Перпендикулярность прямой и плоскости и двух плоскостей

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ и ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ 15. Параллельность прямой и плоскости и двух плоскостей [c.61]

Перпендикулярность прямой и плоскости и двух плоскостей [c.66]

Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости, двух плоскостей и двух прямых [c.48]

ПОСТРОЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ И ДВУХ ПРЯМЫХ [c.48]

Изобразите схему и укажите последовательность решения задачи на построение точки пересечения прямой с плоскостью общего положения. 3. Как определяют видимость элементов геометрических образов относительно плоскостей проекций 4. Изобразите схему и укажите последовательность построения линии пересечения двух плоскостей. 5. Изобразите схему и приведите примеры построений прямых линий, параллельных и перпендикулярных плоскостям. 6. Сформулируйте условие параллельности и условие перпендикулярности двух плоскостей. 7. Сформулируйте условие перпендикулярности двух прямых общего положения. Изобразите схему. 8. Как определяются на чертеже расстояния от точки до проецирующей плоскости Плоскости общего положения 9. Как определяются на чертеже расстояния от точки до прямой частного и общего положения [c.28]

Построение двух перпендикулярных прямых общего положения выполняют с помощью плоскости, перпендикулярной к одной из них. Через точку пересечения прямой и перпендикулярной к ней плоскости проводят в плоскости любую прямую, которая и будет перпендикулярна к заданной прямой. [c.50]

Начнем с доказательства того, что существует бесконечно много таких систем, состоящих только из двух векторов, приложенных соответственно в точке О и в другой точке O j выбранной произвольно на заданной прямой а. Проведем через точку О плоскость т , перпендикулярную к вектору М и поэтому содержащую прямую а, которая предполагается перпендикулярной к этому вектору, и рассмотрим в плоскости два вектора —v и v, однозначно опреде- ляющиеся тем, что они должны быть приложены соответственно в точках О а О в нанравлении, перпендикулярном к а, и составлять пару с моментом М (гл. I, п. 47). Система, составленная из векторов И и —v, приложенных в О, и из вектора v, приложенного в О, имеет, очевидно, относительно О результирующий вектор И и результирующий момент Ж таким образом, если положим v = R — v, то система векторов v и v, приложенных соответственно в точках О и О, удовлетворяет поставленным условиям. [c.112]

Элемент шарнира имеет поверхность, состоящую из круглого цилиндра и двух плоскостей, перпендикулярных оси цилиндра. Число скалярных первичных ошибок элемента равно одиннадцати три смещения элемента по трём взаимно перпендикулярным направлениям, два поворота элемента вокруг двух прямых, перпендикулярных оси цилиндра, неточность величины радиуса цилиндра,неточность расстояния между плоскостями торцов, по два поворота каждой из двух плоскостей торцов вокруг двух прямых, перпендикулярных оси цилиндра. [c.97]

Пусть элемент поступательной пары состоит из четырёх взаимно перпендикулярных плоскостей. Число скалярных первичных ошибок элемента равно двенадцати. Если первичные ошибки элемента таковы, что перекосы плоскостей поверхности элемента можно рассматривать как перекосы одного целого, то число первичных ошибок элемента сократится до семи два смещения элемента по двум направлениям, перпендикулярным направлению поступательной пары, три поворота элемента вокруг трёх взаимно перпендикулярных прямых, и неточности двух расстояний между параллельными плоскостями поверхности элемента. [c.97]

Привязочная система контура или группы контуров. Совокупность объектов задается на плоскости положением привязочной системы, которая состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых / и 2 (рис. 25). Прямые 1 V. 2 рекомендуется выбирать таким образом, чтобы они совпадали с размерными базами, от которых проставлено наибольшее количество размеров. Если плоский контур участвует в образовании плоской фасонной поверхности вращения, фасонной линейчатой или конусной поверхности, прямая 2 совпадает с осью 0Z привязочной системы координат поверхности. Прямая I совпадает с осью 0Y для плоской, линейчатой и конической поверхностей и с осью ОХ для фасонной поверхности вращения. Это связано с тем, что ось ОХ направляется, как правило, в тело детали. [c.95]

Перспектива тел с криволинейной поверхностью. На рис. 611 показаны перспективные проекции прямого кругового конуса и двух прямых круговых цилиндров, ось одного из которых вертикальна, второго горизонтальна. Ортогональные проекции этих тел не приведены, однако по построениям, показанным на чертеже, ясно, как была выполнена перспектива. Оба цилиндра были заключены в прямоугольные параллелепипеды. Для горизонтального цилиндра были найдены точки схода его боковых ребер грани вертикального параллелепипеда приняты соответственно параллельными и перпендикулярными картинной плоскости, что позволило использовать главную точку и точку дальности в качестве точек схода ребер и диагоналей оснований. При построении перспективы конуса его основание было вписано в квадрат. Вторичная проекция Т1 вершины была найдена в пересечении перспектив диагоналей квадрата. Высота вершины, в равной мере как и высота точки Л, расположенной на боковом ребре параллелепипеда, в который вписан вертикальный цилиндр, отложена с помощью бокового масштаба. Очерковые образующие цилиндра касательны к основаниям, очерковые образующие конуса проходят через его вершину касательно к основанию. [c.423]

Пересечение криволинейных поиерхностей. Рассмотрим пересечение поверхностей двух прямых круговых цилиндров разных диаметров (рис. 186) с осями, скрещивающимися под прямым углом. Рассечем оба тела вспомогательной плоскостью Р, параллельной плоскости V. Найдем горизонтальную проекцию линий пересечения 1—к и 3—ki) этой плоскости с поверхностью горизонтального цилиндра и с помощью ее боковой проекции определим фронтальные проекции 1 —к и 3 —к[ этих линий. Линии пересечения секущей плоскости Р с вертикальным цилиндром проектируются на плоскость Н в точках к и t. На плоскости V их проекции перпендикулярны оси Ох. Отметим общие точки линий пересечения плоскости Р с поверхностями обоих цилиндров К, К, Т и Т. Точки и, R, N п другие определены таким же способом путем -сечения [c.128]

При вращении прямой Ь вокруг оси I образуется коническая поверхность вращения, заданная на чертеже двумя положениями образующей Ль 2 и осью г. Прямая а, не параллельная этой конической поверхности,. пересечет ее в двух точках. Допустим, что этим 1 точками будут М ц N. При вращении прямая а пересечет прямые Ьу н Ь2 в точках Ми и М2, N2, т. е. произвольная прямая меридиональной плоскости пересекает меридиан поверхности в двух точках. Это говорит о том, что меридиан поверхности — кривая второго порядка. Ось I меридиана не пересекает, но является для него осью симметрии. Это, в свою очередь, говорит о том, что меридиан — гипербола, а прямая / — ее мнимая ось. Мы показали, что в частном случае линейчатая поверхность с тремя скрещивающимися прямолинейными направляющими пересекается плоскостью, проходящей через ось поверхности, по гиперболе отсюда и произошло название этой поверхности — однополостный гиперболоид вращения . Плоскость, перпендикулярная к оси однополостного гиперболоида, рассекает его по эллипсу, в частном случае по окружности (при пересечении однополостного гиперболоида вращения). [c.68]

Декартова прямоугольная система координат. Две взаимно-перпендикулярные прямые ОХ и ОУ на плоскости (фиг. 151) называются координатными осями (ось ОХ — осью абсцисс, ось ОУ —осью ординат), точка О пересечения осей — н а-чалом координат. Если выбрать длину некоторого отрезка за единицу масштаба и положительное направление на оси ОХ—вправо от начала координат, а на оси ОУ— вверх, то положение любой точки М на плоскости может быть определено при помощи двух чисел X и у, соответственно выражающих расстояния от точки М до оси ординат и до оси абсцисс в выбранном масштабе. Запись М (X, у). [c.179]

Безразлично через какую точку пересечения двух первых плоскостей проходит третья следовательно, можно произвольно выбрать ее след на горизонтальной плоскости, лишь бы он был перпендикулярен Ef. Проведем произвольную прямую ОН перпендикулярно "/, пересекающую в точках Си// следы двух заданных плоскостей и в точке 1 прямую Ef, и примем ее за основание треугольника, который мы должны построить. Действительно, заметим, что для совмещения с горизонтальной плоскостью надо вращать плоскость этого треугольника вокруг своего основания ОН, как на шарнире в этом движении его вершина, сначала расположенная на пересечении обеих плоскостей, все время остается в вертикальной плоскости, проведенной через это пересечение, потому что эта вертикальная плоскость перпендикулярна С// после того как плоскость треугольника совместилась с горизонтальной плоскостью, его вершина будет лежать на одной из точек прямой Ef. Следовательно, остается Только найти высоту треугольника или величину перпендикуляра, опущенного из точки / на пересечение обеих плоскостей. [c.40]

Область в пространстве, ограниченная прямоугольным параллелепипедом, стороны сечения которого равны допускам перпендикулярности оси (прямой) в двух заданных взаимно перпендикулярных направлениях Г) и Гг, а боковые грани перпендикулярны к базовой плоскости и плоскостям заданных направлений. [c.120]

Решение. Представив себе пространственную картину (рис. 224, 6), можно видеть, что сфера касательна к двум плоскостям, составляющим двугранный угол с ребром АВ. Отсюда вытекает следующий план решения а) применяя способ перемены пл. пр., расположить дополнительную пл. Т перпендикулярно к /45, б) получить на этой же пл. Т проекцию сферы, в) провести из то.чки — проекции АВ и пл. Т — две касательные к окружности, представляющей собою проекцию сферы на пл. Т. Эти касательные можно рассматривать как проекции плоскостей, касательных к сфере (они перпендикулярны к пл. Т), и в то же время как проекции двух прямых, проведенных из некоторой точки на АВ касательно к сфере. Очевидно, прямая АВ и каждая из этих касательных определяют плоскость, проходящую через АВ касательно к сфере. Если же выделить точки касания М ч М (рис. 224, б), то каждая из касательных плоскостей будет выражена прямой АВ и точкой касания М или N). [c.176]

Расположив П41 АН, мы обеспечиваем сразу выполнение двух условий новая плоскость П4 будет перпендикулярна и П,, и плоскости треугольника. Новую ось 4 14 проводят под прямым углом к /4]Я,. Проведя через горизонтальные проекции вершин треугольника пря- [c.58]

Рассмотрение того же черт.. 304 позволяет сделать вывод о том, что если заданы система координат xyz, направление проецирования Т и плоскость П, то аксонометрическая проекция точки и ее вторичная проекция однозначно определяют положение точки в пространстве. Действительно, проведя через вторичную проекцию /< точки А прямую, параллельную J, и определив точку пересечения этой прямой с координатной плоскостью хОу, найдем горизонтальную проекцию А, точки А. Положение же точки А в пространстве определяется пересечением двух прямых А А и А Л, первая из которых проходит через А параллельно J, а вторая — через /(, перпендикулярно плоскости хОу. [c.143]

Алгоритмы построения перпендикулярных прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей основаны на теореме о прямоугольной проекции прямого угла (см. п. 1.1.3). Применительно к двухкартинному чертежу Монжа она формулируется так [c.147]

Поэтому при решении данной задачи в качестве двух пересекающихся прямых плоскости выбирают не произвольные прямые а горизонталь А и фронталь / (рис. 5.5). Тогда условие перпендикулярности прямой и плоскости на чертеже Монжа формулиру- [c.149]

Если рассматривать прямую, проведенную через центр круга перпендикулярно к его плоскости и неопределенно продолженную в обе стороны, то, как известно, каждая точка на этой прямой будет находиться на равном расстоянии от всех точек окружности следовательно, если мы вообразим, что вторая прямая, опирающаяся одним концом в одну из точек окружности и другим в некоторую точку на перпендикуляре, вращается вокруг него, как вокруг оси, составляя с ннм все время один и тот же угол, то ее движущийся конец опишет окружность круга с такой же точностью, как она описывается радиусом из центра. Проведение круга при помощи радиуса есть только частный случай предыдущего способа и, благодаря своей простоге, дает более ясное представление о плоскости круга. Но если речь идет только об описании окружности, то первый способ может иногда иметь преимущество так, если мы возьмем на оси два полюса, расположенные по разные стороны от плоскости, и, проведя через них две прямые, которые пересекутся в некоторой точке на окружности, будем вращать систему этих двух прямых вокруг оси таким образом, чтобы их точка пересечения не скользила по ним, то она опишет окружность круга без предварительного проведения плоскости, в которой он лежит. [c.160]

Построение двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Как известно, плоскости перпендикулярны, если прямая, принадлежащая одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости (рис. 4.20) AB zQ, ABLwi. P, пл. б1пл. Р). Построение проекций плоскости Р, проходящей через прямую с проекциями т п, тп и перпендикулярной плоскости, заданной проекциями а Ь с, ab треугольника, показано на рисунке 4.21. Для построения на чертеже плоскости через проекции е, е точки прямой проведены проекции e f, ef перпендикуляра к плоскости треугольника. Две пересекающиеся прямые определяют положение [c.49]

Скорости всех точек тела, лежащих в плоскости П,, перпендикулярны этой плоскости. Действительно, скорость произвольной точки С плоскости, с одной стороны, перпендикулярна радиусу-век- РУ Гс, а с другой (по теореме о равенстве проекций скоростей двух точек тела на соединяющий их отрезок) перпендикулярна отрезку АС. Следовательно, скорость va перпендш улярна плоскости Hi. Аналогично, скорости всех точек тела, лежащих в плоскости Па, перпендикулярны этой плоскости. Тогда скорости точек тела, лежащих на линии пересечения плоскостей П( и Па, должны быть одновременно перпендикулярны и плоскости TIi, и плоскости Пз, что невозможно, и, следовательно, скорости точек этой прямой ОР равны нулю, что и требовалось доказать. Очевидно, что в теле не может быть еще одной прямой, скорости точек которой в данный момент времени были бы равнЬ нулю, так как в противном случае скорости всех точек тела были бы равны нулю, а это про- [c.73]

Прямая, параллельная профильной плоскости проекций Пз, называется профильной ПРЯМОЙ и обозначается на чертеже через р. Так как все точки профильной прямой имеют одну и ту же широту, то её горизонтальная pi и фронтальная р2 проекции располагаются на комплексном чертеже перпендикулярно оси Х 2 (рис. 38), а в натуральную величину данная прямая проецируется на профильную плоскость проекций П3. На эту же плоскость проекций спроеци-руются в натуральную величину углы наклона профильной прямой р соответственно к плоскостям проекций П и Пг. Следует заметить, что для определения профильной прямой необходимо задать на проекциях pi и рг прямой р проекции её двух точек, например, В и С. Обычно при решении различных вопросов с профильными прямыми прибегают к построению третьей проекции на профильную плоскость проекций П3. [c.41]

Пересечение осей отверстий в одной плоскости проверяется двумя оправками со срезанными концами (фиг. 177). Плоскости среза должны прилегать друг к другу. Зазор между срезами определяет величину смещения осей. Перпендикулярность осей отверстий, лежащих в одной плоскости, проверяется контрольными оправками поворотом индикатО ра из положения 1 в положение 2 (фиг. 178). Разность показаний индикатора в двух положениях определяет величину погрешности прямого угла. Пе рпбндикулярность отверстий, расположенных в разных плоскостях, проверяют специальным приспособлением (фиг. 179). Оно состоит из двух контрольных оправок и плиты. Измерение зазора между платиками 1 vl2 приспособления и контрольной оправкой производится щупом. [c.260]

При ударе двух твердых тел играет роль только относительная скорость обоих тел мы можем поэтому одно из этих тел рассмагрнвать как бы находящимся в покое и наблюдать движение только второго ударяющего тела. В момент касания обоих тел можно к точке соприкосновения провести плоскость, касательную к обоим телам. Прямая, перпендикулярная к этой плоскости и проходящая через точку соприкосновения, называется линией или нормалью удара. Если линия удара проходит через центр тяжести обоих тел, то удар называется центральным, в каждом другом случае — внецентренным ударом. Удар называется прямым, если тело, производящее удар, находится относительно тела, воспринимающего удар, в поступательном движении по направлению нормали удара в противном случае удар называется косым. [c.323]

Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой и обозначается на чертеже через р. Так как все точки профильной прямой имеют одну и ту же широту, то её горизонтальная р и фронтальная р2 проекции располагаются на комплексном чертеже перпендикулярно оси х,2 ъ соответствии с рисунком 2.3, а в натуральную величину данная прямая проецируется на профильную плоскость проекций Я . На эту же плоскость проекций спроецируются в натуральную величину углы наклона профильной прямой р соответственно к плоскостям проекций П1 и П2. Следует заметить, что для определения профильной прямой необходимо задать на проекциях рхтарг прямой р проекции её двух точек, например В и С (рисунок 2.3). Для прямых Ли/это делать совсем не обязательно. Обычно при решении различных вопросов с профильными прямыми прибегают к построению третьей проекции на профильную плоскость проекций П3. Прямая /, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций Я/, называется горизонтально проецирующей прямой. Она проецирует все свои точки на плоскость Я/ в одну точку А, которая яв юется её горизонтальной проекцией в соответствии с рисунком 2.4. Фронтальная проекция г г прямой г перпендикулярна оси Х 2. Прямая г, будучи параллельной плоскости проекций П2, проецируется на эту плоскость без искажения, т.е. АВ=А2В2- Точки А и В, как имеющие одну и ту же горизонтальную проекцию 1 =А1=В1, являются горизонтально конкурирующими. [c.20]

На фиг. 49 изображена часть некоторой кривой поверхности. через пооизвольную точку L которой проведена к ней нормаль. Мы видели, что из точки L можно перейти по двум направлениям в другую точку М или U, нэрмаяь в которой пересечет первую нормаль, и что оба эти направления перпендикулярны друг другу на повеохности. Пусть эти взаимноперпендикулярные направления будут LM и LL. Из точки М в свою очередь можно перейти по двум различным направлениям в другую точку N или ЛГ, нормаль в которой встретится с нормалью, проходящей через М пусть эти два взаимно перпендикулярных направления, проходящих через точку М, будут MN и ММ. Поступая таким же образом для точки N, найдем два направления N0 и NM, пересекающиеся под прямым углом в точке для точки О мы получим направления ОР и ОО и так далее. Совокупность точек L, М, N, О, Р,... и т. д., в которых соседнле нормали лежат в одной плоскости, образует на поверхности кривую линию, которая всегда будет указывать направление одной из двух кривизн поверхности эта кривая будет линией первой кривизны, проходящей через точку L. Поступая для точки U таким же [c.176]

Дай треугольник АВС и прямаяО своими координатами (см. таблицу к упр. 142, 16, стр. 87). Провести через прямую DE плоскость DEF, перпендикулярную плоскости АВС, и построить линию пересечения этих двух плоскостей. [c.125]

Сущность способа перемены плоскостей проекций заключается в том, что одна из плоскостей проекций заменяется повой, на которую проецируются данная точка, отрезок прямой линии или фигура. При этом в отличие от двух предыдущих способов эти геометрические элементы не меняю своего положения в пространстве. Например, фронтальная плоскость проекций V может бы гь заменена новой, обозначаемой V (рис. 130,а), причем плоскость К, должьа быть так же, как и плоскость V, перпендикулярна к плоскости Н. [c.74]

Решение. Так как сторона D искомого параллелограмма должна лежать на прямой, равноудаленной от трех точек, то начинаем с построения этой прямой. По-йобное построение уже встречалось прямая EF получается как линия пересече. ния двух плоскостей (рис. 150, б и в) Р и Q, проведенных перпендикулярно к отрезкам LM и MN через их середины. Точку D на этой прямой находим из условия, что [c.106]

Для отклонений взаимного расположения конструктивных элементов дайте определение, укажите, чему равны и как опре дел яются его допуск и поле допуска приведите примеры располо5кения подобных конструктивных элементов в реальных деталях или узлах а) отклонения от параллельности прямых, расположенных в общей плоскости и в пространстве 6) отклонение от перпендикулярности двух плоскостей, а также прямой и плоскости для двух случаев базой является плоскость или прямая в) отклонение от параллельности двух плоскостей, прямой относительно плоскости и плоскости относительно прямой г) отклонение наклона плоскости (прямой) относительно плоскости д) отклонение от соосности одного отверстия относительно другого и отклонение нескольких отверстий относительно общей оси [c.79]

Требуется определить расстояние от точки А до прямой /. Искомый отрезок АК должен быгь перпендикулярен к этой прямой, а так как в первых двух случаях I параллельна плоскости Oj, то на эту плоскость прямой угол между АК I проецируется без искажения. Но поскольку в первом случае /ХП], то отрезок АК, перпендикулярный /, окажется параллельным П,, и горизонтальная проекция его будет определять искомое расстояние. [c.55]

Пересекающиеся плоскости. Для построения линии пересечения двух плоскостей сх и /J определяют точки пересечения двух пар их горизонталей с любыми одинаковыми отметками каждой пары. На черт. 396 и 397 в точке М пересекаются горизонтали с отметкой , а в точке N — с отметкой 6. Прямая MN является искомой. На черт. 397 обе плоскости заданы масштабами падения, перпендикулярно которым проведены горизонтали (с отмег-кой 4 и 6). Нетрудно показать, что e j/u уулы падении двух плоскостей одинаковы, то проекция линии их пересечения является биссектрист / у. ла, образованного проекциями горизоптилеи данных плоскостей. [c.183]

Преобразование прямой линии общего положения в линию уровня можно осуществить вращением вокруг оси, перпендикулярной как к плоскости П , так и к плоскости Л2-Однако вращение прямой вокруг вертикальной оси позволяет сделать ее только фронтальной. Действительно, при этом не изменяется угол между прямой и осью (черт. 183), а значит, и угол наклона прямой к плоскости Л . В то же время прямая становится фронтальной в тот момент, когда расстояния двух ее точек А и В от плоскости П2 оказываются одинаковыми. Если ось вращения пер[1ендикуляр-на к плоскости лг, прямая может быть преобразована в горизонтальную. [c.49]

Самая близкая точка сечения Ki определена с помощью плоскости (1)2, перпендикулярной к фромталям плоскости ji (0J2 L X АВ). Плоскость <1)2 пересекает плоскость fi по прямой линии /—2. Точка 2 этой линии лежит на оси тора и определяется как точка пересечения этой оси с горизонталью hi. Плоскость (1)2 пересекает поверхность тора по меридиану, который на горизонтальной плоскости проекций будет проецироваться в виде дуг двух эллипсов. [c.79]

Условия равновесия плоской системы сил можно сформулировать и гак < лл равновесия плоской системы сил, при-ло.жеппых к твердому телу, необходимо н достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов сил относительно двух любых точек, лежащих в плоскости действия сил, были равны нулю и алгебраическая сумма проекций этих сил на какую-либо ось плоскости, не перпендикулярную прямой, проходящей через две моментные точки, также была равна нулю, т. е. [c.53]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...