Траектория в поле центральной силы

Предлагаем читателю проверить то, что нами найдена наименьшая начальная скорость, при которой точка может описывать замкнутую траекторию в поле центральной силы тяготения Земли. [c.399]

Эллиптическая траектория в поле центральной силы, прямо пропорциональной расстоянию. Пусть масса т находится под действием силы. [c.317]

Лагранж ссылается в начале статьи на результаты Эйлера который показал, что для случая движения в поле центральной силы траектория, по которой движется минимальная, точка, удовлетворяет требованию [c.201]

Несмотря на то, что при сделанных предположениях относительно характера функции / (г) интегрирование дифференциального уравнения движения материальной точки в поле центральной силы приводит к простым квадратурам, выразить полярные координаты точки в известных функциях от времени удается только в весьма ограниченном числе случаев. Поэтому подробное изучение возможных форм траекторий движущейся точки может быть выполнено только на основании качественного исследования уравнений движения. [c.107]

С какой целью вводится понятие приведенной массы 5. Какие уравнения необходимо проинтегрировать для определения траектории частицы в поле центральных сил 6. Какие задачи можно решать с помощью формул Бине [c.130]

Показать, что если известно уравнение г = г(ф) траектории точки в поле центральной силы, то можно найти проекцию силы на направление радиуса и квадрат скорости точки при помош и следую-ш их соотношений (формул Бине) [c.69]

Найти уравнение траектории частицы массы т в поле центральной силы с потенциалом [c.70]

Рассеяние классических частиц в поле центральных сил или друг на друге описывается посредством представления о траекториях движения частиц. Траектория наиболее просто получается из гамильтониана с помощью уравнения Гамильтона — Якоби. [c.123]

Таким образом, задача о движении в центрально-симметричном поле оказывается для механики фундаментальной. То, что она решается в конце курса, объясняется необходимостью опираться при ее рассмотрении на положения и методы, развитые в курсе ранее. Но к анализу отдельных сторон движения под действием центральных сйл мы обращались уже не раз. Так, было установлено, что при движении точки в поле центральной силы сохраняется момент импульса, а траекторией движения служит плоская кривая (см. 10). Рассматривался пример (12.7) получения вторых интегралов движения, задача о движении системы двух взаимодействующих точек сведена к движению одной точки. В этой главе курса изучим движение материальной точки в поле центральной силы подробнее. [c.228]

Будем искать такую программу ускорений, которая делает интеграл / стационарным в надежде, что это стационарное решение окажется также и решением задачи минимизации интеграла. Предположим, что время полета Т задано и что все допустимые траектории удовлетворяют определенным начальным и конечным условиям, т. е. координаты и скорости в начальной и конечной точках траектории равны заданным значениям. При рассмотрении частных случаев движения в поле центральных сил мы будем предполагать также и другие типы граничных условий. [c.292]

Переход между орбитами в поле центральной силы (перелет от Земли к Марсу в поле Солнца). Задача разыскания траектории оптимального ухода в поле центральной силы описывается системой дифференциальных уравнений (8.24), (8.25), (8.26), (8.34) и (8.35). Эти же уравнения можно использовать и в задаче перехода между орбитами. Такие задачи могут возникнуть при перелете с одной орбиты спутника Земли на другую, или с одной из орбит вокруг Солнца на другую. Доктору Блюму и автору настоящих строк удалось найти [10] ряд оптимальных траекторий перелета с орбиты Земли на орбиту Марса. Искомая траектория должна удовлетворять не только условию равенства координат ракеты и Марса в момент встречи, но и условию равенства их скоростей. Если же их скорости при встрече будут сильно отличаться друг от друга, то может оказаться, что за короткое время прохождения вблизи Марса ракета с двигателем малой тяги не успеет затормозиться и не будет захвачена планетой. [c.310]

Так как вектор момента импульса Е = т [г и сохраняется в случае центральной силы по модулю и направлению, то все г лежат в одной плоскости, т. е. траекторией является плоская кривая, поэтому у изображающей точки две степени свободы, и для случая центрального поля целесообразен выбор полярных координат в плоскости движения с началом в центре масс. В них интеграл момента импульса [c.228]

Рассмотрим задачу о попадании в ньютонианском центральном поле силы. Пусть О — центр силы, а М и М —, две точки пространства, через которые необходимо провести траекторию материальной точки. Предположим, что три точки О, М, М не лежат на одной прямой. Они определяют плоскость V, которая содержит искомую траекторию. [c.264]

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПОВЕДЕНИИ ТРАЕКТОРИИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ. Пусть h некритическое значение приведенного потенциала Ус, рассмотрим движения, происходящие в связной компоненте типа кольца [c.156]

Подкоренное выражение неотрицательно в точности на 9Яс - При движении ф растет, а 0 колеблется в предписанных заданными с и h пределах. Траектория, вообще говоря, не замкнется. Ситуация здесь очень напоминает ту, которую мы наблюдали в случае центрального поля сил. [c.180]

Если на рис. 76 не обращать внимания на то, что часть фазовой кривой изображена пунктиром, то мы увидим типичное поведение траектории в центральном поле сил и вообще в системе с циклической координатой. Таким образом, область возможности движения типа кольца есть в некотором смысле (несложные уточнения опускаем) проекция фазового тора на многообразие положений, а траектория движения есть проекция фазовой обмотки тора. Аналогичные утверждения справедливы и в случае Лагранжа движения тела с неподвижной точкой, только здесь обмотки проектируются с некоторым перекосом. [c.268]

Рис. 47. Качественная иллюстрация ко многим интегрируемым задачам динамики, в частности 1) типичные траектории в центральном поле сил (аналогичные, но внешне несколько иные варианты см. на рис. 52 и 62) 2) траектория сферического маятника в проекции на горизонтальную плоскость, если вся траектория лежит ниже экватора 3) герполодии в представлении Пуансо (полодии см. на рис. 74)

Рис. 52. Области возможности движения и поведение траекторий в них для движения в центральном поле сил

Очень хорошо проходили лекции, посвяш енные исследованию экстремальных свойств баллистических траекторий. Сначала достаточно быстро излагались экстремальные свойства параболических траекторий в однородном поле силы тяжести. Находились оптимальные углы бросания, при которых реализуется максимальная дальность полета и максимальная высота подъема. Затем более детально исследовались оптимальные свойства эллиптических траекторий в центральном гравитационном поле Земли. Приводились также формулы линейной теории рассеивания оптимальных эллиптических траекторий. [c.205]

Вектор магнитного момента атома прецессирует с частотой Лармора вокруг направления магнитного поля с постоянным углом наклона, подобно волчку в поле силы тяжести. Если подобрать начальные условия так, чтобы траектория частиц проходила через центральную диафрагму, то в силу симметрии системы все частицы попадут в детектор и он зарегистрирует ту же интенсивность пучка, что и в отсутствие полей. Характер общей траектории частиц в поле при этом никак не изменится, если часть пути они будут проходить при включенном поле Яг, так как [c.52]

Во-первых, траектория движения точки — плоская кривая. Центр, через который всегда проходит линия действия силы, лежит в плоскости траектории. Удобно описывать движение такой материальной точки в полярной системе координат с полюсом в центре силового поля. Полярную ось направим пока произвольно. Тогда положение точки в плоскости ее движения будет определяться полярными координатами г и ф. Для центральной, силы имеем выражение [c.102]

Движение в центральном поле сил тяготения. Небесные тела (звезды, планеты и их спутники) в хорошем приближении можно считать шарами, в которых масса распределена сферически симметрично, т.е. плотность р зависит только от расстояния г до центра шара р= р(г). Простейшей задачей астрономии является нахождение траекторий тела (материальной точки), движущегося в поле тяготения шарообразного небесного тела. Такая проблема возникает при изучении движения планеты в поле тяжести Солнца, спутника планеты в поле тяжести этой планеты и т.п., если пренебречь всеми прочими силами, в частности влиянием других планет. Можно показать, что шар действует на материальную точку с такой же силой, с какой на нее действовала бы материальная точка, обладающая массой шара и расположенная в его центре. Следовательно, в инерциальной СО с началом координат в центре шара массы М сила тяготения, действующая на материальную точку массы т, согласно (10.2) запишется в виде [c.33]

Полный анализ влияния ошибок на элементы орбит в поле одной или двух сил, а также на параметры траектории гиперболического прохождения довольно кропотлив. Он приводится в работах [2] и [40] поэтому здесь мы ограничимся лишь тем, что приведем окончательные уравнения и выводы. Как и ранее, большими буквами будем обозначать гелиоцентрические величины, а малыми — планетоцентрические. Там, где такое разделение невозможно, будем снабжать гелиоцентрические величины индексом 0. Такое разделение необходимо при изучении ошибок в поле двух притягивающих центров. При изучении ошибок в центральном поле оно не обязательно и поэтому использоваться не будет. [c.203]

Рис. 41. Объединение однотипных иллюстраций к различным разделам курса 1) колебательное движение одномерной консервативной системы в потенциальной яме 2) этапы построения траекторий и решения уравнений движения в центральном поле сил 3) зависимость одной из постоянных интегрирования от определяющей координаты при применении метода Гамильтона—Якоби. Аналогичные многозначные зависимости можно указать и в других случаях Объяснение. Решение многих задач механики упирается в интегрирование дифференциального уравнения вида

Для характеристики моей манеры чтения лекций по механике в академии я расскажу только об одной лекции по динамике точки, посвяш.енной изучению движения в гравитационном (ньютоновом) поле Земли. Начинал я эту лекцию обычно с рассказа о межконтинентальных ракетах и показывал, что движение центра масс ракеты на пассивном участке траектории может быть сведено к задаче динамики точки. Без доказательств я подчеркивал, что учет неравномерности распределения масс геоида приводит к тому, что силовая функция, определяюш,ая гравитационное поле Земли, становится более сложной и отличается от силовой функции центрального ньютонова поля. Затем я рассказывал (приводя опытные данные), что до высоты 110—120 км влияние атмосферы (т. е. аэродинамических сил) на закон движения ракеты весьма существенно и, следовательно, наше решение будет достаточно хорошим только на высоте более 110—120 км. [c.231]

При исследовании движения материальной точки в пространстве следует обратить внимание на определение сил, дей-ствующ,их на материальную точку. Без этого невозможно определить траекторию и характер движения точки. Особенно большое значение имеют задача о движении тяжелой материальной точки в пустоте и задача о движении материальной точки в центральном силовом поле. При исследовании движения большое значение приобретают общие теоремы динамики материальной точки. При решении задач необходимо использовать эти теоремы и их первые интегралы. Рассмотрим несколько конкретных примеров. [c.54]

Дифференциальное уравнение траектории точки, движущейся в центральном поле сил [c.102]

Бертран [2] рассмотрел обратную задачу, в которой требуется определить центральное силовое поле при условии, что сила, приложенная к точке, зависит только от расстояния точки до силового центра, а траекторией точки при любых начальных условиях является коническое сечение — эллипс, парабола или гипербола. Решение этой задачи показало, что возможны лишь два вида силовых полей, удовлетворяющих поставленным условиям [c.89]

I. Определение траектории движения. Поскольку движение происходит в центральном поле сил, то согласно второй формуле Бине [c.58]

Замечательным является то, что полученное общее решение справедливо для любой центральной силы, зависящей только от расстояния до центра силы. Движение точки в поле таких сил обладает общими свойствами, а именно движение происходит в неподвижной плоскости, проходящей через центр силы радиус-вектор точки описывает равные площади за равные промежутки времени угол ф изменяется со временем всегда монотонно траектория точки симметрична относительно апсид (так называются прямые, проходящие через центр силы, и точки поворота, находящаяся в начальный момент времени в точке поворота и обладающая в одном случае начальной скоростью Уо, а в другом случае — Уо, будет двигаться по симметричным кривым. Действи- [c.79]

Если тело, движущееся в ньютоновском центральном поле сил, не является материальной точкой, а является твердым телом конечного размера, то его поступательное и вращательное движение, строго говоря, взаимосвязаны центр масс тела движется не по кеплеровой траектории. [c.145]

Рассмотрим движение абсолютно твердого спутника в центральном поле тяготения сферической Земли. По теореме об изменении количества движения центр масс спутника в центральном ньютони-анском поле сил будет двигаться как материальная точка с массой, равной массе т спутника ( 3.11). Предположим, что траектория центра масс есть окружность радиуса й с центром в центре Земли. [c.504]

Завершающий 6.5 главы посвящен управляемому движению гиперона и аналитическому интегрированию гиперреактивных уравнений в центральном гравитационном поле. Показывается, что управляемое ускорение силы тяги может быть выбрано оптимальным по энергетическим затратам, причем гамильтонов функционал качества на оптимальной траектории принимает постоянное значение, обеспечивая тем самым консервативность системы и выполнение закона сохранения энергии. Решение задачи в этом случае доводится до общего интегрирования в квадратурах по методу Гамильтона-Якоби. [c.175]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...