо строгого обоснования могут быть использованы обычные схемы решения. [c.30]

Если же начальное возмущение не локализовано в пространстве, а, например, периодическое, характер его эволюции будет совершенно иной — нарастающие в результате модуляционной неустойчивости синусоидальные волны модуляции будут нелинейным образом искажаться на периоде волны образуются одни или несколько солитонов, но затем солитоны сглаживаются, и волна вновь приходит в начальное состояние, потом все повторяется и т. д. Явление возвращаемости наблюдалось экспериментально и для обсуждаемого нами примера — гравитационных волн на глубокой воде [11, 17, 45]. Соответствующие численные результаты представлены на рис. 20.3 [11, 18, 19, 45]. На рис. 20.4 показаны результаты физических экспериментов с нелинейными ЬС-цепочками, которые приближенно описываются уравнениями типа КдВ с кубичной нелинейностью. При синусоидальном возбуждении цепочки на границе наблюдалась почти полная возвращаемость вдоль цепочки синусоида трансформировалась в периодическую последовательность солитонов, т. е. возбуждалось большое число осцилляторов-гармоник, затем солитоны вновь превращались в синусоиду — все гармоники возвращали энергию первой гармонике. Впервые этот эффект в численном эксперименте наблюдали Ферми, Паста и Улам [20]. Они пытались подтвердить гипотезу о том, что в системах с очень большим числом степеней свободы наличия даже слабой нелинейности достаточно, чтобы энергия, запасенная в отдельных степенях свободы (модах), равнораспределилась по всем модам (перемешивание) и таким образом установилось бы термодинамическое равновесие (тер-мализация). Ферми, Паста и Улам экспериментировали с моделями нелинейных линейных цепочек из большого числа частиц и термализации [c.420]

До сих пор мы интересовались решениями AS уравнения (5.10.9), которые имеют слабые разрывы. Основное свойство> таких решений — это свойство всех разрывных решений линейной гиперболической системы уравнений разрывы в AS переносятся вдоль определенных поверхностей в пространстве, называемых волновыми фронтами которые, двигаясь с конечной скоростью, заметают в пространстве-времени характеристи-неские поверхности этой системы уравнений. Скорости распространения в олн и разрывов, переносимых волновыми фронтами, определяются из уравнений характеристик для данной системы. Пусть характеристическая кривая (для одномерного движения) описывается уравнением h x, t)=Q. Также пусть x = S t)—положение разрыва в момент t. Тогда h Se t) t) = 0. Дифференцируя это соотношение по t, получаем dxh dth = О, где с = dSefdt — скорость движения разрыва. Следовательно, характеристическая скорость, или скорость распространения возмущений, определяется формулой [c.296]

В самом деле, попробуем, следуя Новикову (1961а), проследить за судьбой слабого вихревого возмущения правильной синусоидальной формы, наложенного на линейное поле скорости, не меняющееся в системе координат, вращающейся вместе с жидкой частицей. Для этого надо рассмотреть решение уравнений (22.59), отвечающее начальному условию [c.394]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...