Решение задачи методом Бубнова—Галеркина

Решение задачи методом Бубнова—Галеркина [c.208]

Пример решения задачи методом Бубнова — Галеркина [c.174]

Для решения системы уравнений (15.10), (15.11) можно воспользоваться методом Бубнова — Галеркина, который приводит задачу к решению системы однородных алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов Атп, бтп- Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов этой системы, находим условие для определения бифуркационных значений параметра нагрузки N. Иногда это условие можно получить непосредственной подстановкой выражений (15.13), (15.14) в уравнения бифуркации (15.10), (15.11). [c.326]

Опишем кратко алгоритм решения задачи (5.1) —(5.2) с использованием метода конечных элементов. (Заметим, что этот способ был известен до изобретения метода конечных элементов под названием метода Бубнова — Галеркина метод конечных элементов дал лишь способ построения базисных функций, удобных для реализации метода на ЭВМ.) Итак, пусть xpi, фд —базис, построенный одним из описанных выше способов функции фь. ... .., Флг зависят только от пространственных координат. Будем искать приближенное решение задачи (5.1) —(5.2) в виде линейной комбинации функций pi,. .., фд. с коэффициентами, являющимися функциями времени [c.213]

Эти методы можно разделить па две группы. Первая составляет методы приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений, к которым сводятся те или иные задачи прикладной теории упругости. Из числа этих методов прежде всего рассмотрим метод конечных разностей (МКР) и особенности его применения в плоской задаче и в задачах изгиба пластин. Далее излагаются метод Бубнова — Галеркина и метод Канторовича — Власова. [c.228]

И. Г. Бубнов (1872—1919) впервые в 1913 г. изложил новый приближенный метод интегрирования дифференциальных уравнений теории упругости, который широко применялся затем Б. Г. Галеркиным (1871—1945) для решения ряда задач теории упругости. Метод Бубнова—Галеркина, как общий приближенный метод интегрирования дифференциальных уравнений, не связан, вообще говоря, с каким-либо вариационным принципом. [c.109]

Рассмотрим решение задачи для пологой оболочки методом Бубнова—Галеркина в форме, разработанной для оболочек В. 3. Власовым. [c.252]

Решить ту же задачу по методу Бубнова—Галеркина. Сравнить результаты с точным решением, а также с решением по методу последовательных приближений, если исходные кривые определяются теми же уравнениями. [c.203]

Рассмотрим на примерах решения задач изгиба жестких пластин существо метода Канторовича — Власова и его отличие от метода Бубнова— Галеркина. [c.202]

Авторы справочника [124] отмечают, что к настоящему времени насчитывается свыше 50 приближенных методов решения уравнения (23.5), которые можно разделить на три группы аппроксимации, конечных разностей и интегральные. Методы аппроксимации основаны на замене непрерывной неоднородности участками с постоянными параметрами упругости или с законами г), для которых известны точные решения. Наиболее употребителен при таком подходе способ, основанный на идее метода начальных параметров. Метод конечных разностей может применяться, очевидно, в любой трактовке с использованием различных приемов уточнения решения. В ряде работ задача сводится к интегральному уравнению, которое решается методом последовательных приближений. При использовании ЭЦВМ эффективное решение можно получить методом Рунге—Кутта, сведя предварительно краевую задачу (23.3), (23.5) к задаче Коши, При граничных условиях (23.3) легко построить решение методом Бубнова—Галеркина, приняв функцию X в виде [c.115]

Чтобы решить нестационарное уравнение ФПК (4.97), воспользуемся известным приближенным вариационным методом Бубнова—Галеркина [54]. Решение по методу Бубнова—Галер-кина ищем в форме ряда по функциям с неопределенными коэффициентами, удовлетворяющими граничным условиям задачи и некоторому вариационному уравнению. [c.193]

В 1913 г. Бубнов разработал новый метод решения уравнений [44, с. 136—139], известный в литературе как метод Бубнова — Галеркина [46, с. 58—61], использованный им для решения ряда задач строительной механики и прежде всего для определения напряжений и прогибов для гибкой прямоугольной пластинки, имеющей удлиненную форму и изгибающейся по цилиндрической поверхности, т. е. для элемента, характерного для набора днища надводных военных судов и корпусов подводных лодок. Служащие для практических расчетов таких пластин вспомогательные функции были Бубновым табулированы [46, с. 388]. [c.414]

Следуя методу Бубнова-Галеркина [3,4j, решение задачи (7), (8) ищем в виде [c.196]

Выбор функции прогибов W (х, у) в виде конечного ряда (б) предполагает приближенное решение задачи. В общем случае функция (б) не будет удовлетворять уравнению (8.15). Поэтому для определения функций Wk (у) воспользуемся вариационным методом Бубнова— Галеркина. Вариационное уравнение (9.7) для решаемой задачи при расположении осей, согласно рис. 54, можно записать в такой форме [c.159]

Метод Власова—Канторовича. Данный метод состоит в частичном применении метода Бубнова—Галеркина (по одной или двум координатам), в результате чего задача сводится к решению ряда одномерных краевых задач на собственные значения. [c.185]

Многие из приближенных методов (см. гл. X) могут быть распространены на задачи о вынужденных колебаниях. Так, при применении вариационного метода Бубнова—Галеркина приближенное решение уравнения (3) ищется в виде ряда [c.237]

Метод нормальных координат. Решение ищу г в виде ряда (2), где (р (х) — собственные формы соответствующей консервативной системы или, в более общем случае, некоторые функции, удовлетворяющие граничным условиям для и (х, t) и обладающие в некотором смысле полнотой. Уравнения относительно обобщенных координат Qh (t) могут быть получены, например, методом Бубнова—Галеркина. Если функция U (х, t) аппроксимируется конечным числом членов ряда, то приходим к задаче об устойчивости некоторой неконсервативной системы с конечным числом степеней свободы. Дальнейший анализ проводят,пользуясь методами из гл. V. [c.243]

Для краевых задач некоторых типов не существует функционала, из условия стационарности которого определяется решение. В этом случае конечно-элементные соотношения могут быть получены в результате приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, рассматриваемой краевой задачи с помощью метода Бубнова - Галеркина, метода наименьших квадратов, метода невязок (первые два метода являются частным случаем последнего). [c.65]

Для решения рассматриваемой задачи воспользуемся методом Бубнова-Галеркина. В результате получим [c.92]

Приведем также более точное решение задачи с помощью метода Бубнова-Галеркина для системы уравнений (1.13), (1-14), представленной в виде [c.95]

Решение этой краевой задачи может быть проведено, например методом Бубнова—Галеркина. [c.265]

Успех метода Галеркина и его вариантов связан с удачным выбором полной систе мы функций ifk и применением достаточно точного (при больших N) способа решения уравнений (11). Широкое применение метода Бубнова — Галеркина еще в начале нашего века без использования каких-либо счетных машин при небольших N 2 3 для решения задач в относительно простых областях, в частности на основе уравнения Пуассона, было обусловлено как раз хорошим выбором базисных функций (fi и явным аналитическим способом решения (11). Дальнейшее развитие этих методов сдерживалось как трудностя ми построения полных систем базисных функций для сложных областей, так и большими трудностями решения систем (11) уже при N Б из-за очень плохой обусловленности матриц этих систем, которые усугубляются при приближенном расчете интегралов в (11), являющихся элементами этих матриц. Если первую трудность можно снять, используя, например, аппарат 1 функций [17], с помощью которого достаточно легко можно строить полные системы базисных функций (хотя и достаточно сложных) для многомерных обла стей с кусочно-гладкими аналитическими границами, то преодолеть вторую трудность значительно сложнее. Ряд рекомендаций по этому поводу дан в [18]. [c.21]

В седьмой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. Разработан и апробирован алгоритм численного решения таких задач, основанный на идее инвариантного погружения, в котором проблема интегрирования первоначальной краевой задачи редуцируется к решению задачи Коши для жестких матричных дифференциальных уравнений. Приведенные тестовые примеры позволяют сделать вывод об эффективности метода. Показано, что сочетание метода Бубнова — Галеркина с обобщенной формой метода инвариантного погружения дает эффективный инструмент численного исследования устойчивости и свободных колебаний слоистых композитных оболочек вращения. Разработан метод численного определения матрицы Грина краевой задачи и на примере проблемы выпучивания длинной панели по цилиндрической поверхности показана его эффективность в задачах устойчивости оболочек вращения. Метод решения нелинейных краевых задач, объединяющий в себе итерационный процесс Ньютона с методом инвариантного погружения, рассмотрен в параграфах 7.4, 7.5. [c.14]

Прямоугольная пластинка, шарнирно-опирающаяся по контуру, нагружена распределенной по всей площади нагрузкой постоянной интенсивности р = onst (рис. 63). Определить максимальный прогиб и наибольшие нормальные напряжения, применив для решения задачи метод Бубнова — Галеркина, приняв в качестве варьи- [c.137]

При составлении уравнений в методе Бубнова—Галеркина никакие связи с вариационными задачами вообще говоря не используются, поэтому этот метод является универсальным. Он может быть применен к уравнениям в частных производных различных типов эллиптическим, гиперболическим, параболическим.Однако для вариационных задач метод Бубнова—Галеркина находится в тесном взаимоотношении с методом Ритца, а в ряде случаев эквивалентен последнему в том смысле, что приводит к тому же приближенному решению, но с помощью более простых выкладок. [c.118]

Вопросы, связанные с исследованием нестационарных процессов деформирования неоднородных конструкций, материалы которых проявляют реологические свойства, пока мало изучены. Здесь можно отметить несколько работ, посвященных решению некоторых частных задач. Гровер и Капур (A.S. Grover, A.D. Kapur) [388, 389] исследовали нестационарный отклик трехслойной прямоугольной пластины, подверженной воздействию импульсной нагрузки в форме полуволны синуса. Свойства вязкоупругого заполнителя учтены посредством использования механической модели, состоящей из двух упругих и двух вязких элементов. Авторами статьи [469] рассмотрено динамическое поведение симметричной трехслойной оболочки, состоящей из композитных несущих слоев и вязкоупругого заполнителя. Предусмотрена возможность воздействия на оболочку случайного равномерного давления или случайной сосредоточенной нагрузки. Решение получено методом Бубнова-Галеркина. [c.17]

Для решения системы (5.199) применим метод копечных элементов в обычной форме, описанной в главах 3 — 4 более эффективным оказывается метод конечных элементов, когда решение задачи разбивается на два этапа на первом строятся собственные формы колебаний соответствующего упругого тела, на втором построенные собственные формы применяются в качестве базисных функций метода Бубнова —Галеркина. [c.261]

Среди прямых методов решения вариационных задач наиболее широкое применение получили метод Ритца, метод Канторовича н метод Бубнова—Галеркина — метод приближенного решения диффе- [c.97]

В рассмотренных нами примерах решения задачи методами Ритца и Бубнова — Галеркина используются одни и те же аппроксимирующие функции прогиба, причем эти функ- [c.200]

В большинстве случаев исполь,зование метода Бубнова — Галеркина при решении такого рода задач приводит к менее громоздким выкладкам, чем применение метода Ритца. Однако следует помнить, что в случае применения метода Бубнова — Галеркина в той форме, которая была нами рассмотрена, функция т обязателыто доляата удовлетворять как геометрическим, так и статическим граничным условиям. [c.201]

Уравнения (17.343) — это уравнения метода Бубнова — Галер-кина. На самом деле используется не бесконечное число членов в сумме, а ограниченное количество (п) этих членов тогда формула (17.343) дает систему конечного порядка и рещение методом Бубнова — Галеркина является приближенным, дающим верхнюю оценку для искомой величины. Если решается задача о свободных колебаниях, то / = 0 и система уравнений (17.343) относительно коэффициентов а, однородна, вследствие чего ее определитель для получения нетривиального (ненулевого) реще-ния должен быть равен нулю. Составленное таким образом условие нетривиальности решения системы (17.343) представляет собой частотное уравнение, корнями которого являются собственные частоты. Собственные векторы матрицы системы (17.343) определяют собой формы свободных колебаний ). [c.243]

Решение системы (10.47) представляет большие трудности, поэтому целесообразно применять вариационные методы решения метод Бубнова—Галеркина или метод Ритца—Тимошенко. Рассмотрим решение задачи для пологой оболочки методом Бубнова—Галеркина в форме, разработанной для оболочек В. 3. Власовым. [c.214]

Представленный нелинейш,ш гидродинамический процесс является многопараметрическим, и его численному моделированию должен предшествовать подробный качественный анализ, который и составляет предмет данного исследования. Это тем более оправдано, что практика численных расчетов разрывных течений доставляет, как известно, осциллирующие решения, которые нуждаются в однозначной физической интерпретации. А именно требуется обнаружить существенные черты исходной задачи, являющиеся причинами нелинейных колебаний в гидродинамической системе. Для исследования краевой задачи (3.6)-(3.14) применяем подход, связанный с приближенным описанием течения с помощью конечномерных динамических систем. Воспользуемся методом Бубнова-Галеркина [112], который приводит исходную задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для существенных степеней свободы. Это дает возможность изучрггь бифуркационные ситуации и установить пороги возникновения автоколебаний. [c.88]

Для исследования краевой задачи (3.48)-(3.53) применяем подход, основанный на методе Бубнова-Галеркина и связанный с приближенным описанием течения с помоп1ЬЮ конечномерных динамических систем. При построении галеркинской аппроксимации уравнений гидродинамики основным является вопрос о том, сколько базисных функций учитывать в разложении. Единственным критерием правильности конечномерного описания является сравнение его с точным решением (если оно известно), либо с экспериментом. Имеющийся опыт применения разложений Галеркина низшего порядка (см. п. 3.1.2) показал их эффективность при качественном исследовании весьма сложных неоднородных нелинейных термохимических и гидродинамических систем для тех ситуаций, когда ясно, какую картину течения мы хотим описать. [c.108]

На рио. 24 изображены годографы скорости частицы, полученные в результате решения задачи на электронной моделирующей установке, причем виден процесс установления устойчивого движения, котхэрому соответствуют замкнутые кривые. Отклонение этих кривых от эллипсов увеличивается с уменьшением параметра п = Ыа. Решение (75) получено Цзя Шу Хучем путем использования метода Бубнова — Галеркина им же получены кривые на рис. 24 (см [6], где приведен более детальный анализ задачи.) [c.46]

Эта задача может быть решена по схеме, описанной в п. 2 данной главы. Для других случаев краевых условий необходимо использовать приближенные или численные методы. Г ри решении задачи методом Релея, Ритца, Бубнова—Галеркина и др. в качестве аппроксимирующих могут быть использованы балочные функции (см. гл. X). [c.229]

Метод Бубнова—Галеркина такн<е относигся к прямым методам, он получил широкое распространение п применяется для получения приближенных решений линейных и нелинейных задач. [c.117]

Метод Бубнова—Галеркина для задач нелинейных колебаний можно представить как прямой метод построения приближенного решения, удовлетворяющего соответствующему дифференциальному уравнению в среднем за цикл колебаний [83]. Действительно, уравнения метода Бубнова—Галеркина вида (182) могут быть получены на основе принципа возможных перемещений [68]. Если считать независимую переменную х временем, выражение (181) для у принять за приближенное выражение установившегося процесса вынужденных колебаний, в котором (х) — координатные функции времени, а,- — параметры, обеспечивающие наилучшее приближение для у , а также положить х = х + г, vrzx — период внешней возмущающей силы, то уравнения (182) допускают простую механическую интерпретацию. Учитывая, что возможные виртуальные перемещения, соответствующие координатным функциям, Ьy = baiWi x), заключаем, что уравнения (182) для определения параметров [c.118]

Этот метод получил в последние годы исключительно широкое использование для приближенного решения краевых задач механики сгшошных сред. Из него как частный случай следуют многие другие известные приближенные методы метод Бубнова - Галеркина, обобщенный метод Бубнова - Галеркина, метод коллока-ций. Он служит основой для построения многих современных формулировок методов конечных и граничных элементов. Хотя метод и не относится к числу вариационных, но и он для рассматриваемого в механике твердого деформируемого тела класса задач формально дотгускает энергетическую трактовку сути производимых при его использовании операций. [c.49]

Метод Бубнова-Галеркина, как и метод Ритца, позволяет получить приближенное решение задачи о собственных колебаниях оболочек. Согласно этому методу строится система координатных функций удовлетворяющая как кинематическим, так и динамическим 1раничным условиям, в виде [c.218]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...