Систем» материальных точек на плоскости

В ТОМ случае, когда момент внешних сил, действующих на систему материальных точек, не равен нулю, момент импульса системы изменяется и эти изменения определяются уравнением моментов (10.16). Однако связь между изменениями момента импульса и изменениями скоростей различных точек системы в общем случае сложна. Поэтому здесь мы ограничимся рассмотрением только простейшего случая, когда все точки системы движутся с одинаковой угловой скоростью по кругам, центры которых лежат на одной прямой, перпендикулярной к плоскости кругов эта прямая представляет собой ось вращения (в этом случае взаимное расположение точек при вращении не изменяется). Приняв ось вращения за ось моментов, можно выразить момент импульса всей системы следующим образом [c.307]

Теорема. Если связи, наложенные на систему материальных точек, допускают поворот всей системы вокруг неподвижной оси, причем сумма моментов всех активных сил относительно этой оси равна нулю, то сумма произведений. масс точек системы на секторные скорости их проекций на плоскость, перпендикулярную к оси возможного вращения, есть величина постоянная. [c.318]

Пусть нитяной многоугольник состоит из I материальных точек, на которые действуют силы тяжести. Расположим прямоугольные оси координат (фиг. 315), относительно которых будем рассматривать данную систему, так, чтобы плоскость Огх проходила через первое звено, а ось 02 направим вертикально вверх. Предположим, что на первое звено действует сила Ро. которая уравновешивает систему. Эта сила действующая на конец многоугольника, как мы видели, должна быть направлена по первому звену, поэтому 7 = 0. [c.461]

Добавив силу трения скольжения груза В о наклонную плоскость, мы считаем, что на данную систему наложены только идеальные связи (нить при движении системы считается натянутой и нерастяжимой). Остается прибавить силы инерции материальных точек системы. Пусть груз А опускается с искомым ускорением га. [c.419]

Неизменяемая плоскость. Солнечная система может быть принята за изолированную механическую систему. Можно считать, что на точки этой системы действуют только внутренние силы и поэтому кинетический момент солнечной системы остается постоянным по величине и направлению. Зная скорость, массу и положение каждой планеты, Лаплас, принимая планеты за материальные точки, вычислил кинетический момент о солнечной системы и определил положение плоскости, перпендикулярной к этому вектору Ч Эта плоскость имеет большое значение в астрономии. Ее называют неизменяемой плоскостью Лапласа. [c.330]

Решение. 1. Прежде всего рассмотрим относительное движение шарика, который мы примем за материальную точку. Выберем систему подвижных осей Охуг, связанных с кабиной так, как показано на рис. 298 (ось у направлена вертикально вниз и проходит через начальное положение шарика, ось X направлена горизонтально вдоль вектора начальной относительной скорости а,,, а ось г направлена перпендикулярно к плоскости чертежа). Изобразим движущуюся точку (шарик) в произвольном положении М. Переносная сила инерции равна по модулю — ш п направлена вертикально вниз. Так как переносное движение является поступательным, то кориолисова сила инерции Ф равна нулю, кроме того, так как точка М совер- [c.506]

Возьмем еще систему, образованную твердой материальной окружностью, которая катится без скольжения по неподвижной плоскости Р (обруч). Для выражения связи нужно написать, что скорость материальной точки, находящейся в соприкосновении, равна нулю. Следовательно, для того чтобы сообщить обручу перемещение, допускаемое связью, необходимо и достаточно сообщить ему вращение на бесконечно малый угол вокруг произвольной оси, проходящей через точку касания. Но это элементарное вращение может быть всегда разложено на три одно вокруг нормали к неподвижной плоскости в точке касания А, другое о 2 вокруг касательной к обручу в точке А, и третье Ьд вокруг нормали к обручу, проведенной в точке А в неподвижной плоскости. Следовательно, обруч образует систему с тремя степенями свободы. [c.228]

В среднюю плоскость пластинки, т. е. в плоскость, находящуюся посредине между параллельными наружными поверхностями, введем, при естественном состоянии пластинки, прямоугольную систему координат и обозначим через и координаты относительно этой системы точки Р средней плоскости. Далее мы представим себе три линейных элемента 1, 2, 3, выходящих из точки Р, из которых два первых параллельны осям 51 и 5г, а третий к ним перпендикулярен. Мы примем, что после деформации пластинки эти три линейных элемента определяют оси прямоугольной системы координат, к которой мы будем относить точки, лежащие вблизи Р. Предположим, что точка Р будет началом координат, линейный элемент 1 будет лежать на оси к, и плоскость элементов 1 и 2 образует плоскость X, у, тогда последняя будет касаться в точке Р искривленной деформацией средней плоскости, ось у образует бесконечно малый угол с элементом 2, ось же г — бесконечно малый угол с элементом 3. Пусть относительно этой системы координат х + и, у V, г гл) будут координатами материальной точки пластинки после деформации, в то время как X, у, г будут координатами той же точки относительно той же системы координат в естественном состоянии пластинки, когда линейные элементы 1, 2, 3 совпадают с осями х, у, г. Тогда а, о, щ будут такими функциями X, у, 2, ЧТО для л =0, г/ =0, 2 =0 должно быть [c.371]

Это неравенство в действительности является утверждением, касающимся направлений допустимых возможных перемещений относительно сил реакций. Его справедливость может быть проверена путем рассмотрения элементарных примеров систем со связями, таких, как материальная точка, находящаяся в покое на горизонтальной плоскости в этом случае единственными перемещениями [c.21]

Приведение сил инерции к оси вращения. Предполагая, что рассматриваемое звено имеет плоскость симметрии (ее предположим совпадающей с плоскостью чертежа), бесчисленное множество элементарных сил инерции бС,- и б/С,, связанных с каждой материальной точкой звена, можно рассматривать как плоскую систему сил и для их сложения воспользоваться методами статики для сложения сил на плоскости. [c.78]

Рассмотрим, например, одну из простейших колебательных систем — груз, подвешенный на нити. Ответ на вопрос о том, сколько степеней свободы имеет эта система, зависит от ее физических свойств и от того, что мы собираемся исследовать в ней. Если размеры груза малы по сравнению с длиной нити и дви>кения груза относительно нити несущественны, если нить можно считать недеформируемой, т. е. постоянной длины и прямолинейной, тогда можно рассматривать такую систему как математический маятник, т. е. как систему с двумя степенями свободы. Груз в виде материальной точки может двигаться по сфере, и для однозначного определения ее положения необходимо знать две независимые координаты. Если, кроме того, будут заданы начальные условия, при которых нить во время колебаний будет находиться в определенной плоскости, то для определения положения такой системы достаточно одной координаты. [c.12]

Заметим, что приведенное выше условие имеет простой механический смысл, на который невозможно не обратить внимания. Действительно, вообразим материальное тело или систему таких тел, которые обладают симметрией относительно некоторой оси и некоторой плоскости, перпендикулярной к этой оси. Если притягивающие массы в основном сосредоточены вблизи указанной плоскости, то составляющая равнодействующей всех сил притяжения на материальную точку, лежащую вне плоскости симметрии, параллельная оси вращения, обязательно будет направлена к началу координат, а поэтому величина [c.312]

При 2 = 0 система цилиндрических координат вырождается в систему полярных координат г, ф на плоскости (рис. 2.7), с помощью которых удобно исследовать плоское движение материальной точки. Такое движение обычно задают уравнениями г = г (I), Ф = Ф (О- Исключая отсюда время t, можно получить уравнение траектории точки М в полярных координатах [c.18]

Одна из главных осей инерции площади треугольника и рассматриваемой системы трех материальных точек относительно точки О перпендикулярна плоскости треугольника и поэтому одна и та же для обеих систем. Главные оси инерции для точки О, расположенные в плоскости треугольника, — это такие две прямые, относительно которых моменты инерции имеют наибольшее и наименьшее значение, поэтому на основании предыдущего эти оси будут одними и теми же для обеих систем. [c.36]

Спроектируем систему на плоскость, перпендикулярную данной прямой, так, чтобы отношение масс материальных точек не изменялось. Данная прямая, которую возьмем в качестве оси г, [c.49]

Для математического оформления задачи необходимо выбрать систему координат. Хотя в принципиальном Рис. 6,1. отношении выбор координатной системы безразличен, неудачный выбор координат практически может сильно затруднить выкладки н истолкование полученного решения. Необходимо стремиться к тому, чтобы проекции силы на выбранные оси выражались наиболее просто, для чего можно оси ориентировать так, чтобы большее число сил было им либо параллельно, либо перпендикулярно, В данной задаче одну из осей декартовой прямоугольной системы следует направить вертикально вверх, так как сила тяжести направлена по вертикали. Тогда плоскость Оху расположится на поверхности Земли. Для упрощения записи начальных условий начало координат поместим в точке, лежащей на одной вертикали с точкой, из которой начинает двигаться материальная точка. Ось Ох направим так, чтобы вектор начальной скорости совпадал с плоскостью Охг Проекции силы на выбранные оси будут Рх = Ру = О, Р = —mg. Ньютоновы дифференциальные уравнения движения (6.2) для нашей задачи имеют вид [c.89]

Свободные колебания систем с несколькими степенями свободы. — в предыдущей главе мы рассматривали главным образом только системы с двумя степенями свободы. Подобным же образом могут быть рассмотрены системы с более чем двумя степенями свободы, хотя трудности быстро возрастают с увеличением числа степеней свободы. В качестве примера системы с тремя степенями свободы рассмотрим случай, представленный на рис. 160. Здесь показана материальная точка массы т, удерживаемая на месте тремя простыми пружинами, оси которых не лежат в одной плоскости. Примем, что начало координат О является положением равновесия точки. Если массу т несколько отклонить от этого положения, то она начнет колебаться выясним характер этого движения. Поскольку для определения положения точки необходимы три координаты х, у, г, система имеет три степени свободы. [c.229]

Замечание 5. Для однородных тел враш,ения ось враш,ения и любые две взаимно перпендикулярные и перпендикулярные ей прямые образуют систему главных осей инерции. Действительно, ось враш,ения всегда является осью материальной симметрии и поэтому в силу замечания 3 является главной осью инерции. Для тела вращения любая плоскость, проходящая через ось вращения, является плоскостью материальной симметрии. Выберем поэтому на оси вращения произвольную точку и проведем через нее две взаимно перпендикулярные прямые, перпендикулярные оси вращения. Проводя затем поочередно плоскости через ось вращения и каждую из этих прямых, убеждаемся, что в силу замечания 4 вторая прямая, перпендикулярная проведенной плоскости, является главной осью инерции. Утверждение доказано. [c.183]

Если ротор (фиг. 2) поместить на механическую систему с шестью степенями свободы и привести его во вращение, то он будет вращаться вокруг оси OiZ", а материальная ось 0Z будет описывать конус. Единственная точка материальной оси ротора, которая будет неподвижна,— это точка Ц (центр колебаний). Положение точки Ц зависит от многих параметров. Поэтому в реальных механических системах она может быть расположена близко или далеко от центра масс. Наиболее удачным вариантом для балансировки является расположение центра колебаний, показанное на фиг. 3, а. В этом случае амплитуда колебаний каждой опоры зависит только от дисбаланса в одной плоскости. Измеряя амплитуду колебаний опор, можно сразу определить величину дисбаланса в данной плоскости. [c.291]

Теорема 5.2.3. (Об изменении кинетического момента в осях Кёнига). Если связи, наложенные на систему материальных точек, идеальны, допускают дифференциал вращения вокруг неподвижной оси L и, кроме того, допускают поступательное смещение системы по любому направлению в плоскости, перпендикулярной L, то в осях Кёнига производная по времени от кинетического момента относительно оси I, параллельной L и проходящей через центр масс системы, равна сумме моментов внешних активных сил относительно оси I, т.е. [c.400]

Решение. Выберем местную систему координат, направив ось O z по истинной вертикали (см. предыдущий пример), ось О х в меридиональной плоскости перпендикулярно оси O z на юг, а ось О у на восток — так, чтобы выбранная система координат была прямоугольной и правок (рис. 16.9). Запишем для падающей в пустоте (т. е. без учета сопротивления bo. i-духа) материальной точки массы т систему дифференциальных уравнений (16.23). Равнодействующая активной силы F ir переносной кориолисовой силы, определяемой вращением Земли, (—тпм ) и есть сила тяжести в даппой точке Земли, т. е. [c.304]

ТЕОРЕМА [взаимности (перемещений перемещение точки А под действием силы, приложенной в точке В, равно перемещению точки В под действием силы, приложенной в точке А работ работа первой силы на перемещении точки ее приложения под действием второй силы равна работе второй силы на перемещение точки ее приложения под действием первой силы ) Гульдена — Панна ( площадь поверхности, полученной вращением дуги плоской кривой (или ломаной линии) вокруг оси, лежащей в ее плоскости, но ее не пересекающей, равна длине этой дуги, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести объем тела вращения, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры и ее не пересекающей, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести площади фигуры ) Гюйгенса точка подвеса физического маятника и центр качания суть точки взаимные Гюйгенса — Штейнера момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между ними о движении центра масс ( центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внещние силы, действующие на систему тела с переменной массой центр масс тела с переменной масой движется как точка затвердевшей массы, в которой сосредоточена масса тела в данный момент и к которой приложены главный вектор активных внешних сил и главный вектор реактивных сил ) Жуковского если силу, приложенную к какой-либо точке звена плоского механизма, перенести параллельно самой себе в одноименную точку повернутого плана скоростей, то момент этой силы относительно полюса плана скоростей будет пропорционален ее мощности ] [c.282]

Сложность аналитического исследопания возрастает с увеличением числа степеней свободы системы. Вторая глава книги посвящена динамическому расчету систем, положение которых однозначно определяется двумя функциями времени. Простейшая система такого вида показана на рис. 33. Материальная точка М, связана с двумя неподвижными точками А и В упругими связями (пру- кинами), расположенными одна по отношению к другой под заданным углом а и имеющими в общем случае различную jKe TKO Tb. Положение точки М в плоскости чертежа определяется в любой момент двумя декартовыми [c.156]

Центр тяжести этих пяти материальных точек совпадает с центром тяжести тетраэдра, и их общая масса равна массе тетраэдра. Следовательно, на основании п. 13 моменты инерции этих двух систем относительно произвольной плоскости, проходящей через центр тяжести, одинаковы, и это равенство справедливо для произвольных плоскостей. Отсюда на основании п. 5 следует, что и моменты инерции относительно произвольных прямых также равны. Поэтому обе системы равномоментны. (См. замечание в конце тома.) [c.40]

Согласно определению математического ротора усилие Р является приведенной силой физического ротора согласно уравнению (64). Точкой приведения силы Р является точка Шток 5 имеет массу Шц,, которая также является приведенной для данного физического ротора. Вал ротора служит звеном приведения момента сил М . В плоскости перемещения грузов имеются две системы координат с началами в точках О и От. Точка О может быть выбрана произвольно на оси вращения (оси Оу), точка 0 является точкой приведения силы Р, лежит на оси Оу и является одновременно вершиной профиля 3. Согласно схеме рис. 42 на рис. 43 ордината точки приведения силы Р в системе хОу обозначена Ь и изменяется от до Следовательно, координаты точки Ох в начальном положении в координатной системе хОу (О Ьх) оси х обеих систем параллельны. Обе системы вращаются вместе с ротором. Ротор имеет приведенный момент инерции, определяемый форл улой (62). Под моментом инерции У понимается некоторая постоянная величина, равная моменту инерции покоя изучаемого физического ротора. МомеНт инерции Д/ из формулы (62) может быть найден из анализа рис. 43. Любой элементарный механизм ротора имеет общий центр масс активных подвижных звеньев, перемещение которого, а также перемещение активных подвижных звеньев относительно этого центра определяет величину ДУ. В математическом роторе (см. рис. 43) активные звенья каждого элементарного механизма заменены одним центробежным грузом 1 (следовательно, число грузов в математическом роторе равно числу элементарных механизмов в роторе данного физического толкателя). Для такой замены необходимо, чтобы кинетическая энергия груза 1 в каждый момент времени равнялась кинетической энергии этих звеньев. Согласно теореме Кенига кинетическая энергия последних равна кинетической энергии массы, сосредоточенной в центре масс элементарного механизма, и сумме кинетических энергий всех материальных точек активных подвижных звеньев в движении относительно центра масс. Кинетическая энергия каждого центробежного груза (см. рис. 43) в его движении относительно корпуса 7 [c.119]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...