Траектория системы

Интегральная кривая у = О является особой фазовой траекторией системы уравнений (3.17) и соответствует мгновенному опрокидыванию планера из положения 0 = л/2 в положение 0 = —-л/2 при обращении скорости v в нуль. Рассмотрим сначала частный случай а = О, когда силы сопротивления отсутствуют и рассматриваемая система оказывается консервативной. Уравнения движения (3.17) в этом случае принимают вид [c.62]

Проведем на фазовой плоскости через неособые точки отрезок без контакта АВ, т. е. такой отрезок прямой или дуги некоторой гладкой кривой, в каждой точке которого фазовые траектории системы (4.2) пересекают его, нигде не касаясь. Рассмотрим фазовую траекторию Г, проходящую через некоторую точку М отрезка АВ, где М отлична от точек А или В. Пусть в момент времени / = О изображающая точка, движущаяся на траектории Г согласно уравнениям (4.2), совпадает с точкой М. Если при дальнейшем движении изображающей точки вдоль фазовой кривой Г она будет вновь и вновь пересекать отрезок без контакта АВ, то говорят, что точка М имеет последующие. Тогда на основании теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных условий все точки на отрезке АВ, достаточно близкие к точке М, также имеют последующие. Пусть S и S — координаты точки /И и ее последующей (рис. 4.1). Согласно сказанному выше, будет существовать функциональная зависимость [c.71]

Тогда траектории системы с заданной константой энергии будут геодезическими линиями метрики др. [c.620]

При X > О и m четном функции V может принимать положительные значения (например, при. г, - О и x-i <0). На прежнем многообразии К = О, ф производная = = О, а вне А производная > 0. Кроме того, многообразию К не принадлежат целые траектории системы. Поэтому выполнены псе условия теоремы Н. Н. Красовского 2.4 и положение равновесии х = fj = О, [c.76]

На многообразии К q О, q = 0) производная Г равна нулю, а вне этого множества она отрицательна (по условию теоремы диссипация полная — см. равенство (6.39)). Покажем, что многообразие К не содержит целых траекторий системы (6.56). Действительно, при q = О кинетическая энергия Т, силы сопротивления Т) (q, () и гироскопические силы Г q, О обращаются в нуль (см. равенства (6.41) и (6.38)). Следовательно, при О ж q Ф О уравнения (6.56) принимают вид [c.173]

Решение. Общее решение уравнения Г—Я 5(х, t) на траекториях системы S(x (х, р, /), t)=f(x, р, t) имеет вид [89] [c.272]

Индекс а в дальнейшем опустим. Предположим, что при t = io —оо поле излучения отсутствует и система находится в состоянии статистического равновесия. В момент времени to включается взаимодействие с электромагнитным полем. Основной динамической величиной, характеризующей взаимодействие частиц и поля, является обобщенная энергия ро, равная значению гамильтониана Н на траекториях системы. Мощность, потребляемая системой электронов после включения взаимодействия [c.288]

Все это указывает на вероятность проявления эргодичности движения в фазовом пространстве. А поскольку для эргодичности безразлично, является траектория системы случайной или периодической, это не противоречит проявлению когерентных структур при пленочном волновом течении, причем с увеличением чисел Рейнольдса фазовая траектория все более приближается к перемешиванию, на что указывалось ранее [32]. [c.24]

Исключая время t из соотношений (11.42) и (11.43), получаем зависимость х(х), графическое изображение которой иа фазовой плоскости, т. е. в координатах х и х, представляется спиралью, стремящейся к точке (хо, 0) статического равновесия (рис. 65, а). Указанная спираль называется фазовой траекторией системы, а точка (д о, 0) есть особая точка этой траектории, называемая устойчивым фокусом. [c.229]

Если для некоторой системы на есть глобальная секущая, — компактная трансверсаль ко всем траекториям системы,— то можно ввести число вращения Пуанкаре, иррациональному значению которого соответствует наличие незамкнутой устойчивой по Пуассону траектории. По теореме Биркгофа (см., например, [91]) в замыкании незамкнутой устойчивой по Пуассону траектории содержится континуальное множество незамкнутых устойчивых по Пуассону траекторий, каждая из которых всюду плотна в нем. Таким образом, если система имеет иррациональное число вращения, то ее неблуждающее множество содержит бесконечное множество траекторий. [c.149]

Тем самым последнее слагаемое в (2.12) оценено через функцию V t). Покажем, что функция V t) при t оо экспоненциально быстро убывает и при всех о может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора достаточно малой начальной погиби. Вычислим производную ( ) функции у. (О вдоль траекторий системы (2.14). [c.253]

Рассмотрим функцию V (i), определенную формулой (2.18). Вычислим производную функции V (i) вдоль траекторий системы (3.9). В соответствии с уравнениями (3.9) — (3.11) имеем [c.263]

Назовем, в обобщенном смысле, траекторией системы совокупность ее последовательных положений (Р). Вариации Ьх, Ьу, Ьг определяют изменение траектории и ставят в соответствие новое положение (Р ) системы положению (Р), которое она занимала в момент Вариация времени определяется тогда условием, что разность живых сил в соответствующих положениях (Р) и (Р ) в точности равна элементарной работе прямо приложенных сил при переходе системы из первого (действительного) положения во второе (варьированное). Заметим при этом, что если связи зависят от времени, то варьированное движение, вообще говоря, будет несовместимо со связями. [c.320]

Согласно равенству (7.39) траектория системы в пространстве конфигураций такова, что, двигаясь по этой траектории с заданной энергией, система проходит путь между двумя ее точками в кратчайшее время (точнее, время этого движения является экстремальным). В данном случае принцип наименьшего действия напоминает известный принцип Ферма в геометрической оптике. Согласно этому принципу световой луч всегда выбирает тот путь, при котором время движения от данной точки А к данной точке В является наименьшим. Нам еще представится случай вернуться к этим соображениям в главе 9, где будет рассматриваться связь между методом Гамильтона и геометрической оптикой. [c.257]

При этом мы должны отметить, что, говоря о траектории системы , мы подразумеваем не траекторию отдельной точки системы в трехмерном пространстве, а многомерную характеристику движения всей системы в целом. Если рассматриваемая система имеет / степеней свободы, то траектория ее движения расположена в /-мерном пространстве обобщенных координат , / (ср. 70). [c.243]

Рис. 51 дает символическое трехмерное представление взаимного положения истинной траектории системы (сплошная кривая) и ее виртуальной траектории (пунктирная кривая) слагающееся из совокупности всех Sx смещение Sq должно быть вполне произвольным вдоль всей траектории, за исключением начальной и конечной точек, и должно представлять собой непрерывную и дифференцируемую функцию от причем каждые две соответственные точки действительной и варьированной траектории, связанные между собой вариацией Sq относятся к одному и тому же моменту времени t. [c.243]

Здесь вариация при постоянном W распространяется только на пространственные параметры траектории системы, в то время как о ее временном ходе вообще не говорится. [c.276]

Лучевая оптика является механикой световых частиц их траектории (в оптически неоднородных средах они ни в коем случае не будут прямолинейными) определяются обыкновенными дифференциальными уравнениями Гамильтона или эквивалентным им принципом наименьшего действия. Напротив, с точки зрения волновой теории световые лучи получаются как ортогональные траектории системы волновых поверхностей. Последние, согласно принципу Гюйгенса, являются параллельными поверхностями. Гамильтон описывал семейство волновых поверхностей с помощью дифференциального уравнения (по необходимости — в частных производных) и распространил этот метод на мно- [c.301]

Общий критерий, применимый ко всем динамическим системам, заключается в следующем. Пусть О и Р означают две конфигурации на естественной траектории ) системы. Если это — единственная свободная траектория, идущая от О до Р, с заданной полной энергией, то действие от О до Р будет мини- [c.270]

Как и в общем случае, уравнения (74а), (746), конечно, будут разрешимы относительно q (в функциях от и от тг, Е, у, но здесь мы можем добавить, что при наличии t только в уравнениях (746) я—1 уравнений (74а), рассматриваемые отдельно, определят в изображающем пространстве лагранжевых координат q , q ,...,q траектории системы. Так как они тождественно удовлетворяют уравнению (72 ), не зависящему от t, то мы видим, что Е есть постоянная [c.304]

Последовательность оо конфигураций, принимаемых системой в любом ее движении x =x t), будет представлена ooi точек кривой пространства Е, которая называется траекторией системы легко видеть, что квадрат элемента дуги такой траектории пропорционален живой силе системы, если допустить предположение, что пространство является евклидовым. Действительно, равенство [c.394]

Всякое движение, посредством которого материальная система переходит от некоторой начальной конфигурации q к некоторой конечной конфигурации будет изображаться в определенном таким образом метрическом многообразии некоторой кривой, соединяющей обе точки, изображающие две конечные конфигурации, и имеющей параметрическими уравнениями конечные уравнения, выражающие закон движения qji — Qh (t). Такая кривая, которая в случае одной единственной точки, свободной или несвободной, тождественна с соответствующей траекторией в физическом пространстве, в общем случае называется динамической траекторией системы в том движении. о котором идет речь. [c.412]

Динамическая траектория системы 412 [c.546]

Введем теперь новый и более общий тип вариации траектории системы. Назовем ее А-вариацией и будем предполагать, что как время, так и пространственные координаты меняются. На концах траектории пространственные координаты оставляются неизменными, но могут рассматриваться, однако, для измененного значения времени. Теперь точка Р на неизмененной траектории переходит в точку Р на измененной траектории при следующем соответствии координат [c.82]

Заявочная траектория Система должна быть способна генерировать коммерческий WEB или D каталог, который может использоваться для создания заявок клиента или соответствующих действий [c.19]

Мы допустим большую свободу в выборе параметров, определяющих траекторию системы ( 15.8, п. 4). Вместо начальных значений координат и импульсов qrd, Рго) мы в качестве параметров, определяющих траекторию в фазовом пространстве, возьмем (а , Рг)- Эти величины являются функциями от qrQ, Рто с непрерывными первыми производными, однако они не произвольны и должны (см. 15.8) удовлетворять условию [c.283]

Так как обе функции, и и 5, содержат h п а, то, казалось бы, естественно ожидать, что путем выбора начальных условий всегда можно получить как периодические, так и апериодические движения. Такая гипотеза, однако, оказывается несостоятельной. Мы знаем, что существуют системы, которые всегда совершают периодические движения, и системы, которые никогда не движутся периодически. Оба типа систем встречаются в теории малых колебаний. Если отношение периодов есть число рациональное, то траектория системы всегда периодична, каковы бы ни были начальные условия если же это отношение есть число иррациональное, то траектория никогда не является периодической (исключая, разумеется, тот случай, когда система совершает главные колебания). Другой достаточно ясный пример — это ньютоновская орбита, которая всегда периодична, каковы бы ни были величина и направление начальной скорости планеты (если, конечно, начальная скорость не превышает того значения, которое она имела бы при движении из бесконечности в начальную точку под действием притяжения к центру). В 18.8 мы вернемся к этому вопросу и выясним причину встречаюш ейся здесь особенности. [c.308]

Рис. 3.9. Например, относительно системы отсчета S х у, z ). неподвижно связанной с Землей, удаленные звезды, подобно предмету I, движутся по круговым траекториям. Система отсчета, неподвижно связанная с Землей, не является инер-цнальной, потому что Земля вращается вокруг своей оси и обращается вокруг Солнца.

При достаточно малых по модулю значениях и и I производная Г будет не знакоопределенной, а только знакопостоянной функцией переменных ци t. Поэтому, пользуясь выбранной фунцией V (2.54), мы не можем применить теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости II неустойчивости движения. Ненрименима к ней и теорема Четаева о неустойчивости движения. Воспользуемся теоремами Красовского. В качестве многообраапя К возьмем совокупность точек, для которых и Ф О, i = О (на плоскости (i, и) это ось и). Покажем, что многообразию К не принадлежат целые траектории системы. Для этого внесем в уравнение движения (2.53) значения переменных i и и, определяющих К. При t = О и и О эти уравнения примут вид [c.74]

Рассмотрим ирея исе многообразие К q Ф q = О).. Па нем Г, = О, а вне его 1 , > О (диссипация полная и, лeдoвaтeJгьнo, jV С О при 0). По условию теоремы в окрестности нуля существуют точки, в которых П <С 0. В этих точках при = О функция принимает положительные значения. Кроме того, многообразие К не содер-яп т целых траекторий системы (6.56) (по тем же соображениям, что и в предшествующей теореме). Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Н. Н. Красов-ского о неустойчивости движения ). [c.174]

Для общности предположим, что на вектор управления накладьша-ются ограничения и его значения принадлежат некоторой замкнутой области и в г-мерном пространстве управляющих воздействий, т. е. в любой момент времени и 6 . В фазовом пространстве Z заданы начальное 2° и конечное состояния объекта. Тогда среди всех допустимых управлений и( ), для которых соответствующие траектории системы (6,21) проходят через начальное и конечное состояния, необходимо выбрать такое, для которого функционал [c.221]

Обобщенная эыергия Ро равна значению гамильтониана на траекториях системы po = H x i), p(t), t). Вычисляя СП, получим [c.287]

Действительно. Пусть X представляет собой некоторую функцию координат q,. Эта функция определяет собой семейство поверхностей Xiqi, f ) = , пересекающих искомую траекторию системы, равно как = и другие, бесконечно к ней близкие линии, проведенные через точки Р и Pi (рис. 147). В таком случае каждую из этих кривых можно себе представить заданной своими координатами, выраженными в виде функций от X. Пусть буква б соответствует переходу пз какой-нибудь точки искомой траектории в ту точку соседнего сравнимого пути, которая относится к той же X. В таком случае лю кио (7.21) заменить па вариационную задачу с закрепленными пределами 0, Xi и с закрепленными концами Ро ш Pi [c.228]

Для того чтобы ответить на этот вопрос, введем на траекториях системы (10) параметр (л. и приравняем, как это делалось в предыдущем параграфе, отношения (10) произведению я (i, л, у, г) ф, где тс — произвольная функция. Рассмотрим трубку интегральных кривых системы (10) и охватывающий эту трубку замкнутый контур С, для которого (i = onst== . Заметим, что значение интеграла (5) вдоль контура С не зависит от величины ц= с. [c.124]

Для этой цели удобно интерпретировать п лагранжевых параметров q как обобщенные координаты точек абстрактного пространства п измерений Г пространство конфигураций). Траекториями системы в этом пространстве называются те кривые, уравнения которых получаются путем исключения t из уравнений qh = 4hiA< )> [c.337]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...